numericalsolution數(shù)值解

第四章導(dǎo)熱數(shù)值解法基礎(chǔ)PrinciplesofNumericalMethodsofConduction

主要內(nèi)容§4-0概述§4-1建立離散方程的方法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值計算（2D）§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值計算（1D）核心知識點(diǎn)掌握導(dǎo)熱數(shù)值解法基礎(chǔ)3第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法45FluentPhoenicsParabolicHyperbolicOrEllipticNumericalIntegrationCodeSeries

6§4-0概述一、求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法（一）理論分析法Theoretical1.基本求解過程在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行求解，得到溫度與空間變量和時間變量之間的函數(shù)關(guān)系式，通過這種關(guān)系式，獲得物體內(nèi)任意時刻的溫度值，稱為分析解，或理論解、精確解；2.主要特點(diǎn)（1）能獲得問題的精確解，可為實驗、數(shù)值計算提供比較依據(jù)；（2）局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解；（3）分析解具有普遍性，各種因素的影響清晰可見。

7（二）實驗法Experimental1.基本求解過程

在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用對所研究對象的傳熱過程利用相似理論搭建試驗臺，進(jìn)行測試計算。主要特點(diǎn)

是傳熱學(xué)的基本研究方法

（1）適應(yīng)性不好

（2）費(fèi)用昂貴8（三）數(shù)值法Numerical基本求解過程

把原來在時間、空間上連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點(diǎn)上的值的集合來代替。把原來在空間和時間上連續(xù)的物理量的場轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢迋€離散的網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)上的物理量的集合，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值，稱之為數(shù)值解，或離散解。建立控制方程、定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)離散方程設(shè)立t場的迭代初值求解代數(shù)方程改進(jìn)初場是否收斂是否解的分析連續(xù)t10

2.主要特點(diǎn)（1）已成為傳熱學(xué)一個分支——

計算傳熱學(xué)（數(shù)值傳熱學(xué)）；（2）在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；（3）與實驗法相比成本低（如航天飛機(jī)）。11有限差分法（FiniteDifferenceModel）有限元法（FiniteElementModel）邊界元法（BoundaryElementModel）分子動力學(xué)模擬（MolecularDynamics）二、數(shù)值計算方法(i,j-1)(i,j)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)網(wǎng)格線：沿x和y方向分別按間距Δx和

Δy，用一系列與坐標(biāo)軸平行的網(wǎng)格線，把求解區(qū)域分割成許多小的矩形網(wǎng)絡(luò)，稱為子區(qū)域。節(jié)點(diǎn)：網(wǎng)格線的交點(diǎn)（內(nèi)、邊界節(jié)點(diǎn)）邊界節(jié)點(diǎn)：網(wǎng)格線與物體邊界的交點(diǎn)步長：相鄰兩節(jié)點(diǎn)的距離，Δx，Δy均勻網(wǎng)格：Δx=Δy微元體：以每一個節(jié)點(diǎn)為中心的小區(qū)域（元體、控制容積）一、區(qū)域、時間的離散化1.描述：二維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無qv、矩形域§4-1建立離散方程的方法——二維13xyji(i,j)MN2.步驟1）劃定網(wǎng)格線2）確定節(jié)點(diǎn)x0+iΔx,y0+jΔy

=(i,j)3）以每個節(jié)點(diǎn)為中心劃分單元格。節(jié)點(diǎn)溫度為所在微元體的平均溫度。圖2導(dǎo)熱問題數(shù)值求解示例(i-1,j)(i+1,j)(i,j+1)(i,j-1)144）劃分單元網(wǎng)格后，物體內(nèi)溫度由原來連續(xù)函數(shù)成為有限個離散數(shù)值，溫度曲線成為階梯狀變化。5）列節(jié)點(diǎn)代數(shù)方程，求解有限個離散溫度值Δx=Δy，(i,j)節(jié)點(diǎn):15二、建立離散方程的常用方法（2）熱平衡法（重點(diǎn)）將相鄰節(jié)點(diǎn)間的溫度分布視為線性，利用熱平衡原理，認(rèn)為某一節(jié)點(diǎn)與周圍各節(jié)點(diǎn)區(qū)域之間的總換熱量=0，進(jìn)而建立離散方程。適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)、邊界節(jié)點(diǎn)。（1）TaylorSeries（泰勒級數(shù)）展開法

應(yīng)用泰勒級數(shù)展開式，把導(dǎo)熱微分方程中的各階導(dǎo)數(shù)（微分）用相應(yīng)的差分表達(dá)式來代替，進(jìn)而建立離散方程。適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)。161.TaylorSeries（泰勒級數(shù)）展開法1）根據(jù)泰勒級數(shù)(1715)展開式，用節(jié)點(diǎn)(i,j）的溫度ti,j表示節(jié)點(diǎn)(i+1,j)的溫度ti+1,j，展開式為2）移項整理并歸并可得（一階截差公式）截斷誤差:未明確寫出的級數(shù)余項中的Δx的最低階數(shù)為1一階導(dǎo)數(shù)向前差分表達(dá)式173）同理，用節(jié)點(diǎn)(i,j)的溫度ti,j

表示節(jié)點(diǎn)(i-1,j)的溫度ti-1,j式(1)-式(2)：4）移項整理并歸并可得（一階截差公式）一階導(dǎo)數(shù)中心差分表達(dá)式一階導(dǎo)數(shù)向后差分表達(dá)式二階截差公式185）式(1)+式(2)，移項整理，可得，二階導(dǎo)數(shù)的中心差分：截斷誤差：未明確寫出的級數(shù)余項中的Δx的最低階數(shù)為26）同樣可得：舉例：二維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無qv

導(dǎo)熱問題A:首先，寫出通用微分表達(dá)式：化簡20小結(jié)——一階導(dǎo)數(shù)的各種差分形式1.向前差分（以x向為例）2.向后差分3.中心差分1.向前差分2.向后差分3.中心差分t對坐標(biāo)t對τ2.熱平衡法xyjiMNLPTRB仍以二維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無qv導(dǎo)熱問題為例由傅里葉定律：由能量守恒定律：22小結(jié)——物理問題的數(shù)值求解過程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程≤ε解的分析改進(jìn)初場是否相對誤差10-6~10-323

仍以二維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無qv導(dǎo)熱問題為例。1）在直角坐標(biāo)中，其導(dǎo)熱微分方程為：代入上式，得節(jié)點(diǎn)方程為：1.內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立2）將二階差分式§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值計算——2D243）若Δx=Δy，化簡得：重要說明：所求節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)≡∑所有相鄰節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)。但不包括熱流(或熱流密度)前的系數(shù)。

這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點(diǎn)。P89表4-1(內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)出在本書中簡單，在<傳熱學(xué)>數(shù)值計算中內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)出、具體方程還有許多)與左鄰右舍關(guān)系如何??25

第一類邊界條件：處理比較簡單，因為已知邊界溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。第二類邊界條件或第三類邊界條件：必須用熱平衡法，建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程，邊界節(jié)點(diǎn)與內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。

為求解方便，將第二類、第三類邊界條件合并考慮，用qw表示邊界上的熱流密度值或熱流密度表達(dá)式。用qv表示內(nèi)熱源強(qiáng)度。2.邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立26qwxyqw(1)平直邊界上的節(jié)點(diǎn)P89

序號227(2)外部角點(diǎn)序號3xyqw課后作業(yè)：將qw=h(tf

-ti,j)帶入外部角點(diǎn)的溫度離散方程，化簡28(3)內(nèi)部角點(diǎn)29qw的情況：（1）第二類邊界條件：將qw=Const，帶入上面各式即可

絕熱或?qū)ΨQ邊界條件？（2）第三類邊界條件：將qw=h(tf-ti,j)，帶入上面各式即可

（3）輻射邊界條件：或其他30設(shè)有一矩形平板，如圖示。a=2b。在邊界x=0和y=0是絕熱的，在x=a處給出第三類邊界條件，即給定h和tf。而y=b處，是第一類邊界條件，即溫度為已知，t=c11，c12，···C15

。試寫出各節(jié)點(diǎn)的離散方程。例1解：采用均勻網(wǎng)格Δy

=Δx=b/2，給各未知節(jié)點(diǎn)編號t1，t2，···t10。

按節(jié)點(diǎn)所在位置和題目所示邊界條件，寫出各節(jié)點(diǎn)的離散方程。3132×=系數(shù)矩陣變量矩陣常數(shù)矩陣332.節(jié)點(diǎn)方程組的求解前已寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個未知節(jié)點(diǎn)溫度t1、t2、t3….tn，n個代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法34直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解;

矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設(shè)、在迭代計算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi雅克比迭代）、

高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等35解：二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，應(yīng)用P89表4-1序號1的公式一各向同性材料的方形物體，其λ為常量。已知各邊界的溫度如圖所示，且Δx=Δy。試用高斯-賽德爾迭代求其內(nèi)部網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)1,2,3,4的溫度。例21234t=240℃t=60℃t=60℃t=60℃36開始，假設(shè)t1(0)=

t2(0)=120℃;t3(0)

=t4(0)

=80℃。帶入上式進(jìn)行迭代，第1~5次迭代值匯總?cè)缦拢豪?1234t=240℃t=60℃t=60℃t=60℃迭代次數(shù)t1/℃t2/℃t3/℃t4/℃012012080801125126.2581.2581.8752126.875127.1982.1982.3453127.345127.4282.4282.464127.46127.4882.4882.495127.49127.49582.49582.5037§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值計算---1D一、顯式差分格式2.物體溫度沿x方向變化，物體在x方向被分割為n段，所取步長Δx

，其中第i個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為iΔx

，簡記為i。3.物體中溫度隨時間變化，所取時間間隔步長Δτ，其中第k個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為kΔτ，簡記為k。

表示物體中kΔτ時刻，iΔx位置處溫度：1.導(dǎo)熱微分方程式一維、非穩(wěn)態(tài)、常物性、無qv384.

內(nèi)節(jié)點(diǎn)（i,k）溫度對x的二階導(dǎo)數(shù)，采用中心差分表達(dá)式應(yīng)為：5.

溫度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，取向前差分：6.

將4與5帶入1的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程7.

內(nèi)節(jié)點(diǎn)在計算時刻節(jié)點(diǎn)溫度的差分方程代入上式得：網(wǎng)格Fo數(shù)39由初始時刻(τ=0)的溫度算出Δτ時刻的溫度由Δτ的溫度,算出2Δτ時刻的溫度依次進(jìn)行，就可算出各時刻的溫度—顯式差分格式

對應(yīng)隱式差分格式P97

公式（4-15）……………………..由k時刻的溫度,算出k+1時刻的溫度8.分析409.穩(wěn)定性判據(jù)——為保證數(shù)值計算的穩(wěn)定性，必須有: