PAGEPAGE60《數學分析3》教案授課時間2006.10.17第10次課授課章節第十七章第二節第三節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)理解一階全微分形式不變性(2)掌握方向導數與梯度的定義(3)掌握方向導數與梯度的計算教學重點，難點：重點：方向導數與梯度的定義難點：一階全微分形式不變性,方向導數的定義教學內容：一階微分形式不變性一階微分有個很重要性質——形式不變性。在多元函數中也有類似的性質。設是二元可微函數，如果是自變量，則：（各自獨立數值）如果不是自變量而是中間變量，又設都可微，并且可以構成復合函數，那么：《數學分析3》教案由（1），（2）的可知一階微分形式的不變性。注:（1）兩階微分沒有這一性質，如下例例1設則如果二階微分有形式不變性，則有：但（2）利用一階微分形式不變性求偏導數例2設利用微分形式不變性求并求出§3方向導數與梯度一方向導數：（一）、方向導數的定義：定義設三元函數在點的某鄰域內有定義.為從點出發的射線.為上且含于內的任一點,以表示與兩點間的距離.若極限存在,則稱此極限為函數在點沿方向的方向導數,記為或、.《數學分析3》教案對二元函數在點,可仿此定義方向導數.易見、和是三元函數在點分別沿軸正向、軸正向和軸正向的方向導數.例1=.求在點處沿方向的方向導數,其中（1）為方向;（2）為從點到點的方向.解（1）為方向的射線為.即.,.因此,（2）從點到點的方向的方向數為方向的射線為.,;.因此,（二）、方向導數的計算:定理:若函數在點可微,則在點處沿任一方向的方向導數都存在,且++,其中、和為的方向余弦.對二元函數,+,其中和是的方向角.注:由++《數學分析3》教案=(,,(,,),可見,為向量,,在方向上的投影.例2(上述例1)解（1）的方向余弦為=,=,=.=1,=,=.因此,=++=.（2）的方向余弦為=,=,=.因此,=.可微是方向導數存在的充分條件,但不必要.二梯度(陡度):（一）、梯度的定義:,,.|=.易見,對可微函數,方向導數是梯度在該方向上的投影.（二）、梯度的幾何意義:對可微函數,梯度方向是函數變化最快的方向.這是因為|.其中是與夾角.可見時取最大值,在的反方向取最小值.（三）、梯度的運算:1.2(+)=+.3()=+.《數學分析3》教案4.5()=.證:4,..總結：的方向表示數量場在分三元沿此方向的方向導數達到最大；的根長就是這個最大的方向導數。《數學分析3》教案復習思考題、作業題：17.31,3,7下次課預習要點泰勒公式與極值問題實施情況及教學效果分析完成教學內容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日

《數學分析3》教案授課時間2006.10.19第11次課授課章節第十七章第四節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)掌握二元函數的高階偏導數與泰勒公式的定義(2)掌握混合偏導數與求導次序無關的定理的證明教學重點，難點：重點：二元函數的高階偏導數與泰勒公式難點：二元函數的泰勒公式教學內容：一、高階偏導數:類似于一元函數的高階導數，可以定義高階偏導數。就二元函數而論，如果的兩個偏導數,都存在，它們就是關于的二元函數。還可以討論它們關于的偏導數，如果它們關于的偏導數存在，或者關于的偏導數存在，就稱這些偏導數是二階偏導數。如此以來,二元函數的二階偏導數就有四種情形:.類似的可定義更高階的偏導數.例1求二階偏導數和.例2.求二階偏導數.注混合偏導數由于求導次序的不同,可能會不同.《數學分析3》教案例3求函數在原點的二階偏導數.但在滿足一定條件下,混合偏導數與求導次序無關.定理17.7設二元函數的兩個混合偏導數，在(，)連續，則有(,)=(,).復合函數的高階偏導數一定注意中間變量仍然是自變量的函數,因變量仍然是中間變量的函數.例4.求和.利用變量變換和高階偏導數可以驗證或化簡偏微分方程:例5.證明+.(Laplace方程)例6

試確定和,利用線性變換將方程化為.解,.

=+++=+2+.=+++=++.=++.因此,+(+.令,或《數學分析3》教案或……,此時方程化簡為.二、中值定理：定理設二元函數在凸區域D上連續,在D的所有內點處可微.則對D內任意兩點D,存在,使.證:令然后利用一元函數的中值定理.推論若函數在區域D上存在偏導數,且,則是D上的常值函數.三、Taylor公式:定理(Taylor公式)若函數在點的某鄰域內有直到階連續偏導數,則對內任一點,存在相應的,使證略例1求函數在點的Taylor公式(到二階為止).并用它計算《數學分析3》教案復習思考題、作業題：1(2)(3)(6)(7),3,7(1)(4)下次課預習要點多元函數的極值實施情況及教學效果分析完成教學內容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數學分析3》教案授課時間2006.10.24第12次課授課章節第十七章第四節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)能夠根據二元函數的極值的必要條件與充分條件尋找二元函數的極值與最大(小)值．(2)掌握二元函數的極值的必要條件充分條件定理的證明．教學重點，難點：重點：二元函數的極值的必要條件與充分條件難點：判別二元函數的極值問題教學內容：一極值（一）、極值的定義:注意(1)只在內點定義極值,(2)極值是局部概念.（二）、極值的必要條件：與一元函數比較.定理設為函數的極值點.則當和存在時,有=.極值的候選點：函數的穩定點、不可導點。（三）、極值的充分條件:代數準備:給出二元(實)二次型.其矩陣為.1是正定的,順序主子式全,《數學分析3》教案是半正定的,順序主子式全;2是負定的,,其中為階順序主子式.是半負定的,.3<0時,是不定的.充分條件的討論設函數在點某鄰域有二階連續偏導數.由Taylor公式,有++.令,,,則當為駐點時,有.其中.可見式的符號由二次型完全決定.稱該二次型的矩陣為函數的Hesse矩陣.于是由上述代數準備,有1,為(嚴格)極小值點;2,為(嚴格)極大值點;3時,不是極值點;4時,可能是極值點,也可能不是極值點.綜上,有以下定理:定理設函數在點的某鄰域內有連續的二階偏導數,是駐點.則1時,為極小值點;2時,為極大值點;3時,不是極值點;4時,可能是極值點,也可能不是極值點.《數學分析3》教案例1求的極值.例2討論是否存在極值.例3討論是否存在極值.二最值最值是一個整體概念.最值的候選點是穩定點,無偏導數點,區域的界點.例4求函數在域D=上的最值.解令解得駐點為..在邊界上,,駐點為,;在邊界上,,沒有駐點;在邊界上,,駐點為,.又.于是,..最值還經常用于解決實際問題.例5證明:圓的所有外切三角形中,以正三角形的面積為最小.例6(最小二乘法問題)設通過觀測或實驗得到一列點.它們大體上在一條直線上,即大體上可用直線方程來反映變量與之間的對應關系(參見圖17-9).現要確定一直線使得與這個點的偏差平方和最小(最小二乘方).《數學分析3》教案復習思考題、作業題：8(3),9(2),11下次課預習要點隱函數的存在性定理實施情況及教學效果分析完成教學內容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數學分析3》教案授課時間2006.10.26第13次課授課章節第十八章第一節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)掌握隱函數存在的條件，理解隱函數定理的證明要點；(2)掌握隱函數定理的證明教學重點，難點：重點：隱函數定理難點：隱函數定理的嚴格證明教學內容：一、隱函數概念隱函數是表達函數的又一種方法.顯函數：表達式大多是自變量的某個算式，例如，等等.但還有另外一種形式的函數，其自變量與因變量之間的對應法則是由一個方程式所確定,我們把這種函數稱為隱函數.定義：設，，函數.對于方程，（1）若存在集合，，使得對于任何，恒有唯一確定的，它與一起滿足方程（1）.則稱由方程（1）確定一個定義在上，值域含于的隱函數.若把它記為，，則成立恒等式，.《數學分析3》教案注1顯函數與隱函數沒有明顯的界限.如是顯函數，但是隱函數.例1方程能確定一個定義在上的隱函數.如果從方程中把解出，這個函數也可表示為顯函數形式：.例2圓方程能確定一個定義在上，函數值不小于的函數；又能確定另一個定義在上，函數值不大于的函數.注2確定隱函數必須三個基本條件：確定它的方程，變量的取值范圍，變量的取值范圍.問：是否所有的方程都可以確定隱函數？是否隱函數都可以有顯函數形式？例3方程，當時，不能確定任何函數，使得，只有當時，才能確定隱函數.例4方程能確定定義在上的函數，使得.但這個函數卻無法用的算式來表達.注3一個方程可能確定隱函數，如例1、2、4，也可能不確定隱函數，如例3；一個方程可能確定一個隱函數，如例1、4，也可能確定二個（或多個）隱函數，如例2；一個方程確定的隱函數可能是初等函數，如例1、2，也可能不是初等函數，例4說明隱函數包含非初等函數，從而給出了表示函數的新方法，擴大了研究函數的范圍.問：在什么條件下，方程能確定出隱函數？唯一？隱函數有什么解析性質？換言之，對于隱函數，主要研究兩個問題:(1)隱函數的存在性；(2)隱函數的解析性質.二、隱函數存在性條件的分析（i）由于滿足方程的點集可看作曲面與坐標平面的交集,所以方程(1)能確定一個函數,至少要求該交集非空,即存在點,使.(ii)方程（1）能在點附近確定一個連續函數，表現為上述交集是一條通過點的連續曲線段，但有交點，未必有交線.例如,曲面與平面有一個交點,但沒有一條相交的直線.對此看出,之所以曲面在點與平面相交但沒有相交的直線,其主要原因是曲面在點的切平面恰好是平面.由此,容易猜想到,如果曲面在平面上的點相《數學分析3》教案交且曲面在這點的切平面與平面有一定的角度(即切平面不與平面平行),從而曲面在點的某鄰域內穿過平面,于是有交線或.根據全微分的集合意義,要是曲面的切平面不與平面平行,只需.(2)(iii)要求隱函數（或）在點可微,則在為可微的假設下,通過對(1)在點處對求導,依鏈式法則,有,當時,,當時,,由此,條件(2)不僅對于隱函數的存在性,對于隱函數的求導同樣重要.三、隱函數定理定理18.1(隱函數存在唯一性定理)若滿足下列條件:(i)函數在以為內點的某一區域上連續;(ii)(通常稱這一條件為初始條件);(iii)在內存在連續的偏導數;(iv).則在點的某鄰域()內,方程唯一地確定一個定義在某區間內的隱函數,使得,時()且. 函數在區間內連續.證明:先證隱函數的存在性與唯一性.由條件(iv)，不妨設（若，則可討論）.由條件（ii）在內連續，由連續函數的局部保號性，存在點的某一閉的方鄰域，使得在其上每一點處都有.因而，對每個固定的《數學分析3》教案,作為的一元函數,必定在上嚴格增且連續.由初始條件(ii)可知,.再由的連續性條件(i),又可知道與在上也是連續的.由此由保號性存在,當時恒有,,在矩形的邊上取負值,在邊上取正值.因此對內每個固定值,同樣有,.根據前已指出的在上嚴格增且連續,由介值性保證存在唯一的,使得.由在中的任意性,這就確定了一個隱函數,它的定義域為,值域含于.若記,則滿足結論的各項要求.若還存在另一個隱函數,使得,又,由對固定的關于嚴格遞增知，.再證明的連續性.對于內的任意點,則由上述結論可知.任給,且設,使得,從而,.由保號性存在的某鄰域,使得當屬于該鄰域時同樣有,因此存在惟一的,使得,.由于的惟一性,推知.這就證得:當時,即在連續.由的任意性,證得在內處處連續.《數學分析3》教案注4定理中,條件(i)和（iii）表明曲面是光滑的;條件（ii）表明曲面和坐標平面有一個交點;條件(iv)表明在點的附近對固定的,沿的正向,曲面是嚴格單調的.定理的結論表明在點的附近曲面和坐標平面有惟一一條連續曲線.注5定理的條件是充分的.例如方程在不滿足(iv),但仍能確定惟一的連續函數.但不滿足(iv),往往使結論不成立.例如:,由于,與連續故滿足(i)（ii）（iii）,但因,致使在的無論怎樣小的鄰域內都不可能存在惟一隱函數.注6定理證明過程中主要利用了連續函數的局部保號性,單調性及介值性定理等.由證明過程可知,條件（iii）(iv)只是用來保證存在的某一鄰域,在此鄰域內關于變量是嚴格單調的,因此如果只要定理的結論成立,條件可減弱為在的某一鄰域內關于變量是嚴格單調的.注7若把條件（iii）(iv)改為:連續,且,則結論是存在惟一的連續函數.注8定理的結論是局部性的,即在點的某鄰域內由方程可以唯一確定一個連續函數.定理的局部性還反映在下面一點:如果上述鄰域不足夠小的話,隱函數定理可能不成立.《數學分析3》教案復習思考題、作業題：思考題:由方程確定的隱函數在什么條件下是可微的呢?1，2下次課預習要點隱函數可微的條件隱函數組存在的條件實施情況及教學效果分析完成教學內容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數學分析3》教案授課時間2006.10.31第14次課授課章節第十八章第一節第二節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)學會隱函數求導法(2)掌握隱函數組存在的條件，學會隱函數組求導法．教學重點，難點：重點：學會隱函數求導法，隱函數組存在定理難點：隱函數及隱函數組求導法教學內容：問:由方程確定的隱函數在什么條件下是可微的呢?定理18.2設函數滿足隱函數存在唯一性定理的條件,又設在內存在且連續,則隱函數在區間內可導,且.證設與都屬于,它們所對應的函數值與都含于內.由于,因此由、的連續性以及二元函數中值定理,有《數學分析3》教案其中.因而注意到上式右端是連續函數、與的復合函數,而且在內不等于零,故有且在內連續.注9定理18.2告訴我們隱函數的導數可以用公式來求.通過隱函數存在條件的分析我們還可以知道隱函數的導數的另一種求法:若已知方程確實存在連續可微的隱函數,則可用復合函數求導法則對方程求導:(*)得到.還可以用一階微分形式不變性來求:對微分:.問:隱函數的高階導數該如何求?對于隱函數的高階導數可以用上面同樣的方法來求,只是必須注意即及各階導數是復合函數.對(*)求導可解出隱函數的二階導數.更高階的類似.例1驗證方程在點滿足隱函數存在唯一性定理的條件,并求隱《數學分析3》教案函數的導數.解因為(i)在全平面上連續;(ii);(iii),在全平面上連續;(iv),所以在附近可以確定隱函數,且其導數:.例2.其中為由方程所確定的隱函數.求.分析:要求,根據復合函數的求導法則可得,而對于是由方程所確定的隱函數的一階導數,因此對方程直接關于求導:即將上式代入即可.例3(反函數存在性及其導數)設函數在點的某鄰域內有連續的導函數,且,.用隱函數定理驗證存在反函數,并求反函數的導數.解考察方程,由于(i)連續;(ii);(iii),連續;(iv),所以在附近可以確定隱函數,且其導數:.四元隱函數的存在性定理定理18.3若(i)函數在以為內點的某一區域上連續;(ii);(iii)偏導數,在內存在且連續;(iv).《數學分析3》教案則在點的某鄰域()內,方程惟一地確定一個定義在的某鄰域()內的元連續函數(隱函數),使得 當()時且，. 在()內有連續偏導數,而且，，…，.例4設.驗證在點存在是的隱函數,并求偏導數.解由于，，處處連續，根據隱函數定理18.3,在原點附近能確定惟一連續可微的隱函數,且可求的它的偏導數如下:,.§2隱函數組一、隱函數組概念設和為定義在區域上的兩個四元函數.若存在平面區域,對于中每一點,分別有區間和上惟一的一對值,,它們與一起滿足方程組(1)則說方程組(1)確定了兩個定義在上,值域分別落在和內的函數.我們稱這兩個函數為由方程組(1)所確定的隱函數組.若分別記這兩個函數為,則在上成立恒等式.《數學分析3》教案為了探索由方程組確定隱函數組所需要的條件,不妨假設方程組中的函數是與可微的,且由方程組所確定的兩個隱函數也是可微的,則通過對方程組關于分別求導數,得到,.要想從上兩式中分別解出與,與,其充分條件是它們的系數行列式不為零,即(*).上式左邊的行列式稱為,函數關于變量的函數行列式(或雅可比行列式),亦可記作.(*)式在隱函數組定理中所起的作用,與定理18.1中的條件(iv)相當。二、隱函數組定理定理18.4(隱函數組定理)若(i)與在以點為內點的區域內連續;(ii)(初始條件);(iii)在內,具有對各個變量的一階連續偏導數;(iv)在點不等于零.則在點的某一(四維空間)鄰域()內,方程組(1)惟一確定了定義在的某一(二維空間)鄰域()內的兩個二元隱函數,使得且當 ,且當時,.; ,在內連續;,在內有一階連續偏導數,且《數學分析3》教案,,,.注1隱函數組定理的條件也是存在隱函數組的充分條件;隱函數組定理也是一個局部性定理.注2在定理18.4中,若將條件(iv)改為,則方程組所確定的隱函數組相應是,;其他情形均可類似推出.總之,由方程組定義隱函數組及隱函數組求導時,應先明確哪些變量是自變量,哪些是因變量,然后再進行有關運算和討論.注3由方程組確定的隱函數組的導數除了用公式之外,還可以直接對方程組關于變量求導,然后求解.例1設，，及，證明:.證方程組確定了函數組，先求這個函數組對各變元的偏導數，為此，對方程組求微分得，即故將函數組代入方程，得關于變元的方程，在這方程兩邊分別對求偏導，得《數學分析3》教案將上面三式分別乘以后再相加，得將，，代入即得.例2討論方程組在點近旁能確定怎樣的隱函數組,并求其導數.例3在方程，作變換：,求代換后的方程.解把看作中間變量的函數,而又是自變量的函數,則,,,,代入原式:,所以新自變量下的方程換為.《數學分析3》教案復習思考題、作業題：18.13(2)(4)(6),418.22(2),4下次課預習要點隱函數（組）的幾何應用實施情況及教學效果分析完成教學內容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數學分析3》教案授課時間2006.11.2第15次課授課章節第十八章第二節第三節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)掌握反函數組存在的條件，學會反函數組求導法．(2)能夠寫出平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程以及曲面的切平面與法線方程教學重點，難點：重點：隱函數（組）的幾何應用難點：反函數組求導教學內容：反函數組和坐標變換:設函數組(9)是定義在平面點集上的兩個函數,對每一點,由方程組(9)有平面上惟一的一點與之對應.我們稱方程組(9)確定了到的一個映射(變換),記作.這時映射(9)可寫成如下函數形式:或寫成點函數形式,,并稱為映射下的象,而則是的原象.記在映射下的象集為.《數學分析3》教案反過來,若為一一映射(即不僅每一原象只對應一個象,而且不同的原象對應不同的象).這時每一點,由方程組(9)都有惟一的一點與之相對應.由此所產生的新映射稱為映射的逆映射(逆變換),記作,即或亦即存在定義在上的一個函數組(10)把它代入(9)而成為恒等式:(11)這時我們又稱函數組(10)是函數組(9)的反函數組.關于反函數組的存在性問題,其實是隱函數組存在性問題的一種特殊情形,這只需把方程組改寫成(9),(12)并將定理18.4應用于(12),便可得到函數組(9)在某個局部范圍內存在反函數組的下述定理:定理18.5(反函數組定理)設函數組(9)及其一階偏導數在某區域上連續,點是的內點,且,,則在點的某一區域內存在惟一的一組反函數組(10),使得,且當時,有以及恒等式(11).此外,反函數組(10)在內存在連續的一階偏導數,且,,注4互為反函數組的Jacobi行列式互為倒數.《數學分析3》教案對于函數組,,在相應定理18.5的條件下所能確定出的反函數組為,,它們是三維空間中直角坐標與曲面坐標之間的坐標變換.下面的兩個例子就是我們經常用的兩個重要的坐標變換.例4平面上的點的直角坐標與極坐標之間的坐標變換公式為,求其反函數組.解：由于，所以除原點外，在一切點上由函數組所確定的反函數組是，.例5直角坐標與球坐標之間的變換公式為,求其反函數組.解由于所以在及除去軸上的一切點,由上方程組可確定出為的函數,即，.《數學分析3》教案§3幾何應用一、平面曲線的切線與法線:由《數學分析》上冊知,平面曲線在點的切線和法線分別為,.設平面曲線由方程(1)給出,它在點的某鄰域內滿足隱函數定理條件,于是在附近所確定的連續可微隱函數(或)和方程(1)在附近表示同一曲線.由隱函數定理可知.所以在處存在切線和法線,其方程分別為,.例1求Descartes葉形線在點處的切線和法線.二、空間曲線的切線與法平面（參數方程表示，方程組表示）本段主要討論由參數方程表示的空間曲線和由方程組表示的空間曲線的切線和法平面的計算問題。（一）、參數方程的情形設空間曲線的參數方程為其中的參數.又設都在連續，并且對每一不全為，這樣的曲線稱為光滑曲線.幾何意義：表示通過曲線上兩點的割線的方向向量，令，即點得《數學分析3》教案通過點時，的極限位置就是曲線在點的切向量，即.有了切向量，就可寫出曲線在任一點的切線方程：法平面：過點可以作無窮多條切線與切線垂直，所有這些直線都在同一平面上，稱這個平面為曲線L在點處的法平面，其方程為：.例2求螺旋線：，（其中為常數）在點的切線方程和法平面方程.（二）、空間曲線是用兩個曲面的交線表示的，如何求切向量？設有一個方程組（兩個曲面方程的聯立），又設關于有連續的偏導數，點滿足方程組：，，并且的Jacobi矩陣.在點的秩為2，不妨設.由方程組的隱函數組存在定理知道，在點的某一鄰域內，由方程組可以確定唯一的一組連續可微函數，.從幾何上看，即曲面和在點的近處確定了一條光滑的曲線（兩曲面的交線），其方程為： ，，，此處是參數，該切線的切向量是,其中的求法可以用上節求法（方程組確定的隱函數求導法求出）；.《數學分析3》教案由(一)參數形式曲線的切線方程與法線方程的推導過程可知,曲線在的切線方程與法平面方程分別為,.同樣可推出:當或在處不等于零,曲線在的切線方程與法平面方程仍分別為上式的形式.由此可見,當,,不全為零,它們是空間曲線在在的切線的方向數.例3求球面與錐面所截出的曲線的點處的切線方程和法平面方程.三、曲面的切平面和法線（一）、的情形若光滑曲面S的方程是，為曲面上一點，過點任做一條在曲面上的曲線，設其方程為：，，.則切平面方程：；過點并與切線平面垂直的直線，稱為曲線在點的法線，方程為：。（二）、：，切平面方程：,《數學分析3》教案法線方程：.（三）、曲面方程由方程組給出：，，是參數，并假定Jacobi矩陣的秩為2.法線方程：.例4求橢球面在點處得切平面方程和法線方程.解設.由于,,在全空間上處處連續,在點處,,.因此切平面方程,即和法線方程.《數學分析3》教案復習思考題、作業題：18.23(2),5(1)18.31,2(2),3(1),4下次課預習要點條件極值實施情況及教學效果分析完成教學內容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數學分析3》教案授課時間2006.11.7第16次課授課章節第十八章第四節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)了解拉格朗日乘數法的證明(2)掌握用拉格朗日乘數法求條件極值的方法．(3)用條件極值的方法證明或構造不等式．教學重點，難點：重點：用拉格朗日乘數法求條件極值難點：多個條件的的條件極值問題教學內容：一、何謂條件極值在討論極值問題時，往往會遇到這樣一種情形，就是函數的自變量要受到某些條件的限制。決定一給定點到一曲面的最短距離問題，就是這種情形。我們知道點到點的距離為.現在的問題是要求出曲面上的點使為最小.即問題歸化為求函數在條件下的最小值問題.又如，在總和為C的幾個正數的數組中，求一數組，使函數值為最小，這是在條件的限制下，求函數的極小值問題。這類問題叫做限制極值問題（條件極值問題）.《數學分析3》教案例1要設計一個容積為的長方體形開口水箱.確定長、寬和高,使水箱的表面積最小.分別以、和表示水箱的長、寬和高,該例可表述為:在約束條件之下求函數的最小值.條件極值問題的一般形式是在條件組限制下，求目標函數的極值.對這種問題的解法有:化為無條件極值.例1由解出,并代入函數中,得到,然后按,求出穩定點,并有,最后判定在此穩定點上取的最小面積.然而,在一般情形下條件組中解出個變元并不總是可能的.下面介紹的拉格朗日乘數法就是一種不直接依賴消元而求解條件極值問題的有效方法.二、條件極值的必要條件設在約束條件之下求函數的極值.當滿足約束條件的點是函數的條件極值點,且在該點函數滿足隱函數存在條件時,由方程決定隱函數,于是點就是一元函數的極限點,有.代入,就有,即,亦即(,),).可見向量(,)與向量,)正交.注意到向量,)也與向量,)正交,即得向量(,)與向量,)線性相關,即存在實數,使(,)+,).《數學分析3》教案亦即三、Lagrange乘數法:由上述討論可見,函數在約束條件之下的條件極值點應是方程組的解.引進所謂Lagrange函數,(稱其中的實數為Lagrange乘數)則上述方程組即為方程組下面以三元函數,兩個約束條件為例介紹Lagrange乘數法的一般情況.例2求函數在條件下的極值。解令,,,得,（1）又,（2）,（3）由（1）得，,當時得，故得，代入（2）（3）式得,.解得穩定點，.由對稱性得，也是穩定點.《數學分析3》教案四、用Lagrange乘數法解應用問題舉例:例3用拉格朗日乘數法重新解決:求容積為的長方體形開口水箱的最小表面積.解這時所求的問題的拉格朗日函數是對求偏導數,并令它們都等于0:求上述方程組的解,得.依題意,所求水箱的表面積在所給條件下確實存在最小值.由上可知,當高為,長與寬為高的2倍時,表面積最小.最小值.例4拋物面被平面截成一個橢圓.求該橢圓到坐標原點的最長和最短距離.例5求函數在條件.下的極小值;并證明不等式,其中為任意正常數.解設拉格朗日函數為.對求偏導數,并令它們都等于0,則有由上述方程組的前三式,易得.從而函數的穩定點為,.《數學分析3》教案為了判斷是否為所求條件極(小)值,我們可把條件看作隱函數(滿足隱函數定理條件),并把目標函數看作與的復合函數.這樣,就可應用極值充分條件來做出判斷.為此計算如下:,,,.當時,,.由此可見,所求得的穩定點為極小值點,而且可以驗證是最小值點.這樣就有不等式.令,則,代入上不等式有或.注用拉格朗日乘數法求解條件極值問題的一般步驟如下:(1)根據問題意義確定目標函數與條件組.(2)作拉格朗日函數,其中的個數即為條件組的個數.(3)求拉格朗日函數的穩定點,即通過令,求出所有的穩定點,這些穩定點就是可能的極值點.(4)對每一個可能的條件極值點,據理說明它是否確實為條件極值點.如果已知某實際問題或根據條件確有極值,而該問題的拉格朗日函數又只有一個穩定點,且在定義域的邊界上(或逼近邊界時)不取得極值,則這個穩定點就是所求的條件極值點.否則,還需要采用無條件極值的充分條件來判定.《數學分析3》教案復習思考題、作業題：1(2),2(2)下次課預習要點含參量正常積分實施情況及教學效果分析完成教學內容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數學分析3》教案授課時間2006.11.9第17次課授課章節第十九章第一節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)了解含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明(2)熟練掌握含參量正常積分的導數的計算公式．教學重點，難點：重點：含參量正常積分定義級其性質難點：含參量正常積分的連續性，可微性和可積性教學內容：一、含參量正常積分的概念定義設二元函數在矩形區域上有定義，且對內每一點，函數關于在閉區間上可積，則定義了的函數，（1）設二元函數在區域上有定義，函數，為上的連續函數，且對內每一點，函數關于在閉區間上可積，則定義了的函數，（2）稱（1）和（2）為含參量的正常積分．類似可定義含參量的正常積分．問1含參量積分是積分還是函數？它與已學過的積分有什么聯系？答含參量積分在形式上是積分，但積分值隨參量的取值不同而變化，因此實質上是一個函數。《數學分析3》教案即含參量正常積分是以積分形式表達的函數，而不定積分是滿足一定條件的一族函數，定積分表達的則是一個數。如果將常數看作常值函數，則定積分成為含參量正常積分的特殊情形。含參量積分實質上是函數，它提供了構造新函數的一種方法。以前學過的函數出了表示成因變量是自變量的表達式外，還有變限積分表示、函數項級數表示、函數列表示、用函數方程或隱函數等等.二、含參量正常積分的連續性、可微性與可積性（一）、連續性定理19.1(連續性)若二元函數在矩形區域上連續，則函數在上連續．分析設，對充分小的，有（若為區間端點則考慮或），要證在上連續,只須證在任意上連續,只須證,當時,,即,當時,.要使上式成立，只須.由在上連續，從而一致連續可得結果.（同理，若二元函數在矩形區域上連續，則函數在上連續．）定理19.1的結論可寫成：若二元函數在矩形區域上連續,,(極限運算與積分運算交換順序).定理19.2(連續性)設二元函數在區域上連續，其中函數，為上的連續函數,則函數，（6）在上的連續．分析已知定理19.1成立,要證定理19.2,要先進行變量變換,將化為的形式.對用換元積分法,令,當在與之間取值時,在上取值,且,代入得由于被積函數在上連續,由定理19.1即得結論.（二）、可微性《數學分析3》教案定理19.3(可微性)若函數與其偏導數都在矩形區域上連續，則函數在上可微，且.分析要證結論成立,只需證利用函數與其導數之間的橋梁－拉格朗日中值定理,利用連續即可.定理19.4(可微性)若函數與其偏導數都在矩形區域上連續，，為定義在上其值含于的可微函數，則在上可微，且.（7）證明把看作復合函數：,其中，,由復合函數求導法則及變上限積分的求導法則，有.（三）、可積性定理19.5(可積性)若二元函數在矩形區域上連續，則函數和分別在和上可積．證明由和的連續性即知.定理19.6(可積性)若二元函數在矩形區域上連續，則.《數學分析3》教案復習思考題、作業題：1．根據本節的各定理，在一般的區間上含參量的正常積分的分析性質有些什么樣的結論？2．能否找出更弱的條件使本節的某些定理仍成立，可否給予證明？下次課預習要點含參量正常積分分析性質應用含參量反常積分的一致收斂實施情況及教學效果分析完成教學內容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數學分析3》教案授課時間2006.11.14第18次課授課章節第十九章第一節第二節任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著《數學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業編著《數學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)掌握含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的應用(2)掌握含參量反常積分的一致收斂性及其判別法教學重點，難點：重點：（1）掌握含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的應用（2）含參量反常積分的一致收斂性及魏爾斯特拉斯判別法難點：含參量反常積分的一致收斂的狄里克雷判別法和阿貝爾判別法教學內容：應用舉例例1求.解記，由于，，連續，由定理19.2知在連續,所以.例2計算積分.解考慮含參量積分.顯然,且函數在上滿足定理19.3的條件,于是《數學分析3》教案,所以另一方面，所以.例3設在的某個鄰域內連續，驗證當充分小時，函數的各階導數存在，且.解及其偏導數在原點的某方鄰域內連續，與是由定理19.4可得.同理.如此繼續下去,求得階導數為.特別當時有,故.例4求.解因為，,所以.由于函數在上滿足定理19.6的條件,所以交換積分順序得到.注：從例子中可體會到含參量的正常積分的分析性質對一些困難的積分的求出提供了方便.《數學分析3》教案§2含參量反常積分定義設函數定義在無界區域上，若對內每一個固定的，反常積分都收斂，則它的值定義了上一個的函數，記，.（1）稱（1）式為定義在上的含參量的無窮限反常積分.對內每一個固定的，反常積分都收斂，即換句話說,對,總存在,當時,有。一般來說,對區間上所有的無限多個,就對應無限多個,這無限多個不一定存在上界,即不一定存在通用的,當時,對區間上所有的,都有.如果無限多個存在上界,就有含參量無窮積分的一致收斂.一、一致收斂概念及其判別法（一）、一致收斂的定義定義1若含參量的反常積分（1）與函數對任給的正數，總存在某個實數，使得當時，對一切，都有，即，則稱含參量的反常積分（1）在上一致收斂于.定義含參量的反常積分（1）在上不一致收斂于:,有.（二）、一致收斂的柯西準則定理19.7含參量的反常積分（1）在上一致收斂的充要條件是：對任給的正數，總存在某個實數，使得當時，對一切，都有.《數學分析3》教案例1證明參量的反常積分在上一致收斂（其中），但在上不一致收斂.證令，，其中，由于收斂，故對任給的，總存在正數，使當時就有.取，則當時，對一切，有，所以在上一致收斂．再證在上不一致收斂．按定義只要證明：存在某一正數，使對任何實數，總相應地存在某個及某個，使得.因收斂，故對任何正數與，總相應地存在某個，使得，即有，令,則可得.所以在上不一致收斂．（三）、一致收斂的充要條件定理19.8含參量的反常積分（1）在上一致收斂的充要條件是：對任一趨于的遞增數列（其中），函數項級數在上一致收斂．《數學分析3》教案證[必要性]由（1）在上一致收斂，故對任給的正數，必存在，使當時，對一切總有，（8）又由，所以對正數，存在正整數，只要時，就有．由（8）對一切，就有，這就證明了級數(7)在上一致收斂.[充分性]略（四）、一致收斂的判別法設有函數，使得，，，若收斂，則在上一致收斂．（五）、一致收斂的狄利克雷判別法(i)對一切實數，含參量的反常積分對參量在上一致有界，即存在正數，對一切及一切，都有；(ii)對每一個，函數關于是單調遞減且當時，對參量，一致地收斂于0，則含參量的反常積分在上一致收斂．（六）、一致收斂的阿貝爾判別法（ⅰ）設在上一致收斂；（ⅱ）對每一個，函數關于是單調函數，且對參量，在上一致有界，則含參量的反常積分在上一致收斂．例2證明含參量的反常積分在上一致收斂．證由