2022-2023學年（上）學期廣州實驗學校期末試卷（高一數學）試卷滿分：150分答題時長：120分鐘一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據并集運算求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：D2.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用題給條件列出不等式組，解之即可求得函數的定義域.【詳解】要使函數有意義，必須，解之得且則函數的定義域為故選：C3.已知角的頂點與平面直角坐標系的原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過單位圓上的點，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據終邊經過點，且，利用三角函數的定義求解.【詳解】因為角終邊經過點，且，且終邊經過單位圓上的點，，故，解得故選：C4.y＝cos在[0，π]上的單調遞減區間為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先通過的單減區間求出整體的范圍，再結合已知解出的范圍即可.【詳解】由的單調遞減區間為，可得，解得，又，時，.故選：D.5.函數的零點所在區間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數的單調性和零點存在性定理確定正確答案.【詳解】的定義域是，圖象是連續不斷的且在上遞增，，所以零點所在區間為.故選：D6.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據對數運算知，再由指數函數單調性比較得，由正弦函數的單調性比較與的大小即可.【詳解】，由為減函數知，，又，，故選：B7.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式求，再利用同角三角函數關系式求的值.【詳解】，，，.故選：D8.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.根據國家有關規定：駕駛人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于醉酒駕車.假設某駕駛員一天晚上6點鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時10%的速度減少，則他次日上午最早點（結果取整數）開車才不構成酒駕.（參考數據：，）（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】根據題意可得不等式，解不等式可求得，由此可得結論.【詳解】假設經過小時后，駕駛員開車才不構成酒駕，則，即，，則，，次日上午最早點，該駕駛員開車才不構成酒駕.故選：C.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.關于函數，說法正確的是（）A.函數的圖象沿軸向左平移個單位可以得到函數的圖象B.函數沿軸向左平移個單位，可以得到的圖象C.函數圖象的橫坐標伸長到原來的2倍，可以得到的圖象D.函數圖象的橫坐標縮小到原來的倍，可以得到的圖象【答案】AC【解析】【分析】根據三角函數圖象的平移與伸縮變換，逐項分析即可得解.【詳解】對A，函數的圖象沿軸向左平移個單位可以得到圖象，即的圖象，故A正確；對B，函數沿軸向左平移個單位得到的圖象，故B錯誤；對C，函數圖象的橫坐標伸長到原來的2倍可以得到圖象，即的圖象，故C正確；對D，函數圖象的橫坐標縮小到原來的倍可以得到的圖象，故D錯誤.故選：AC10.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.，使成立D.命題“，”的否定是“，”【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的基本性質結合特殊值法以及充分條件、必要條件的定義可判斷A選項；利用特殊值法結合充分條件、必要條件的定義可判斷B選項；利用特殊值法可判斷C選項；利用存在量詞命題的否定可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則，由不等式的性質可得，即“”“”，若，取，則，即“”推不出“”，故“”是“”的充分不必要條件，A對；對于B選項，若，取，但推不出，即“”推不出“”，若，取，，則，即“”推不出“”，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，B錯；對于C選項，取，則成立，C對；對于D選項，命題“，”的否定是“，”，D對.故選：ACD.11.函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B.函數的最小正周期是C.是函數一個零點 D.函數的圖象關于直線對稱【答案】BD【解析】【分析】根據三角函數的圖象求得的解析式，然后對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由圖可知，，B選項正確.，，由于，所以，所以.，A選項錯誤.，所以C選項錯誤.，所以D選項正確.故選：BD12.如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象，假設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（）A.野生水葫蘆的面積每月增長率為1B.野生水葫蘆從蔓延到歷時至少需要1.5個月C.設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有D.野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度小于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度【答案】ACD【解析】【分析】根據圖象求出指數函數的解析式，再根據解析式、增長率的定義、平均速度的定義以及對數知識可得答案.【詳解】因函數關系為指數函數，所以設函數為，由圖可知，，所以，所以，設野生水葫蘆的面積每月增長率為，則第個月的面積，第個月的面積為，則，得，得，所以野生水葫蘆的面積每月增長率為1，故A正確；由，得，得，由，得，得，所以野生水葫蘆從蔓延到的時間為，因為，所以，所以B不正確；因為，，，所以，，，所以，，所以，故C正確；野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度為月，野生水葫蘆在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度為月，故D正確；故選：ACD三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若關于的不等式的解集是，則___________.【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式的解集與對應的方程的解的關系結合二次方程根于系數的關系求解即可.【詳解】由題意知，是的兩個根，則，解得.故故答案為：.14.若扇形的面積為5，圓心角為2弧度，則該扇形的弧長為___________.【答案】【解析】【分析】求出半徑，然后根據扇形的面積公式列方程求解.【詳解】設該扇形的弧長為，則該扇形的半徑為，解得故答案為：15.在平面直角坐標系中，角的頂點為，始邊為軸的非負半軸，終邊經過點，則___________.【答案】【解析】【分析】利用三角函數定義求出，再利用倍角公式計算即可.【詳解】由三角函數的定義可得，故答案為：.16.已知函數有兩個零點分別為，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據函數零點及對數函數的性質可得，再由對勾函數求范圍即可.【詳解】由題意，有兩個不等實根，即有2個實根，即圖象有2個交點，如圖，不妨設，則，即，解得，，（）在上為增函數，故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.求解下列問題：（1）求值：；（2）已知，化簡并求值：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據指數、對數、三角函數的知識進行化簡求值.（2）利用誘導公式和同角三角函數的基本關系式求得正確答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.已知函數，.（1）求的最小正周期；（2）求的單調遞增區間；（3）當時，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），；（3），1.【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡后由周期公式直接可得；（2）利用正弦函數的單調區間解不等式可得；（3）先根據x的范圍求出的范圍，然后由正弦函數的性質可得.【小問1詳解】，的最小正周期．小問2詳解】由，，得，．所以函數的單調遞增區間為，．【小問3詳解】∵，∴．當，即時，．當，即時，.19.已知函數（，為常數，且）的圖象經過點，.（1）求函數解析式；（2）若關于不等式對都成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）將，，代入函數，利用待定系數法即可得出答案；（2）轉化為，，再由函數單調性求解即可.【小問1詳解】∵函數的圖象經過點，，∴，即，又∵，∴，，∴.【小問2詳解】由（1）知，，∴對都成立，即對都成立，∴，，在上為增函數，∴，∴，∴的取值區間為．20.在①兩個相鄰對稱中心的距離為，②兩個相鄰最高點的由距離為，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并對其求解.問題：函數的圖象過點，且滿足________，當時，，求的值.【答案】【解析】【分析】選①得到函數周期，求出，再由圖象過點求出，得出函數解析式，再利用角的變換求解即可；選②可得函數周期為，解法下同①.【詳解】選①，由題意可知函數周期，所以，又圖象過點，所以，又，所以，所以，，，，選②，由題意知函數周期，下同①的解法.21.已知函數.（1）根據函數單調性的定義，證明在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；（2）若對，都有成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據函數單調性的定義法證明即可；（2）問題可轉化為，由函數單調性求出即可.【小問1詳解】設且，則當時，，，，即，在區間上單調遞減.當時，，，，，即，在區間上單調遞增.【小問2詳解】由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，因為，都有，所以，因為當時，，所以，故，所以實數的取值范圍為.22.已知函數，其