04年上海交通大學 數學分析答案_第1頁
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PAGEPAGE62004年上海交通大學數學分析（博士家園）解答庫感謝xiaoxiangmaths提供一（14）設，證明證因，故利用Stolz公式，，得二（14）證明在上不一致連續.證因，，，，故在上不一致連續.三（14）設在上連續，且＝，證明，使＝證作（），則在上連續，因＝，故，情形1若，則取，則＝，情形2若，則因，故由介值定理知，存在，使得，即＝.四（14）證明不等式＜＜，證作，，則因，故在上嚴格單調減少，而，，因此，在上，有，即＜＜.五(14)設收斂,且在上一致連續，證明=0.證因在上一致連續，故，，使得當且時，有，令，則由積分第一中值定理得，，使得.因收斂，故級數收斂，從而，即，也即，故對上述的，存在，使得當時，.取，則當時，因故存在惟一的，使得，易見，且，從而六（14）設，，，證明級數收斂.，因，故只要證收斂即可.七（14）設在上連續，=0,，，證明在上一致收斂.八（12）設在上連續，證明＝.證（1）（令，則，（2）因在上連續，故，使得，，（3），記，不妨設，則，（4）（5）因在上連續，故在上一致連續，故對上述的正數，，當且時，有（6）因，記，則存在正整數，使得當時，有，（7）當時，有，從而當時，有（8）由（3）和（7）知，當時，有九（12）設>0，＝＋，證明＝1證（1）要證＝1，只要證，即只要證，即證（2）因＝＋，故，因此只要證，即只要證（3）由知，單調增加，假如有上界，則必有極限，由＝＋知，＝＋，因此，矛盾.這表明單調增加、沒有上界，因此.（證完）十（28）計算下述積分：1．，其中D是矩形區域，解記

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