廣東省廣州市增城市新塘鎮永和中學2021年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若如圖的程序框圖輸出的，可輸入的的值的個數為（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：D2.公差不為零的等差數列的前項和為。若是與的等比中項，，則等于（

）A.18 B.24 C.60 D.90參考答案：C因為是與的等比中項，所以，又，即，解得，所以，選C.3.下列不等式中正確的是（

）A．

B.

C．

D.參考答案：A略4.已知sin（α－）=，則cos（α+）=（）A． B． C． D．參考答案：A【分析】利用誘導公式化簡要求的式子，可得結果．【解答】解：∵sin（α）=，則cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故選：A．5.直線與圓相交于M、N兩點，若的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（）A.

B.4

C.2

D.參考答案：B7.若關于的不等式在區間上有解，則實數的取值范圍為（

） (A)

(B) (C)(1,+∞)

(D)參考答案：B略8.設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1且斜率為的直線與雙曲線的兩漸近線分別交于點A，B，并且,則雙曲線的離心率為(

）A．

B．

C.2

D．參考答案：A9.已知等差數列中，，.若公差為某一自然數,則n的所有可能取值為(

)A．3,23,69

B.4,24,70

C.4,23,70

D.3,24,70參考答案：B10.在平行四邊形中分別邊的中點，且，則

A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數（Ⅰ）當時，求函數取得最大值和最小值時的值；（Ⅱ）設銳角的內角A、B、C的對應邊分別是，且，若向量與向量平行，求的值。參考答案：解：（1）………..3分，……..4分

所以當，取得最大值；當，取得最小值；………..6分（2）因為向量與向量平行，所以，…………….8分由余弦定理，，又，經檢驗符合三角形要求………..12分

略12.若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，則α﹣|β|的取值范圍是．

參考答案：（﹣3，3）考點： 不等式的基本性質；不等關系與不等式．專題： 計算題．分析： 由﹣4＜β＜2，可得|β|＜4，故0﹣4＜﹣|β|≤0①，再由1＜α＜3②，把①②相加可得α﹣|β|的取值范圍．解答： 解：∵﹣4＜β＜2，∴|β|＜4，故0﹣4＜﹣|β|≤0①，再由1＜α＜3②，把①②相加可得﹣4+1＜α﹣|β|＜0+3，即﹣3＜α﹣|β|＜3，故答案為（﹣3，3）．點評： 本題主要考查不等式與不等關系，不等式的基本性質，屬于基礎題．13.已知等比數列的公比為，若，則參考答案：6【考點】等比數列【試題解析】由題知：

所以14.已知定義域為R的函數f（x）=是奇函數，則a=．參考答案：2略15.已知函數，且，則的值為_

．參考答案：16.已知正三角形的邊長為4，是平面上的動點，且，則的最大值為

．參考答案：

17.若x，y滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：【考點】簡單線性規劃．【專題】數形結合；不等式的解法及應用．【分析】由約束條件作出可行域，數形結合得到使取最大值的最優解，求出其最大值，在的最小值可求．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（1，3），∴的最大值為3，則的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖是單位圓上的動點，且分別在第一,二象限.是圓與軸正半軸的交點，為正三角形.若點的坐標為.

記．（1）若點的坐標為,求的值；

（2）求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）因為A點的坐標為，根據三角函數定義可知，，得，.................................2分所以＝..........................5分（Ⅱ）因為三角形AOB為正三角形，所以，所以==...............................6分所以=.........7分

,

,即,.................................9分.................................10分

略19.（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知，若矩陣所對應的變換把直線變換為它自身。（Ⅰ）求矩陣A；（Ⅱ）求矩陣A的逆矩陣。參考答案：（Ⅰ）法一：設為直線上任意一點其在的作用下變為則

--------------------3分代入得：其與完全一樣得則矩陣

---------------------------------5分法二：在直線上任取兩點（2、1）和（3、3），

---------------1分則,即得點,,即得點,

------------------------------------------------3分將和分別代入得

則矩陣．---------5分（Ⅱ）因為，所以矩陣M的逆矩陣為．

-------------7分20.在平面直角坐標系xOy中，方向向量為的直線l經過橢圓的右焦點F，與橢圓相交于A、B兩點（1）若點A在x軸的上方，且，求直線l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面積為6，求k的值；（3）當k（k≠0）變化時，是否存在一點C（x0，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由．參考答案：

考點：直線與圓錐曲線的關系；三角形的面積公式；直線的一般式方程．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：（1）根據橢圓方程，算出右焦點F坐標為（3，0），結合橢圓上位于x軸上方的點A滿足算出A（0，3），由此可得直線l的斜率k=﹣1，即可求出直線l的方程；（2）設直線l：y=k（x﹣3），與橢圓方程聯解消去y得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0，由根與系數的關系算出AB的縱坐標之差的絕對值關于k的式子，再根據△PAB的面積為6建立關于k的方程，化簡整理得k4﹣k2﹣2=0，解之得k=1（舍負）；（3）設直線l方程為y=k（x﹣3）與橢圓方程聯解消去y得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0，由根與系數的關系得到，然后化簡kAD+kBD=0為關于x1、y1、x2、y2和x0的等式，化簡整理得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，再將前面算出的x1+x2和x1x2的表達式代入化簡可得x0=6，由此可得存在一點C（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．解答：解（1）∵橢圓方程為∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）∵且點A在x軸的上方，…（2分）∴可得A在橢圓上且，得A是橢圓的上頂點，坐標為A（0，3）由此可得l的斜率k=﹣1，…（3分）因此，直線l的方程為：，化簡得x+y﹣3=0…（4分）（2）設A（x1，y1）、B（x2，y2），直線l：y=k（x﹣3）…（5分）將直線與橢圓方程聯列，…（6分）消去x，得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0…（7分）由于△＞0恒成立，根據根與系數的關系可得…（8分）∴…（9分）因此，可得S△PAB=化簡整理，得k4﹣k2﹣2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）（3）假設存在這樣的點C（x0，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，根據題意，得直線l：y=k（x﹣3）（k≠0）由消去y，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0…（12分）由于△＞0恒成立，根據根與系數的關系可得…（*）…（13分）

而，，…（14分）∴=由此化簡，得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，…（15分）將（*）式代入，可得，解之得x0=6，∴存在一點C（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．…（16分）點評：本題給出橢圓方程，在直線l經過橢圓的右焦點F且交橢圓于A、B兩點且滿足的情況下求直線l的方程，并且討論了x軸上是否存在一點C使得直線AC和BC的斜率之和為0的問題．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、一元二次方程根與系數的關系和直線與圓錐曲線的位置關系等知識點，屬于中檔題．21.不等式選講已知。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若不等式對一切實數恒成立，求實數x的取值范圍。參考答案：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，

∴

所以的取值范圍是

………5分（Ⅱ）同理，

………7分若不等式對一切實數恒成立，則，解集為

………10分略22.

設n為≥2的自然數．證明方程xn＋1＝yn＋1在x與n＋1互質時無正整數解．參考答案：證明：xn＝yn＋1－1＝(y－1)(