廣東省惠州市沙逕中學2021年高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖是根據我國古代數學專著《九章算術》中更相減損術設計的程序框圖，若輸入的，，則輸出的a=（

）A.2 B.3 C.6 D.8參考答案：C【分析】更相減損術求的是最大公約數，由此求得輸出的值.【詳解】由于更相減損術求的是最大公約數，和的最大公約數是，故輸出，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化，考查更相減損術求最大公約數，屬于基礎題.2.函數的圖象大致是A． B．C． D．參考答案：C3.已知△ABC中，．點P為BC邊上的動點，則的最小值為（）A.2 B. C. D.參考答案：D【分析】以BC的中點為坐標原點，建立直角坐標系，可得，設，運用向量的坐標表示，求得點A的軌跡，進而得到關于a的二次函數，可得最小值．【詳解】以BC的中點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，可得，設，由，可得，即，則，當時，的最小值為．故選：D．【點睛】本題考查向量數量積的坐標表示，考查轉化思想和二次函數的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題．4.已知O為坐標原點，設F1，F2分別是雙曲線x2－y2=1的左、右焦點，點P為雙曲線上任一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|=（

）A．1

B．2

C．4

D．參考答案：A不妨在雙曲線右支上取點，延長，交于點，由角分線性質可知根據雙曲線的定義，，從而，在中，為其中位線，故.故選A.

5.設f（x）是R上的偶函數，且在（0，+∞）上是減函數，若x1＜0且x1+x2＞0，則（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）

B．f（﹣x1）=f（﹣x2）C．f（﹣x1）＜f（﹣x2）

D．f（﹣x1）與f（﹣x2）大小不確定參考答案：A試題分析：先利用偶函數圖象的對稱性得出f（x）在（﹣∞，0）上是增函數；然后再利用x1＜0且x1+x2＞0把自變量都轉化到區間（﹣∞，0）上即可求出答案．試題解析：解：f（x）是R上的偶函數，且在（0，+∞）上是減函數故

在（﹣∞，0）上是增函數因為x1＜0且x1+x2＞0，故0＞x1＞﹣x2；所以有f（x1）＞f（﹣x2）．又因為f（﹣x1）=f（x1），所以有f（﹣x1）＞F（﹣x2）．故選

A．考點：奇偶性與單調性的綜合．點評：本題主要考查抽象函數的單調性和奇偶性．抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．抽象函數的抽象性賦予它豐富的內涵和多變的思維價值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創新精神．6.函數的導函數在區間上的圖像大致是(

)A.

B.C.

D.參考答案：A7.已知f（x）是定義在R上的偶函數，且當x＜0時，，則f（log49）的值為（）A．﹣3 B． C． D．3參考答案：B【考點】函數奇偶性的性質．【分析】f（x）是定義在R上的偶函數，當x＜0時，，可得f（log49）=f（﹣log49）=f（log4）==．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，當x＜0時，，∴f（log49）=f（﹣log49）=f（log4）==，故選B．8.已知a，b，c∈R，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是（）A．若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，則a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，則a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，則a+b+c=3參考答案：A【考點】四種命題．【分析】若原命題是“若p，則q”的形式，則其否命題是“若非p，則非q”的形式，由原命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”，我們易根據否命題的定義給出答案．【解答】解：根據四種命題的定義，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是“若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3”故選A【點評】本題考查的知識點是四種命題，熟練掌握四種命題的定義及相互之間的關系是解答本題的關鍵．9.下列四個函數中,在（0,+∞）上為增函數的是

A.=3-

B.=

C.=

D．=

參考答案：C略10.已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（

）（A）

（B）2

（C）

（D）3參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在數列中，已知，

.參考答案：

考點：1.數列的通項公式；2.等比數列的求和公式．12.已知正數x，y滿足2x+y-2=0，則的最小值為

．參考答案：13.已知實數x，y滿足若，則的最大值為_______.參考答案：略14.一個所有棱長均為的正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影是底面的中心）的頂點與底面的三個頂點均在某個球的球面上，則此球的體積為

．參考答案：考點：球內接多面體．專題：立體幾何．分析：求出正四棱錐底面對角線的長，判斷底面對角線長，就是球的直徑，即可求出球的體積．解答： 解：正三棱錐的邊長為，則該正三棱錐所在的正方體也為外接球的內接幾何體．所以正方體的體對角線為外接球的直徑．正方體的邊長為1，所以所求球的半徑為：r=，所以球的體積為：V球=．故答案為：點評：本題是中檔題，考查空間想象能力，注意正三棱錐和正方體的轉化，正方體額對角線的長是球的直徑是解題的關鍵點，考查計算能力．15.將函數的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖像向左平移個單位，得到的圖像對應的解析式是

．參考答案：函數的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得y＝，將所得的圖像向左平移個單位得．16.函數的定義域為

．參考答案：17.如圖，A是半徑為5的圓O上的一個定點，單位向量在A點處與圓O相切，點P是圓O上的一個動點，且點P與點A不重合，則·的

取值范圍是

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.參考答案：19.(14分)如圖,在直三棱柱中,，分別是的中點，且.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：平面.參考答案：證明:(Ⅰ)連接交于,連接.∵分別是的中點，∴∥且=,∴四邊形是矩形.∴是的中點…………(3分)又∵是的中點,∴∥…………(5分)則由,,得∥…(7分)(注:利用面面平行來證明的,類似給分)(Ⅱ)∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.又∵,即⊥,∴⊥面………(9分)而面,∴⊥…………(12分)又,∴平面………(14分)20.已知矩陣A＝的一個特征值為2，其對應的一個特征向量為α＝．（1）求矩陣A；（2）若A＝，求x，y的值．參考答案：21.若三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略22.（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)滿足：①f(1)＝5；②6<f(2)<11.(1)求a、c的值；(2)若對任意的實數x∈，都有f(x)－2mx≤1成立，求實數m的取值范圍.參考答案：解：(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5，∴c＝3－a.①又∵6<f(2)<11，即6<4a＋c＋4<11，②將①式代入②式，得－<a<，又∵a、c∈N*，∴a＝1，c＝2.(2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2.解法一：設g(x)＝f(x)－2mx＝x2＋2(1－m)x＋2.①