第二章地圖的數學基基礎第一節地球的大小與形狀1地球的形狀公元前6世紀，古希臘畢答哥拉斯提出“球形”說公元前4世紀，亞里士多德提出“地圓說”17世紀末，牛頓和惠更斯從力學角度，提出地球是兩極略扁的橢球體，稱為“地扁說”1873年，利斯廷提出用大地水準面來代表地球的形狀；大地水準面是一個物理表面，是地球重力場的幾何表示1945年，前蘇聯的莫洛堅斯基提出用“似大地水準面”來研究地球的形狀

人類花去了約二千五百年的時間對地球形狀和其大小進行測定，

經歷了從“球－橢球－大地水準面”這三個階段。現在我們認為：地球的形狀近似于一個球體，但并不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近似于梨形的橢球體。

這個不規則的地球體滿足不了人們工作的需要，于是人們選擇了一個最接近地球形狀的旋轉橢圓體表示地球，稱為地球橢球體。地球橢球體又稱“地球橢圓體”和“地球扁球體”。代表地球大小和形狀的數學曲面。以長半徑和扁率表示。因它十分迫近于橢球體，故通常以參考橢球體表示地球橢球體的形狀和大小。橢圓繞其短軸旋轉所成的形體，并近似于地球大地水準面。大地水準面的形狀即用相對于參考橢球體的偏離來表示。通常所說地球的形狀和大小，實際上就是以參考橢球體的半長徑、半短徑和扁率來表示。1975年國際大地測量與地球物理聯合會推薦的數據為：半長徑6378140米，半短徑6356755米，扁率1∶298.257。

2地球的大小地球橢球體的大小，由于推算所用資料、年代和方法不同，許多科學家所測定地球橢球體的大小也不盡相同前蘇聯克拉索夫斯基參考橢球（1954北京坐標系采用）a＝6378245m，扁率＝1：298.3IUGG－75地球橢球（1980國家大地坐標系采用）a＝6378140m，扁率＝1：298.257由于地球橢球體長短半徑差值很小，約21km，在制作小比例尺地圖時，因為縮小的程度很大，如制作1：1000萬地圖，地球橢球體縮小1000萬倍，這時長短半徑之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地圖時，可忽略地球扁率，將地球視為圓球體，地球半徑為6371km。制作大比例尺地圖時必須將地球視為橢球體。地球橢球體三要素長軸赤道半徑a短軸極半徑b扁率f=(a-b)/a國際主要橢球參數橢球名稱年代長半徑扁率備注德蘭博180036756531:334.0海福特191063783881:297.01942年國際第1個推薦值克拉索夫斯基194063782451:298.31967大地坐標系196763781601:298.2471971年國際第2個推薦值1975大地坐標系197563781401:298.2571975年國際第3個推薦值1980大地坐標系197963781371:298.2571979年國際第4個推薦值3地球模型水準面：平靜的海水面，重力等位面大地水準面：傳統上，將一個假想的、與平靜的平均海水面相重合并延伸通過陸地而形成的封閉曲面定義為大地水準面參考橢球：選定了某一個地球橢球的參數后，僅僅解決了橢球的形狀和大小。要把地面觀測值歸算到橢球面上進行計算，還必須確定它同大地水準面間的相關位置，這就是地球橢球的定位和定向。一個形狀、大小和定位、定向都已確定的地球橢球稱之為參考橢球。它是與局部地區的大地水準面符合的最好的一個地球橢球體大地體：似大地水準面包圍的形體，物理模型第二章地圖的數學基基礎第二節地球坐標系與大地坐標30°40'28.15"N104°8'21.30"E1坐標系地面點或空間目標的位置需要由三維數據來決定。即由確定平面位置的坐標系和確定空間高度的高程來決定。2地理坐標的構成子午線赤道經線緯線本初子午面3地理坐標分類天文經緯度坐標*大地經緯度地心經緯度?同一點的經緯度唯一嗎同一點的不同類型（天文經緯度、大地經緯度和地心經緯度）的經緯度不唯一，不同點的同一類型的經緯度唯一。天文經緯度、大地經緯度和地心經緯度定義不同，參考系統不同，適用于不同的情況。

天文經度：觀測點天頂子午面與本初子午面之間的兩面角

天文緯度：鉛垂線（重力線）與赤道面之間的夾角；大地經度：觀測點大地子午面與本初子午面之間的兩面角，

大地緯度：橢球垂直線(法線)與赤道面之間的夾角；地心經度：觀測點大地子午面與本初子午面之間的兩面角，

地心緯度：觀測點和球心連線與赤道面之間的夾角。4我國的大地坐標系世界各國基本都有自己國家的坐標系，我國的大地坐標系包括過去使用的1954北京坐標系，和現在使用的1980國家大地坐標系1980坐標系的大地原點設在陜西省涇陽縣A=6378140m（赤道半徑）f=1:298.257（扁率）5

地球的高程系統高程：是由高程基準面起算的高度。高程基準面：是根據驗潮站所確定的多年平均海水面而確定的。海拔高程：地面點至平均海水面垂直高度，也成為海拔高度、絕對高程通常被稱之為海拔或高程。高差：地面點之間的高程差，也稱相對高程。高程控制：為測定地面點高程所建立的基本控制。高程控制點：起高程控制的地面點?；蚍Q為水準點。第二章地圖的數學基礎第三節地圖投影地圖投影是地圖學重要組成部分之一，是構成地圖的數學基礎，在地圖學中的地位是相當重要的。地圖投影研究的對象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法。地圖投影的產生、發展、直到現在，已有一千多年的歷史，研究的領域也相當廣泛，實際上它已經形成了一門獨立的學科。1地圖投影的產生地圖表面和地球球面的矛盾地圖通常是繪在平面介質上的，而地球體表面是曲面，因此制圖時首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發生斷裂或褶皺。無論是將球面沿經線切開，或是沿緯線切開，或是在極點結合，或是在赤道結合，他們都是有裂隙的。2地圖投影的定義球面上任一點的位置是用地理坐標（φ、λ）表示的，而平面上點的位置是用直角坐標（縱坐標是x,橫坐標是y）表示的，所以要將地球球面上的點轉移到平面上，必須采用一定的數學方法來確定地理坐標與平面坐標之間的關系。這種在球面和平面之間建立點與點之間函數關系的數學方法，稱為地圖投影。3地圖投影的實質球面上任意一點的位置決定于它的經緯度，所以實際投影時是先將一些經緯線的交點展繪在平面上，再將相同經度的點連成經線，相同緯度的點連成緯線，構成經緯線網。有了經緯線網后，就可以將球面上的地理事物，按照其所在的經緯度，用一定的符號畫在平面上相應位置處。由此看來，地圖投影的實質是將地球橢球面上的經緯網按一定的數學法則轉移到平面上。經緯線網是繪制地圖的“基礎”，是地圖的主要數學要素。4地圖投影的方法幾何投影（透視投影）假想地球是一個透明體，光源位于球心，然后把球面上的經緯網投影到平面上，就得到一張球面經緯網投影。所不同的是，地圖投影面除了平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除了位于球心之外，還可以在球面、球外，或無窮遠處等。象這樣利用光源把地球面上的經緯網投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面這一對矛盾的一種方法。解析投影隨著科學技術的發展，幾何透視法遠遠不能滿足編制各種類型地圖的需要，這樣推動了地圖投影的發展，出現了解析法。所謂解析法就是不借助于幾何投影光源（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數學分析法確定球面與平面之間點與點之間一一對應的函數關系。 X=f1(φ、λ) Y=f2(φ、λ)

函數的f1f2具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對應關系式，就可把球面上的經緯網交點表示到平面上了。5地圖投影的變形變形的概念由于球面是一個不可直接展成平面的曲面，因此無論采用什么投影方法，投影后經緯網的形狀與球面上的經緯網形狀不完全相似。這表明地圖上的經緯網發生了變形。因而根據地理坐標展繪在地圖上的各種地面事物也必然發生了變形。為了正確使用地圖，必須了解投影后產生得變形，所以投影變形問題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規律，具有重大的實際應用價值。地球儀上經緯網的特點

1.地球儀上所有經線圈都是通過兩極的大圓；長度相等；所有緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓，并且從赤道向兩極越來越小，極地成為一點。

2.經線表示南北方向；緯線表示東西方向。

3.經線和緯線是相互垂直的。

4.緯差相等的經線弧長相等；同一條緯線上經差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經差相等的緯線弧長不等，而是從赤道向兩極逐漸縮小的。

5.同一緯度帶內，經差相同的經緯線網格面積相等，不同緯度帶內，網格面積不等，同一經度帶內，緯度越高，梯形面積越小。由低緯向高緯逐漸縮小。地球橢球面是不可展的面，將地球橢球面投影到平面上必然要產生變形。無論那種地圖投影法都有變形，包括長度變形、面積變形、角度變形或形狀變形。有的投影圖上，幾種變形都存在，也有的投影圖上可使面積無變形，而角度變形較大；也可使角度無變形，而面積變形較大；還可以在某個特定方向上使長度無變形。第二章地圖的數學基基礎第四節常用的地圖投影1按構成方法幾何投影方位投影圓住投影圓錐投影非幾何投影偽圓錐投影偽圓柱投影多圓錐投影幾何投影⑴方位投影以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到平面上而成。一般用于編制極地和半球的地圖

正方位投影橫方位投影斜方位投影⑵圓住投影以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。一般用于編制世界地圖與赤道附近的區域地圖

正圓柱投影橫圓柱投影斜圓柱投影⑶圓錐投影以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。適于編制中緯度國家和區域地圖

正圓錐投影橫圓錐投影斜圓錐投影非幾何投影不借助于任何幾何面，根據一定的條件用數學解析法確定球面與平面之間點與點的函數關系。在這類投影中，一般按經緯網形狀又可分為偽方位投影、偽圓住投影、偽圓錐投影和多圓錐投影2按變形性質地球球面投影到平面時，產生的變形有長度、角度和面積三種，根據變形特征可分為：等角投影等積投影任意投影偽圓錐投影偽圓柱投影多圓錐投影等角投影（正形投影）角度變形為0，地球面上的微小圓經過投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長度和面積變形。等角投影在同一點任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。多用于編制航海圖、洋流圖、風向圖等地形圖等積投影投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是球面上的不同地點微小圓投影后為面積相等的各個橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長度變形。由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經濟地圖。任意投影任意投影是既不等角也不等積的投影。這種投影的特點是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影，即誤差橢圓上的一個半徑和球面上相應微小圓半徑相等。3高斯-克呂格投影由于這個投影是由德國數學家、物理學家、天文學家高斯于19世紀20年代擬定，后經德國大地測量學家克呂格于1912年對投影公式加以補充，故稱為高斯-克呂格投影。即等角橫切橢圓柱投影。假想用一個圓柱橫切于地球橢球體的某一經線上，這條與圓柱面相切的經線，稱中央經線。以中央經線為投影的對稱軸，將東西各3°或1°30′的兩條子午線所夾經差6°或3°的帶狀地區按數學法則、投影法則投影到圓柱面上，再展開成平面，即高斯-克呂格投影，簡稱高斯投影。這個狹長的帶狀的經緯線網叫做高斯-克呂格投影帶。這種投影，將中央經線投影為直線，其長度沒有變形，與球面實際長度相等，其余經線為向極點收斂的弧線，距中央經線愈遠，變形愈大。隨遠離中央經線，面積變形也愈大。若采用分帶投影的方法，可使投影邊緣的變形不致過大。我國各種大、中比例尺地形圖采用了不同的高斯-克呂格投影帶。其中大于1∶1萬的地形圖采用3°帶；1∶2.5萬至1∶50萬的地形圖采用6°帶。4雙標準緯線圓錐投影雙標準緯線圓錐投影，是假象圓錐和地球橢球體旋轉軸重合并套在橢球體上，圓錐面與地球橢球面想割，將經緯網投影于圓錐面上展開而成。其經線表現為輻射的直線束，緯線為同心圓弧第二章地圖的數學基基礎第五節地圖的比例尺由于地圖投影的原因會造成地圖上各處的縮小比例不一致性，因此，進行地圖投影時，應考慮地圖投影對地圖比例尺的影響。電子地圖出現后傳統的比例尺概念發生新變化，在以紙質為信息載體的地圖上，地圖內容的選取、概括程度、數據精度等都與比例尺密切相關，而在計算機生成的屏幕地圖上，比例尺主要表明地圖數據的精度。屏幕上比例尺的變化，并不影響上述內容涉及的地圖本身比例尺的特征。１地圖比例尺的含義當制圖區域比較小，景物縮小的比例也比較小時，由于采用了各方面變形都比較小的地圖投影，因此，圖面上各處長度縮小的比例都可以看成是相等的。在這種情況下，地圖比例尺的含義，具體指的是圖上長度與相應地面之間的長度比例。２地圖比例尺的表示1.比例尺的表示傳統地圖上的比例尺通常有以下幾種表現形式：（1）數字式比例尺如1∶10000（2）文字式比例尺如圖上1厘米等于實地1千米（3）圖解比例尺：可分為直線比例尺、斜分比例尺和復式比例尺。

直線比例尺，是以直線線段形式標明圖上線段長度所對應的地面距離。

斜分比例尺，是一種根據相似三角形原理制成的圖解比例尺，利用這種斜分比例尺，可以量取比例尺基本長度單位的百分之一復式比例尺又稱投影比例尺，是一種根據地圖主比例尺和地圖投影長度變形分布規律設計的一種圖解比例尺。３地圖的比例尺系統各個國家的地圖比例尺系統是不完全相同的，特別是有些國家采用英制。我國采用十進制米制長度單位，規定了８種比例尺為國家基本地圖的比例尺系列第二章地圖的數學基基礎第六節地圖定向1地圖定向確定地圖上圖形的地理方向叫地圖定向三北方向線真北：過地面上任意一點，指向北極的方向，叫真北。其方向線叫真北方向線或真子午線。地圖上東西內圖廓就是真子午線。磁北：過地面上任意一點，磁針所指的北方，叫磁北。其方向線叫磁北方向線或磁子午線。地圖上P、P′點或磁北、磁南點的連線叫磁子午線。坐標縱線北：地圖上坐標縱線所指的北方，叫坐標縱線北。三個方位角真方位角：從真子午線北段順時針方向量至某一直線的水平角，叫真方位角。磁方位角：從磁子午線北端順時針方向量至某一直線的水平角，叫磁方位角。坐標方位角：從坐標縱線北端順時針方向量至某一直線的水平角，叫坐標方位角。三種偏角

由于真北、磁北、坐標縱線北在一般情況下方向是不一致的，所以三者之間互相形成三種偏角。磁偏角：以真子午線為準，磁子午線與真子午線的夾角。磁子午線東偏為正，西偏為負，磁偏角是實測得來的，由于磁偏角因地而異，所以圖幅的磁偏角是本圖幅幾個點的平均值。坐標縱線偏角（子午線收斂角）以真子午線為準，坐標縱線與真子之間的夾角。東偏為正，西偏為負，在投影帶的中央經線以東的圖幅均為東偏，以西的圖幅均為西偏。磁坐偏角：以坐標縱線為準，坐標縱線與磁子午線之間的夾角。磁子午線東偏為正，西偏為負。磁子午線真子午線坐標縱線磁北方向真北方向坐標北方向磁偏角子午線收斂角磁坐偏角10

°16’15°4’25

°20’地圖定向演示偏角與方位角間的換算關系：坐標方位角=磁方位角+磁坐偏角磁方位角=坐標方位角+磁坐偏角真方位角=坐標方位角+坐標縱線偏角注意偏角的正負號第二章地圖的數學基基礎第七節地圖分幅與編號對于一個確定的制圖區域來說，要求地圖內容比較概略，采用較小的比例尺，才有可能將全區域繪制于一張圖紙上。若需要增加地圖內容，便需要采用較大比例尺，比例尺增大將引起地圖幅面的增加，這樣就不可能在一張圖紙上描繪出來，則需要進行地圖分幅。1地圖的分幅矩形分幅拼接分幅不拼接分幅經緯分幅經緯分幅是當前全世界各國地形圖和大區域的小比例尺地圖采用的主要分幅方式我國的基本本比例尺地圖就是以經緯分幅制作的。它們是以1：100萬地圖為基礎，按照規定的經差合緯差劃分圖幅，行列數和圖幅數成簡單倍數的關系。矩形分幅我國基本比例尺地圖經差緯差與圖幅數比例尺1:1001:501:251:101:51:2.51:11:0.5圖幅范圍經差6°3°1°30’30’15’7’30”3’45”1’52.5”緯差4°2°1°20’10’5’2’30”1’15”圖幅數量141614457623049216368641：100萬地形圖按經差6°緯差4°分幅。以經差6°將整個地球劃分成60個縱列；由赤道向南北至緯度±88°，以緯差4°各劃分成22個橫行在緯度60°~76°內，按經差12°緯差4°分幅在緯度76°~88°內，按經常24°緯差4°分幅在緯度88°以上圓形極地地區，以極點為中心，單獨成一幅圖2國家基本比例尺地形圖的分幅編號截止1990年地形圖的圖解法分幅編號系統（一）1：100萬地形圖的分幅和編號分幅：經差6°緯差4°由經度180°開始按經差6°自西向東將全球分成60縱行，用1.2……60表示由赤道開始，按緯差4°將南北半球各分成22橫列，依次用字母A.B……V表示編號:每幅1：100萬地形圖的編號是由列號和行號所組成，列號在前，行號在后，中間連一短線，如北京所在圖幅，J-50(北京116°05′15″E39°50′10″N)（二）1：50萬；1：25萬；1：10萬地形圖分幅和編號1：50萬：按經差3°緯差2°分幅。每幅1：100萬圖含4幅1：50萬圖。代碼為A,B,C,D。

例：J-50-AADBCJ-50->1:50J-50-A1：25萬：按經差1°30′緯差1°分幅，1：100萬一幅地形圖含16幅1：25萬地形圖。代碼為a,b,c,d。編號：在1：50萬圖幅編號后加上該代碼。例：J-50-A-bADBCabdcJ-50->1:25J-50-A-b1：10萬：按經差30′緯差20′分幅，每幅1：100萬圖含144幅1：10萬圖，代碼為1、2...144，編號是在1：100萬的編號后加上自然序數代碼。例：J-50-5J-50->1:10J-50-551：5萬：分幅按經差15′緯差10′分幅，每幅1：10萬圖含4幅1：5萬地形圖。編號是在1：10萬圖編號后加上自己的序號A、B、C、D例：J-50-5-BJ-50-5->1:5J-50-5-BABDC1：2.5萬：按經差7′30″，緯差5′分幅，每幅1：5萬圖含4幅1：2.5萬地形圖。代碼為1、2、3、4。例：J-50-5-B-4J-50-5->1:2.5J-50-5-B-4ABDC12341：1萬：按經差3′45″，緯差2′30