廣東省梅州市興寧龍田職業高級中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數,則（）A．

B．3

C．

D．參考答案：D2.以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程是（t為參數），曲線C的極坐標方程是ρsin2θ=3cosθ，則直線l被曲線C截得的弦長為(

)A． B．6 C．12 D．7參考答案：C【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【專題】坐標系和參數方程．【分析】先將參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程，判斷出直線l過拋物線y2=3x焦點F（，0），設出交點坐標聯立方程消去y后，再由韋達定理求出x1+x2，代入焦點弦公式求值即可．解：由（t為參數）得，直線l普通方程是：，由ρsin2θ=3cosθ得，ρ2sin2θ=3ρcosθ，即y2=3x，則拋物線y2=3x的焦點是F（，0），所以直線l過拋物線y2=3x焦點F（，0），設直線l與曲線C交于點A（x1、y1）、B（x2、y2），由得，16x2﹣168x+9=0，所以△＞0，且x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+p=+=12，故選：C．【點評】本題考查參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程，以及直線與拋物線相交時焦點弦的求法，屬于中檔題．3.已知F是雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F作E的一條漸近線的垂線，垂足為P，線段PF與E相交于點Q，記點Q到E的兩條漸近線的距離之積為d2，若|FP|=2d，則該雙曲線的離心率是（）A． B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】E上任意一點Q（x，y）到兩條漸近線的距離之積為d1d2===d2，F（c，0）到漸近線bx﹣ay=0的距離為=b=2d，求出可求雙曲線的離心率．【解答】解：E上任意一點Q（x，y）到兩條漸近線的距離之積為d1d2===d2，F（c，0）到漸近線bx﹣ay=0的距離為=b=2d，∴，∴e==2，故選B．4.直線l過拋物線y2=4x的焦點F，交拋物線于A，B兩點，且點B在x軸下方，若直線l的傾斜角θ≤，則|FB|的取值范圍是(

) A．（1，4+2] B．（1，3+2] C．（2，4+2] D．（2，6+2]參考答案：A考點：拋物線的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：如圖所示，拋物線y2=4x的焦點F（1，0）．當θ=時，直線l的斜率k=﹣1，直線l的方程為y=﹣（x﹣1），與拋物線方程聯立可得x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，取x=3+2，可得|FB|的最大值為3+2+1．由于直線l的傾斜角θ≤，即可得出|FB|的取值范圍．解答： 解：如圖所示，拋物線y2=4x的焦點F（1，0）．當θ=時，直線l的斜率k=﹣1，直線l的方程為y=﹣（x﹣1），聯立，化為x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，取x=3+2，可得|FB|的最大值為3+2+1=4+2．∵直線l的傾斜角θ≤，∴|FB|的取值范圍是（1，4+2]．故選：A．點評：本題考查了直線與拋物線相交問題、焦點弦長問題，考查了計算能力，屬于基礎題．5.若向量，滿足，，且，則與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.要得到函數的圖象，可由函數的圖像（

）A．向左平移個長度單位

B．向右平移個長度單位

C．向左平移個長度單位

D．向右平移個長度單位

參考答案：D7.已知對任意實數x，有且時，，則

時（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.把[0,1]內的均勻隨機數x分別轉化為[0,4]和[4,1]內的均勻隨機數，，需實施的變換分別為A．

B．

C．

D．參考答案：C由隨機數的變換公式可得，.故選C．

9.已知集合=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.在2011年8月舉行的深圳世界大學生運動會中，將某5名志愿者分配到3個場館參加接待工作，每個場館至少安排一名志愿者的方案種數為（

）

A．540

B．300

C．180

D．150參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的最小正周期為__________．參考答案：略12.已知函數的圖像向左平移個單位長度后關于原點對稱，則的值等于

．參考答案：113.已知，正實數滿足，且，若在區間上的最大值為2，則=_______。參考答案：14.已知的展開式的常數項是第項，則正整數的值為

.參考答案：15.△ABC中，內角A、B、C所對的邊的長分別為a，b，c，且a2=b（b+c），則=．參考答案：【考點】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出關系式，將已知等式變形為a2=b2+bc代入，約分后再將b+c=代入，利用正弦定理化簡得到sinA=2sinBcosB=sin2B，進而得到A=2B，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵a2=b（b+c），即a2=b2+bc，b+c=，∴由正弦、余弦定理化簡得：cosB======，則sinA=sin2B，即A=2B或A+2B=π，若A+2B=π，∵A+B+C=π，∴B=C，即b=c，由條件可得a2=2b2，cosA==0，即有A=，B=C=，∴A=2B，則=．故答案為：16.在平面直角坐標系中，動點M(x，y)滿足條件動點Q在曲

線(x－1)2＋y2＝上，則|MQ|的最小值為A．

B．

C．1－

D．－

參考答案：C作出平面區域，由圖形可知|MQ|的最小值為1－.17.已知的值如表所示：234546如果與呈線性相關且回歸直線方程為，則

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）正數數列{an}的前n項和為Sn，且2．試求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝，{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<參考答案：解：（1），，，，為等差數列，公差為2，，（2）

ks5u19.（13分）如圖，DE把邊長為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上，設AD=x（x≥a），DE=y，（1）試用x表示y；（2）求DE的最小值．參考答案：【考點】函數解析式的求解及常用方法；函數的值域．【專題】解三角形．【分析】（1）由面積公式及已知DE把邊長為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分，可用x表示AE，在△ADE中，由余弦定理得到用x表示y；（2）根據上述表達式，使用基本不等式即可求得y的最小值．【解答】解：（1）∵△ABC是邊長為2a的等邊三角形，∴，又，且已知，∴=，解得AE=．在△ADE中，由余弦定理得，∴（a≤x≤2a）．（2）由基本不等式可得=4a2，當且僅當x=時取等號．∴=，即當x=時，y的最小值是．【點評】本題考查了三角形的面積、余弦定理及基本不等式，充分理解以上知識是解決此問題的關鍵．20.（12分）已知函數f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線2x+y﹣1=0垂直，求a的值；（2）討論f（x）的單調性．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出f（x）的導數，計算2﹣a=，求出a的值即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．【解答】解：（1）f′（x）=﹣a，f′（1）=2﹣a，直線2x+y﹣1=0的斜率是﹣2，故2﹣a=，解得：a=；（2）f′（x）=，（x＞0），a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，a＞0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減．【點評】本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性問題，考查導數的應用，是一道中檔題．21.（本小題滿分14分）已知向量,設函數. (1)求的最小正周期. (2)求在上的最大值和最小值