第八章離散模型8.1層次分析模型8.2循環比賽的名次8.3社會經濟系統的沖量過程*8.4公平的席位分配8.5存在公正的選舉規則嗎8.6價格指數*離散模型

離散模型：代數方程與差分方程（第6章）、整數規劃（第4章）、圖論、對策論、網絡流、…

應用較廣,是分析社會經濟系統的有力工具.

只用到代數、集合及(少許)圖論的知識.8.1層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問題.

涉及經濟、社會等方面的因素.

作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化.

Saaty于20世紀70年代提出層次分析法

AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一種定性與定量相結合的、系統化、層次化的分析方法目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過程的歸納

將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關系用相連的直線表示.

通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重.

將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重.層次分析法將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果.層次分析法的基本步驟成對比較陣和權向量

元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度

設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權向量選擇旅游地成對比較的不一致情況一致比較允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權向量不一致成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權向量一致陣性質成對比較陣和權向量對于不一致(但在允許范圍內)的成對比較陣A,建議用對應于最大特征根的特征向量作為權向量w，即wAwl=2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度,即aij

取值1,2,…,9及其互反數1,1/2,,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…,1/9的重要性與上面相反

心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個.

用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構造成對比較陣，算出權向量，與實際對比發現，1~9尺度較優.

便于定性到定量的轉化：成對比較陣和權向量一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.9021.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI.定義一致性比率CR=CI/RI當CR<0.1時通過一致性檢驗Saaty的結果如下“選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗!組合權向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3層對第2層的計算結果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權向量第1層O第2層C1,…,Cn第3層P1,…,Pm第2層對第1層的權向量第3層對第2層各元素的權向量構造矩陣則第3層對第1層的組合權向量第s層對第1層的組合權向量其中W(p)是第p層對第p-1層的權向量組成的矩陣.層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立.2）構造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣.3）計算權向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量.4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗*）組合權向量可作為決策的定量依據.二.層次分析法的廣泛應用

應用領域：經濟計劃和管理、能源政策和分配、人才選拔和評價、生產決策、交通運輸、科研選題、產業結構、教育、醫療、環境、軍事等.

處理問題類型：決策、評價、分析、預測等.

建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決策層參與.

構造成對比較陣是數量依據，應由經驗豐富、判斷力強的專家給出.國家綜合實力美、俄、中、日、德等大國國民收入軍事力量科技水平社會穩定對外貿易工作選擇供選擇的崗位貢獻收入發展聲譽關系位置例1

國家實力分析例2

工作選擇廣泛應用過河的效益

A經濟效益B1社會效益B2環境效益B3橋梁D1隧道D2渡船D3節省時間C1收入C2岸間商業C3當地商業C4建筑就業C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11（1）過河效益層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇廣泛應用過河的代價

A經濟代價

B1環境代價B3社會代價B2橋梁D1隧道D2渡船D3投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態的破壞C9（2）過河代價層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇廣泛應用待評價的科技成果直接經濟效益

C11間接經濟效益

C12社會效益

C13學識水平

C21學術創新

C22技術水平

C23技術創新

C24效益C1水平C2規模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價廣泛應用三.層次分析法的若干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權向量？

當層次結構不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質定理1

正矩陣A的最大特征根是正單根，對應正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根≥n,=n是A為一致陣的充要條件.正互反陣的最大特征根是正數，特征向量是正向量.一致性指標定義合理2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算復雜且不必要.

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均.和法——取列向量的算術平均列向量歸一化算術平均精確結果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設置精度2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉23.為什么特征向量作為權向量問題一致陣A,權向量w=(w1,…,wn)T,aij=wi/wjA不一致,應選權向量w使wi/wj與

aij相差盡量小（對所有i,j)用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數最小二乘結果與根法相同

按不同準則確定的權向量不同，

選特征向量為權向量的優點：成對比較Ci:Cj(直接比較）aij~1步比較的強度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步比較的強度更能反映Ci對Cj的強度多步累積效應定理1特征向量體現多步累積效應當k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權重求Ak的行和～k步比較強度，反映多步比較效應4.不完全層次結構中組合權向量的計算完全層次結構：上層每一元素與下層所有元素相關聯不完全層次結構設已知第2層對第1層權向量w(2)

=(w1(2),w2(2))T及第3層對第2層權向量w1(3)

=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)

=(0,0,w23(3),w24(3)T討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計算第3層對第1層權向量w(3）的方法.貢獻O教學C1科研C2P2

P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結構P1,P2只作教學,P4只作科研,P3兼作教學、科研.C1,C2支配元素的數目不等

不考慮支配元素數目不等的影響

仍用計算

支配元素越多權重越大用支配元素數目n1,n2對w(2)加權修正公正的評價應為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1

再用計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多權重越小教學、科研任務由上級安排教學、科研靠個人積極性考察一個特例：C1,C2重要性相同P1~P4能力相同w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)Tw(2)=(1/2,1/2)T5.

殘缺成對比較陣的處理mi~A第i行中的個數輔助矩陣為殘缺元素例úúú?ùêêê?é=12/1212/121qqAúúú?ùêêê?é=12/1/212/1/211331wwwwC6.

更復雜的層次結構

遞階層次結構：層內各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環.

更復雜的層次結構：層內各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環.制動底盤車輪方向盤發動機減震裝置剎車轉向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例

層次分析法的優點

系統性——將對象視作系統，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統分析（與機理分析、測試分析并列）；

實用性——定性與定量相結合，能處理傳統的優化方法不能解決的問題；

簡潔性——計算簡便，結果明確，便于決策者直接了解和掌握.層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優，不能產生新方案；

粗略——定性化為定量，結果粗糙；

主觀——主觀因素作用大，結果可能難以服人.8.2循環比賽的名次

n支球隊循環賽，每場比賽只計勝負，沒有平局.

根據比賽結果排出各隊名次.方法1.尋找按箭頭方向通過全部頂點的路徑.123456312456146325方法2.計算得分：無法排名2,3隊,4,5隊無法排名!6支球隊比賽結果……32，45排名132456合理嗎?1隊勝4場，2,3隊各勝3場，4,5隊各勝2場，6隊勝1場.123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循環比賽的結果——競賽圖3個頂點的競賽圖名次{1，2，3}{(1,2,3)}并列{1,2,3,4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4),2}4個頂點的競賽圖名次{(1,2),(3,4)}{1,2,3,4}?競賽圖~每對頂點間都有邊相連的有向圖123412341234(1)(2)(3)1234(4)競賽圖的3種形式

具有唯一的完全路徑，如(1)；

雙向連通圖——任一對頂點存在兩條有向路徑相互連通，如(4)；

其他，如(2)，(3).競賽圖的性質

必存在完全路徑；

若存在唯一的完全路徑，則由它確定的頂點順序與按得分排列的順序一致，如(1).4個頂點的競賽圖1234(4)雙向連通競賽圖G=(V,E)的名次排序鄰接矩陣得分向量雙向連通競賽圖的名次排序

對于n(>3)個頂點的雙向連通競賽圖，存在正整數r，使鄰接矩陣A滿足Ar

>0，A稱素陣.排名為{1，2，4，3}用s排名1234(4){1,2,3,4}?

素陣A的最大特征根為正單

根，對應正特征向量s，且seAkkk=￥?llim1234566支球隊比賽結果排名次序為{1，3，2，5，4，6}32,45排名132456?1:4分;2,3:3分;4,5:2分;6:1分.8.4公平的席位分配每10年，美國聯邦政府進行一次全國人口普查,各州在聯邦眾議院的代表名額也據此重新確定.公平的席位分配問題（apportionment）2000年人口普查后，猶他州向聯邦政府提出控訴，說分配給北卡羅萊納州的名額應該是他們的.問題的數學本質是什么？事實上，過去200年來，美國國會在名額分配上打過多起法律官司，曾有過長期爭論并使用過4種分配方案.一個簡單例子系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10,6,4席.因學生轉系,三系人數為103,63,34,如何分配20席?若代表會議增加1席，如何分配21席?比例加慣例對丙系公平嗎？系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結果10.815116.61573.570321.00021模型已知:m方人數分別為

p1,p2,…,pm,記總人數為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N.

各方先分配qi的整數部分[qi],總余額為

記ri

=qi-[qi],則第i方的分配名額ni為要求已知份額向量q=(q1,…,qm)>0,找一個非負整數分配向量n=(n1,…,nm),使n與q最接近.比例加慣例法記qi=Npi/P,稱為第i方的份額(i=1,2,…,m)背景Hamilton(比例加慣例)方法A.Hamilton提出的這種辦法1792年被美國國會否決

1850-1900年被美國國會采用(稱為Vinton法)

又稱為最大剩余法（GR:GreatestRemainders）或最大分數法（LF:LargestFractions），等等

席位悖論—總席位增加反而可能導致某州席位減少

1880年Alabama州曾遇到，又稱Alabama悖論

該方法的另一個重大缺陷：（下頁給例子）

人口悖論—某州人口增加較多反而可能該州席位減少

Hamilton方法的不公平性1.p1,p2,…,

pm不變,N的增加會使某個ni減少(上例).2.N不變,pi比pj的增長率大,會使ni減少nj增加(下例).pinii=110311i=2637i=3343和20021pi1146434212ni116421pini1031063634420020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215ni116320“公平”分配方法衡量公平分配的數量指標人數席位A方p1

n1B方p2n2當p1/n1=p2/n2

時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2

，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5公平分配方案應使rA

,rB

盡量小設A,B已分別有n1,n2席,若增加1席,問應分給A,還是B?不妨設分配開始時p1/n1>p2/n2

，即對A不公平.~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)

將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應計算rB(n1+1,n2)應計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應給應討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應給B當rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B

定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方相等比例法,即EP法(Huntington,1921)計算，三系用EP方法重新分配21個席位一席一席地將前19席分配完畢后的結果甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3與Hamilton法結果相同第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席,乙系6席,丙系4席EP方法分配結果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系20世紀20年代哈佛大學E.V.Huntington做了系統研究.EP法每增加1席地計算，不會出現席位悖論和人口悖論.

有沒有其他的不公平度衡量指標？

當總席位為s時第i方分配的席位記作fi(p,s),fi(p,0)=0除數法（Huntington，1921）

對于非負整數n定義一個非負單調增函數d(n)

讓s每次1席地遞增至N，按照以下準則分配:

記ni=fi(p,s)，若則令fk(p,s+1)=nk+1,fi(p,s+1)=ni(i≠k)５種除數法Huntington除數法除數d(n)不公平度的度量指標（設pi/ni≥pj/nj）以人名命名的稱謂最大除數法（GD：Greatestdivisors)n+1njpi/pj-niJefferson;Seaton;d?Hondt主要分數法（MF：Majorfraction)n+1/2nj/pj-ni/piWebster相等比例法（EP：Equalproportions)njpi/nipj-1Hill調和平均法（HM：Harmonicmean)2n(n+1)/

(2n+1)pi/ni-pj/njDean最小除數法（SD：Smallestdivisors)nnj-nipj/piAdamsEP(幾何平均)MF(算術平均)HM(調和平均)5種除數法：一個數值例子

piqiGDMFEPHMSDA90619.061109999B71797.17978777C52595.25955655D33193.31933343E11821.18211112總和26000262626262626一般情況下，偏向程度也按照表中的順序：

GD偏向人數pi較大的一方

SD偏向人數較小的一方公平的席位分配：優化模型MF法：

最大剩余法(GR)實際上解決了以下優化問題：你能證明這些結論嗎？任意lt范數(t≥1),如：1,2,∞范數EP法：模型的公理化研究關鍵性質1)

~份額性2)fi

(p,s)fi

(p,s+1)

~席位單調性~人口單調性3)若pi'

/pj'

≥

pi/pj,則fi(p',s)

≥

fi(p,s),

或fj(p',s)

fj(p,s)模型的公理化研究EP方法比最大剩余法(GR)更公平嗎？已知總席位數s,人口向量p=(p1,p2,…,pm),P=Σpi份額向量q

=

(q1,…,qm)，qi=spi/Pni＝fi(p,s)表示人數為p、總席位為s時分配給第i方席位(參見教材注釋)

GR方法滿足性質1，但不滿足性質2,3.

除數方法滿足性質2,3,但不滿足性質1.模型的公理化研究ipiqiGDMFEPHMSDGR19149091.49949390898892216601.66122222314601.46112222414501.45112221514401.44112221614001.40111221711001.10111121100000100100100100100100100模型的公理化研究可以找到同時滿足份額性和席位單調性的方法.已經證明：對于m≥4,N≥m+3,不存在滿足3條性質(份額性、席位單調性、人口單調性)的分配方法.關于席位分配問題的歷史發展狀況、數學研究方法的完整敘述：M.L.Balinski&H.P.Young,FiarRepresentation2001年第2版席位分配問題評述

建立“公平分配席位”模型的關鍵是建立衡量公平程度的數量指標.

對各種方法違反某條公理的概率也有研究（仿真）

如果采用公理化方法——提出公平分配席位的理想化原則，那么該問題尚未徹底解決——已證明不存在滿足一組公理的席位分配方法.

人們提出過上百種方法，還研究、比較過方法的相容性、穩定性、無偏性等.MF無偏！

上述討論可推廣到m變化的情形、有上下限的情形等.歷史資料及權力指標

美國國會實際采用過的方法：1830年前采用GD1840年采用MF1850-1900年采用GR（有時輔以調整）1910年采用MF1920年沒有重新分配席位1930年后采用EP相關問題：得到席位，就意味著有權力嗎？投票規則；權力指標計量政治學

投票評選優秀電影、優秀運動員、

根據投票情況決定選舉結果——選舉規則.

怎樣的選舉規則才是公正的？公正的標準是什么？8.5

存在公正的選舉規則嗎背景與問題

在普遍贊同的標準下是否存在公正的規則？群體決策——社會經濟領域中用民意調查的辦法決定人民大眾對某些事件、政策、人物的傾向.I={1,2,,n}~選民集合(n>1)A={x,y,z,u,v,}~m位候選人集合(m>1)選民i(I)對全體候選人投票

~A的一個排序pi根據全體候選人的投票pi(i=1,2,,n)確定群體對A的一個排序p(選舉結果

)選舉規則：pi(i=1,2,,n)p的對應關系（群體一致函數）選舉規則選舉規則排序pi(i=1,2,,n)和p應滿足的性質(公理)：

對于任意的x,yA,或者x優于y(x>y

),或者x等同

y(x~y

),或者x劣于y(x<y

).2.對于任意的x,y,zA,若xy,y

z,則x

z；且僅當x=y,y

=

z時,才有x

=

z.~可傳遞性(表示優于或等同，表示劣于或等同)選舉規則1~簡單多數規則當且僅當超過半數的選民i投票pi中有x>y時，選舉結果p中才有x>y（<和~有類似關系）.例1.設I={1,2,3}對A={x,y,u,v}的投票為

p1:x>y>u~v，p2:y>x>u>v，p3:x~u>v>y，選舉結果p

:x>y>u>v簡單多數規則

使用方便

不滿足排序的可傳遞性例2.p1:x>y>z，p2:y>z>x，p3:z>x>y，按規則p

應有x>y,y>z,z>x~破壞可傳遞性選舉規則2~記分規則（Borda數）Bi(x)~pi中劣于x的候選人數目(i=1,2,,n)例1.設I={1,2,3}對A={x,y,u,v}的投票為

p1:x>y>u~v，p2:y>x>u>v，p3:x~u>v>y，~x在選舉中的分數,稱Borda數當且僅當B(x)>B(y)時，選舉結果p中才有x>yB1(x)=3,B2(x)=2,B3(x)=2B(x)=

7B(y)=5,B(u)=3,B(v)=1p:x>y>u>v例2.p1:x>y>z，p2:y>z>x，p3:z>x>y，選舉規則2~記分規則（Borda數）B(x)=

B(y)=B(z)=3

p:x~y~z問題：投票時只要求順序，而記分規則考慮優劣程度例3.設I={1,2,3,4}對A={x,y,z,u,v}的投票為

p1,p2,

p3:x>y>z>u>v，p4:y>z>u>v>x，兩種規則都有不滿意之處，是否有適合所有情況的、公正合理的規則？公理化方法！B(x)=

12,B(y)=

13~違反多數人的意愿y>xArrow公理：選舉規則應滿足的5條公理公理1（選舉的完全性）選民對候選人的任何一種排序都是允許的.公理2（選舉結果與選民投票的正相關性）對于pi