第一章、集合與函數概念1.1.1集合的含義與表示例1.用符號和填空。⑵設集合B是小于的所有實數的集合，則2______B，1+______B；⑴設集合A是正整數的集合，則0_______A，________A，______A；⑶設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國_____A，美國_____A，印度_____A，英國____A例2.判斷下列說法是否正確，并說明理由。⑵1，，，，這些數組成的集合有五個元素；⑴某個單位里的年輕人組成一個集合；⑶由a，b，c組成的集合與b，a，c組成的集合是同一個集合。例3.用列舉法表示下列集合：⑴小于10的所有自然數組成的集合A；⑵方程x=x的所有實根組成的集合B；⑶由1～20中的所有質數組成的集合C。例4.用列舉法和描述法表示方程組的解集。典型例題精析題型一集合中元素的確定性例1.下列各組對象：①接近于0的數的全體；②比較小的正整數全體；③平面上到點O的距離等于1的點的全體；④正三角形的全體；⑤的近似值得全體，其中能構成集合的組數是（）A.2B.3C.4D.5題型二集合中元素的互異性與無序性例2.已知x{1，0，x}，求實數x的值。題型三元素與集合的關系問題1.判斷某個元素是否在集合內例3．設集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。若aA，bB，試判斷a+b與A，B的關系。2.求集合中的元素例4.數集A滿足條件，若aA，則A，（a≠1），若A，求集合中的其他元素。3.利用元素個數求參數取值問題例5.已知集合A={x∣ax+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一個元素，求a的取值。⑵若A中至多有一個元素，求a的取值范圍。題型四列舉法表示集合例6.用列舉法表示下列集合⑴A={x∣≤2，xZ}；⑵B={x∣=0}⑶M={x+y=4，xN，yN}.題型五描述法表示集合例7.⑴已知集合M={xN∣Z}，求M；⑵已知集合C={Z∣xN}，求C.例8.用描述發表示圖（圖-8）中陰影部分（含邊界）的點的坐標的集合。例9.已知集合A={a+2，(a+1)，a+3a+3}，若1A，求實數a的值。例10.集合M的元素為自然數，且滿足：如果xM，則8-xM，試回答下列問題：⑴寫出只有一個元素的集合M；⑵寫出元素個數為2的所有集合M；⑶滿足題設條件的集合M共有多少個？創新、拓展、實踐1、實際應用題例11.一個筆記本的價格是2元，一本教輔書的價格是5元，小明拿9元錢到商店，如果他可以把錢花光，也可以只買一種商品，請你將小明購買商品的所有情況一一列舉出來，并用集合表示。2、信息遷移題例12.已知A={1，2，3}，B={2，4}，定義集合A、B間的運算A＊B={x∣xA且xB}，則集合A＊B等于（）A.{1，2，3}B.{2，4}C.{1，3}D.{2}3、開放探究題例13.非空集合G關于運算滿足：⑴對任意a、bG，都有abG；⑵存在eG，使得對一切aG，都有ae=ea=a，則稱G關于運算為“融洽集”。現給出下列集合與運算：G={非負整數}，為整數的加法。G={偶數}，為整數的乘法。G={二次三項式}，為多項式的加法。其中G關于運算為“融洽集”的是__________。（寫出所有“融洽集”的序號）例14.已知集合A={0，1，2，3，a}，當xA時，若x-1A，則稱x為A的一個“孤立”元素，現已知A中有一個“孤立”元素，是寫出符合題意的a值_______(若有多個a值，則只寫出其中的一個即可)。例15.數集A滿足條件；若aA，則A（a≠1）。⑴若2A，試求出A中其他所有元素；⑵自己設計一個數屬于A，然后求出A中其他所有元素；⑶從上面的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發現的“道理”。高考中出現的題例1.（2008·江西高考）定義集合運算：A＊B={z∣z=xy，xA，yB}。設A={1，2}，B={0，2}，則集合A＊B的所有元素之和為（）A.0B.2C.3D.6例2.（2007·北京模擬）已知集合A={a，a，…，a}(k≥2)，其中aZ(i=1，2，…，k)，由A中的元素構成兩個相應的集合：S={（a，b）∣aA，bA，a+bA}；T={(a，b)∣aA，bA，a-bA}，其中（a，b）是有序數對。若對于任意的aA，總有-aAA，則稱集合A具有性質P。試檢驗集合{0，1，2，3}與{-1，2，3}是否具有性質P，并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合S和T。1.1.2集合間的基本關系例1用Venn圖表示下列集合之間的關系：A={x∣x是平行四邊形}，B={x∣x是菱形}，C={x∣x是矩形}，D={x∣x是正方形}。例2設集合A={1，3，a}，B={1，a-a+1}，且AB，求a的值已知集合A={x，xy，x-y}，集合B={0，，y}，若A=B，求實數x，y的值。寫出集合{a、b、c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集。例5判斷下列關系是否正確：（1）0{0}；（2）{0}；（3）{0}；（4）題型一判斷集合間的關系問題例1下列各式中，正確的個數是（）(1){0}{0，1，2}；（2）{0，1，2}{2，1，0}；（3）{0，1，2}；（4）{0}；（5）{0，1}={（0，1）}；（6）0={0}。A.1B.2C.3D.4題型二確定集合的個數問題例2已知{1，2}M{1，2，3，4，5}，則這樣的集合M有__________個。題型三利用集合間的關系求字母參數問題已知集合A={x︱1＜ax＜2}，B={x∣＜1},求滿足AB的實數a的范圍。設集合A={x∣x+4x=0，xR}，B={x∣x+2(a+1)x+a-1=0，xR}，若BA，求實數a的值。一、數形結合思想：1.用Venn圖解題設集合A={x︱x是菱形}，B={x︱x是平行四邊形}，C={x︱x是正方形}，指出A、B、C之間的關系。（2.用數軸解題）已知A={x︱x＜-1或x＞5}，B={xR︱a＜x＜a+4}，若AB，求實數a的取值范圍。二、分類討論思想已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac}，若A=B，求c的值。創新、拓展、實踐1.數學與生活寫出集合{農夫，狼，羊}的所有子集，由此設計一個方案：農夫把狼、羊、菜從河的一岸送到另一岸，農夫每次乘船只能運送一樣東西，并且農夫不在場的情況下，狼和羊不能在一起，羊和菜不能在一起。2.開放探究題已知集合A={x∣=4}，集合B={1，2，b}.是否存在實數a，使得對于任意實數b都有AB？若存在，求出對應的a值，若不存在，說明理由。若AB成立，求出對應的實數對（a，b）高考要點闡釋例1（山東模擬）設a、bR，集合{1，a+b，a}={0，，b}，則b–a=()(請寫出解題過程)A.1B.-1C.2D.-2例2(湖北模擬）已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m}，若BA，則實數m=___________.例3（2008·福建高考）設P是一個數集，且至少含有兩個數，若任意a、bP，都有a+b、ab、P（除數b≠0），則稱P是一個數域，例如有理數集Q是數域；數集F={a+b∣a、bQ}也是數域。有下列命題：①整數集是數域；②若有理數QM，則數集M必為數域；③數域必為無限集；④存在無窮多個數域。其中正確的命題的序號是__________.（把你認為正確的命題的序號都填上）<名師專家專輯1·空集>1.空集的概念及性質例1在（1）{0}；（2）{}；（3）{x∣3m＜x＜m}；（4）{x∣a+2＜x＜a}；（5）{x∣x+1=0，xR}中表示空集的是__________.2.空集性質的應用例2已知集合A={x∣x＞0，xR}，B={x∣x-x+p=0}，且BA，求實數p的范圍。例3已知A={x∣x-3x+2=0}，B={x∣ax-2=0}，且BA，求實數a組成的集合C.1.1.3集合的基本運算例1設集合A={x︱-1＜x＜2}，集合B={x︱1＜x≤3}，求AB.例2A={x︱-1＜x≤4}，B={x︱2＜x≤5}，求AB.例3若A、B、C為三個集合，AB=BC，則一定有（）A.ACB.CAC.A≠CD.A=例4不等式組的解為A，U=R，試求A及CA，并把它們分別表示在數軸上。題型一基本概念例1設集合A={（x，y）∣ax+by+c=0}，B={（x，y）∣ax+by+c=0}，則方程組的解集是__________；方程(ax+by+c)（ax+by+c）=0的解集是__________.題型二集合的并集運算例2若集合A={1，3，x}，B={1，x}，AB={1，3，x}，則滿足條件的實數有（）A.1個B.2個C.3個D.4個題型三集合的交集運算例3若集合A={x∣x-ax+a-19=0}，B={x∣x-5x+6=0}，C={x∣x+2x-8=0}，求a的值使得(AB)與AC=同時成立。例4集合A={1，2，3，4}，BA，且1(AB)，但4(AB)，則滿足上述條件的集合B的個數是（）A.1B.2C.4D.8題型四集合的補集運算例5設全集U={1，2，x-2}，A={1，x}，求CA設全集U為R，A={x︱x-x–2=0}，B={x︱=y+1，yA}，求CB 題型五集合運算性質的簡單應用例7已知集合A={x︱x+ax+12b=0}和B={x︱x-ax+b=0}，滿足（CA）B=2，A(CB)={4}，U=R，求實數a、b的值。例8已知A={x︱x-px–2=0}，B={x︱x+qx+r=0}，且AB={-2，1，5}，AB={-2}，求實數p、q、r的值。數學思想方法一、數形結合思想例9（用數軸解題）已知全集U={x︱x≤4}，集合A={x︱-2＜x＜3}，集合B={x︱-3＜x≤3}，求CA，AB，C(AB)，(CA)B例10（用Venn圖解題）設全集U和集合A、B、P滿足A=CB，B=CP，則A與P的關系是（）A.A=CPB.A=PC.APD.AP二、分類討論思想例11設集合A={，3，5}，集合B={2a+1，a+2a，a+2a-1}，當AB={2，3}時，求AB三、“正難則反”策略與“補集”思想例12已知方程x+ax+1=0，x+2x-a=0，x+2ax+2=0，若三個方程至少有一個方程有實根，求實數a的取值范圍。四、方程思想例13設集合A={x︱x+4x=0，xR}，B={x︱x+2(a+1)x+a-1=0，xR}，若BA，求實數a的值。創新、拓展、實踐例14（實際應用題）在開秋季運動會時，某班共有28名同學參加比賽，其中有15人參加徑賽，有8人參加田賽，有14人參加球類比賽，同時參加田賽和徑賽的有3人，同時參加徑賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田賽和球類比賽的有多少人？只參加徑賽的同學有多少人？例15（開放探究題）定義集合A和B的運算為A﹡B={x︱xA且xB}，試寫出含有幾何運算符號“﹡”、“”、“”，并對任意集合A和B都成立的一個式子________________________________________________________________________________________例16我們知道，如果集合AU，那么U的子集A的補集為CA={x︱xU，且xA}，類似地，對于集合A、B，我們把集合{x︱xA，且xB}叫做A與B的差集，記作A-B，例如A={1，2，3，5，8}，B={4，5，6，7，8}，則A-B={1，2，3，}，B–A={4，6，7}。據此，回答以下問題：⑴補集與差集有什么異同點？⑵若U是高一⑴班全體同學的集合，A是高一⑴班全體女同學組成的集合，求U–A及CA.⑶在圖1-1-24所示的各圖中，用陰影表示集合A–B⑷如果A–B=，那么A與B之間具有怎樣的關系。高考要點闡釋例1（2008·陜西高考）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x︱x-3x+2=0}，B={x︱x=2a，aA}，則集合C(AB)中元素的個數為（）A.1B.2C.3D.4例2（2008·上海高考）若集合A={x︱x≤2}，B={x︱x≥a}，滿足AB={2}，則實數a=_________________________________.例3（2008·北京高考）已知集合A={x︱-2≤x≤3}，B={x︱x＜-1或x＞4}，則集合AB等于（）A.{x︱x≤3或x＞4}B.{x︱-1＜x≤3}C.{x︱3≤x＜4}D.{x︱-2≤x＜-1}1.2函數及其表示例1判斷下列對應是否為函數⑴x，x≠0，xR；⑵xy，這里y=x，xN，yR2.1指數函數例1求下列各式的值⑴=⑵=⑶=⑷=例2⑴把下列各式中的a寫成分數指數冪的形式（a＞0）；①a=256②a=28③a=5④a=3(m，nN)⑵計算：①9②16例3化簡÷例4化簡（式中字母都是正數）⑴（xy）⑵(2x+3y)(2x-3y)⑶4x·3x(-y)·y例化簡下列各式⑴-⑵÷（1–2）×典型例題題型一、根式的性質求值（a＞0）.例2計算：⑴⑵題型二、分數指數冪及運算性質1.計算問題：例3計算：2.化簡問題：例4化簡下列各式：⑴⑵（x）（x）3.帶附加條件的求值問題例5已知a+a=3，求下列各式的值：⑴a+a⑵a+a⑶數學思想方法一、化歸與轉化思想例6化簡：（a＞0，b＞0）.二、整體代換思想例7⑴已知2（常數），求8的值。⑵已知x+y=12,xy=9，且x＜y，求的值。創新、拓展、實踐1.數學與科技例8已知某兩星球間的距離d×10千米，某兩分子間的距離d×10米，請問兩星球間距離是兩分子間距離的多少倍？2.創新應用題例9已知a、b是方程x-6x+4=0的兩根，且a＞b＞0，求的值。3.開放探究題例10已知a＞0，對于0≤r≤8，rN，式子()()能化為關于a的整數指數冪的可能情形有幾種？高考要點闡釋(寫出解題的過程)例1（2008·重慶文高考）若x＞0，則（2x+3）（2x-3）-4x·（x-x）=_____________________________.例2（上海高考）若x、x為方程2=（）的兩個實數解，則x+x=_____.例3（北京高考改編）函數f（x）=a(a＞0，且a≠1)對于任意的實數x、y都有（）A.f（x·y）=f（x）·f（y）B.f（xy）=f（x）+f（y）C.f（x+y）=f（x）·f（y）D.f（x+y）=f（x）+f（y）名師專家點穴一、巧用公式引入負指數冪及分數指數冪后，初中的平方差、立方差、完全平方公式有了新的特征；如：（aa）=a2+a；a–b=(a+b)(a-b)；a+b=(a+b)·（a-ab+b）例1化簡下列各式⑴（x+x+1）(x-x)二、整體帶入例2已知x+x=3求的值。例3計算（1+）（1+）…（1+）（1+）（1+）.三、根式、小數化為指數冪例4計算（0.0081）-[3×()]·[81+(3)].2.1.2指數函數及其性質例1指出下列函數哪些是指數函數⑴y=4；⑵y=x；⑶y=-4；⑷y=(-4)；⑸y=；⑹y=4x；⑺y=x；⑻y=(2a-1)(a＞，且a≠1)例2比較下列各題中兩個值的大小。⑴；⑵；⑶例3求下列函數的定義域和值域：⑴y=；⑵y=2⑶y=()教材問題探究1.函數圖像的變換例1畫出下列函數的圖像，并說明他們是由函數f(x)=2的圖像經過怎樣的變換得到的。⑴y=2；⑵y=2；⑶y=2；⑷y=；⑸y=-2；⑹y=-2例2設f(x)=，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，則下列關系式中一定成立的是（）A.3＜3B.3＞3C.3+3＞2D.3+3＜2探究學習例3選取底數a(a＞0，且a≠1)的若干個不同的值,在同一平面直角坐標系內作出相應的指數函數的圖像.觀察圖像,你能發現他們有哪些共同特征?典型例題精析題型一指數函數的定義例1函數y=(a+3a+3)a是指數函數，則a的值為___________________________題型二指數函數的圖像和性質1.過定點問題例2函數y=2+3恒過定點________________.2.指數函數的單調性例3討論函數f(x)=()的單調性，并求其值域。例4已知函數f(x)=（＞1）⑴求該函數的值域；⑵證明f(x)是R上的增函數3.指數函數的圖像例5若函數y=a+b–1（a＞0，且a≠1）的圖象經過第一、三、四象限，則一定有（）A.a＞1，且b＜1B.0＜a＜1，且b＜0C.0＜a＜1，且b＞0D.a＞1，且b＜1變試訓練1：當≠0時，函數y=+b和y=b的圖象只可能是下列中的（）題型三指數函數圖像和性質的綜合應用1.比較大小例6右圖是指數函數：①y=a，②y=b，③y=c，④y=d的圖象，則a、b、c、d與1的大小關系是（）A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c2.解不等式例7⑴解不等式≤2.⑵已知＞，則x的取值范圍是________________。⑶設函數f(x)=若f(x)＞1，則x的取值范圍是（）變試訓練2：設y=a，y=a，其中a＞0，a≠1，確定x為何值時，有：⑴y=y；⑵y＞y.3.定義域和值域例8求下列函數的定義域與值域⑴y=2；⑵y=.已知-1≤x≤2，求函數f(x)=3+2·39的值域4.指數方程例10解方程：3-3=80例11若方程有正數解，則實數的取值范圍是（）A．（，1）B.(，2)C.（-3，-2）D.（-3，0）5.單調性問題例12已知a＞0且a≠1，討論f(x)=a的單調性例13設＞0，f(x)=在R上滿足f(-x)=f(x)。⑴求的值⑵證明：f(x)在（0，+）上是增函數6.奇偶性問題例14已知函數f(x)=，⑴求f(x)的定義域⑵討論f(x)的奇偶性⑶證明f(x)＞0題型四指數函數的實際應用截止到1999年底，我國人口約13億。如果今后能將人口平均增長率控制在1%，那么經過20年后，我國人口約為多少？（精確到億）數學思想方法一、數形結合思想1.比較大小例16比較3和42.求參數的取值范圍例17關于x的方程有負根，求的取值范圍。3.研究函數的單調性例18求函數y=的單調區間二、分類討論思想例19根據下列條件確定實數x的取值范圍：＜(a＞0且a≠1)三、函數與方程思想例20已知x,yR，且3+5＞3+5，求證x+y＞0.創新、拓展、實踐1.數學與科技例21家用電器（如冰箱等）使用的氟化物的釋放破壞了大氣中的臭氧層。臭氧含量Q呈指數函數型變化，滿足關系式Q=Q，其中Q是臭氧的初始量，t為時間。⑴隨著時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？⑵多少年以后將會有一半的臭氧消失？例22某醫藥研究所開發一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足右圖所示的曲線。⑴寫出服藥后y與t之間