平面向量的實際背景及基本概念同步檢測一、選擇題1.下列說法中錯誤的是()A.零向量是沒有方向的B.零向量的長度為0C.零向量與任一向量平D.零向量的方向是任意的答案：A解析：解答：本題主要考查零向量的概念，對于選項A,零向量的方向是任意的，故錯誤；零向量的方向是任意的；零向量與任一向量平行；故A是錯誤的.分析：由題根據零向量的概念進行分析即可.2.下列各量中不是向量的是()A.浮力B.風速C.位移D.密度答案：D解析：解答：密度只有大小沒有方向.分析：由題根據所給物理量結合向量的定義進行分析即可.3.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A、B、C、D、E、F、O中的任一點為始點，與始點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有()答案：D解析：解答：本題主要考查向量的表示與向量共線的向量有共9個，故選D.分析：由題結合所給圖形，根據共線向量的定義進行觀察即可.4.設是兩個單位向量，則下列結論中正確的是()A.B.C.D.答案：D解析：解答：由題根據單位向量長度為1，方向不定，不難得到所有單位向量的模相等，故選D.分析：本題主要考查了單位向量的定義，根據定義集合選項不難解決問題.5.下列命題正確的是()與b,b與ｃ共線，則a與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行答案：C解析：解答：題主要考查向量的概念，由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以Ｄ不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a與ｂ不都是非零向量，即a與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與ｂ共線，不符合已知條件，所以有a與ｂ都是非零向量，所以應選C.分析：有關平行向量與共線向量、相等向量與相反向量的定義屬于平時練習和考試的常考知識點，一定要認真理解，準確運用，難度不大.6.某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉90°，向新的方向走了3km，結果他離出發點恰好為km，那么x的值為()A.B.D.或答案：B解析：解答：本題主要考查向量的概念，依題意，由勾股定理可得，故選B.分析：本題主要考查了向量的基本概念的物理背景，難度不大，主要是根據所學余弦定理計算路程，然后得到位移即可.7.下列命題中正確的是()A.若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合.B.模相等的兩個平行向量是相等向量.C.若和都是單位向量,則.D.兩個相等向量的模相等.答案：D解析：解答：本題主要考查向量的概念，根據向量相等的定義易知兩個相等向量的模相等，故選D；對于選項A，若兩個向量相等,則它們的起點和終點不一定相等的；選項B：模相等的兩個平行向量是相等向量是錯誤的，可以是方向相反的向量；C.若a和b都是單位向量,則模是相等的，但是兩個向量不一定相等；D.兩個相等向量的模相等是正確的.分析：本題主要考查了相等向量，解決問題的根據是根據相等向量的定義就發現解決即可.8.與反向的單位向量是()AB.C.D.答案：C解析：解答：本題主要考查單位向量的概念，與反向的單位向量.分析：本題主要考查了單位向量與相反向量，解決問題的關鍵是首先計算出所求向量的單位向量，然后根據方向相反得到結果.9.如圖，D、E、F分別是△ABC邊AB，BC，CA上的中點，有下列4個結論：①；②；③；④.其中正確的為()A.①②④B.①②③C.②③D.①④答案：B解析：解答：由題根據所給圖形滿足條件結合對應向量的關系不難得到，，，，所以①②③正確，故選B.分析：本題主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解決問題的根據是結合所給圖形對應的向量滿足的幾何關系結合向量的有關對應進行分析解決.10.如圖所示,等腰梯形ABCD中,對角線AC與BD交于點P,點E,F分別在兩腰AD,BC上,EF過點P,且EF∥AB,則下列等式成立的是()A.B.C.D.答案：D解析：解答：根據相等向量的定義,分析可得:A中,與的方向不同,故錯誤;B中,與的方向不同,故錯誤;C中,與的方向相反,故錯誤;D中,與的方向相同,且長度都等于線段EF長度的一半,故正確分析：本題主要考查了相等向量與相反向量，解決問題的關鍵是根據所給圖形對應向量滿足的條件結合相等向量與相反向量的定義進行發現解決即可.11.下列命題中正確的個數是()①向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②向量與向量平行，則方向相同或相反；③若下列向量、滿足，且與同向，則；④若，則的長度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不確定，故不能與任何向量平行.答案：A解析：解答：本題主要考查向量的概念①錯誤，把共線向量與平面幾何中的共線“混淆”；②錯誤，忽視了如果其中有一個是零向量，則其方向不確定；③錯誤，把向量與實數混為一談，事實上向量不能比較大小；④錯誤，由，只能說明的長度相等，確定不了方向；⑤錯誤，不清楚零向量的概念.規定零向量與任一向量平行.故選A.分析：本題主要考查了零向量、單位向量、平行向量與共線向量、相等向量與相反向量，解決問題的關鍵是根據所給向量滿足條件結合定義進行分析解決.12.下列說法正確的個數是()①若向量a,b共線,向量b,c共線,則a與c也共線;②任意兩個相等的非零向量的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點;③向量a與b不共線,則a與b都是非零向量;④若a=b,b=c,則a=c.答案：B解析：解答：由于零向量與任意向量都共線,故當b為零向量時,a,c不一定共線,所以①不正確;兩個相等的非零向量可以在同一直線上,故②不正確;向量a與b不共線,則a與b都是非零向量,否則不妨設a為零向量,則a與b共線,與a與b不共線矛盾,故③正確;a=b,則a,b的長度相等且方向相同;b=c,則b,c的長度相等且方向相同,所以a,c的長度相等且方向相同,故a=c,④正確.分析：本題主要考查了平行向量與共線向量、相等向量與相反向量，解決問題的關鍵是根據所給向量滿足條件結合向量有關的定義進行發現解決即可.13.已知O點固定,且=2,則符合題意的A點構成的圖形是()A.一個點B.一條直線C.一個圓D.不能確定答案：C解析：解答：∵=2,∴終點A到起點O的距離為2,又O點固定,∴A點的軌跡是以O為圓心,2為半徑的圓,故選C.分析：本題主要考查了向量的模、向量的幾何表示，解決問題的關鍵是根據向量的模結合向量的模的幾何意義進行分析即可.14.若a為任一非零向量,b的模為1,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正確的是()A.①④B.③C.①②③D.②③答案：B解析：解答：①中,|a|的大小不能確定,故①錯誤;②中,兩個非零向量是否平行取決于兩個向量的方向,故②錯誤;④中,向量的模是一個非負實數,故④錯誤;③正確.選B分析：本題主要考查了向量的模，解決問題的關鍵是根據向量不能比較大小，向量的模可以比較大小，向量是有方向和長度的量.15.有下列四個命題：①時間、速度、加速度都是向量；②向量的模是一個正實數；③所有單位圓上以圓心為起點以終點為在圓上向量都相等；④共線向量一定在同一直線上，其中真命題的個數是()答案：A解析：解答：本題主要考查向量的概念，時間不是向量；向量的模是非實數；單位向量的模相等但方向不一定相同；共線向量可以在一條直線上，也可用分別在互相平行的直線上.故選A.分析：本題主要考查了向量的物理背景與概念、向量的模、向量的幾何表示、平行向量與共線向量，解決問題的關鍵是根據向量的有關定義進行分析即可.二、填空題16.有下面命題;①平行向量的方向一定相同；②共線向量一定是相等向量；③相等向量一定是共線向量，不相等向量一定不共線；④起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；⑤相等向量、若起點不同，則終點一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；其中正確命題的序號是答案：⑤④解析：解答：主要考查向量的概念①錯，兩向量方向相同或相反都是共線向量；②③⑥均錯，共線向量也叫平行向量，對向量的長度沒有要求，共線向量不一定是相等，相等向量一定共線，不相等向量可以是共線向量，如兩個向量的共線，但是可以不相等的向量.分析：本題主要考查了平行向量與共線向量、相等向量與相反向量，解決問題的關鍵是根據定義進行分析即可.17.某A地位于B地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對于B地的位移是________.答案：西北方向解析：解答：由題根據A,B,C三地的位置關系結合勾股定理不難得到,結合方位角不難得到C地相對于B地的位移是西北方向.分析：本題主要考查了向量的物理背景與概念，解決問題的關鍵是根據實際情況進行計算，然后寫出對應位移即可.18.把平面上所有單位向量都移動到共同的起點,那么這些向量的終點所構成的圖形是.答案：以單位長度為半徑的圓解析：解答：由題根據所給問題所有向量組成了以單位長度為半徑的圓.分析：本題主要考查了單位向量、向量的幾何表示，解決問題的關鍵是根據所給向量滿足條件結合向量的幾何意義進行分析即可.19.在四邊形ABCD中,,則這個四邊形的形狀是.答案：平行四邊形解析：解答：由,可得DC與AB平行且相等，所以四邊形ABCD是平行四邊形分析：本題主要考查了相等向量，解決問題的關鍵是根據相等向量定義結合向量的幾何意義進行分析即可.20.如圖所示,O是正三角形ABC的中心;四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形,則與向量相等的向量有;與向量共線的向量有;與向量的模相等的向量有.(填圖中所畫出的向量)答案：||解析：解答：∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,∴結合相等向量及共線向量定義可知:與相等的向量有;與共線的向量有；與的模相等的向量有.分析：本題主要考查了向量的模、相等向量與相反向量、平行向量與共線向量，解決問題的關鍵是根據所給向量滿足的幾何關系結合圖形及向量的有關定義進行發現解決即可.三、解答題21.用向量表示小船的下列位移(用1∶500000的比例尺)(1)由A地向東北方向航行15km到達B地;答案：解：B地在A地的東北方向,即B地在A地北偏東45°方向,線段AB的長度畫為3cm即可.如圖所示.(2)由A地向西偏北60°方向航行20km到達C地,再由C地向正南方向航行25km到達D地.答案：解：由于C地在A地的西偏北60°方向,則線段AC與表示正北方向的線的夾角為30°,且線段AC的長度畫為4cm;D地在C地的正南方向,則畫豎直向下的線段,長度為5cm即可,連接AD,即為所求位移.如圖所示.解析：分析：本題主要考查了向量的物理背景與概念，解決問題的關鍵是根據有關方位角的知識進行發現計算即可.22.如圖所示的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成,方格紙中有兩個定點A,B,點C為小正方形的頂點,且(1)畫出所有的向量;答案：解：畫出所有的向量如圖所示.(2)求||的最大值與最小值.答案：解：由(1)所畫的圖知,①當點C位于點C1或C2時,||取得最小值；②當點C位于點C5和C6時,|BC|取得最大值.∴||的最大值為,最小值為.解析：分析：本題主要考查了向量的模、向量的幾何表示，解決問題的關鍵是根據所給向量滿足的幾何關系進行作圖計算即可.23.已知O是正方形ABCD對角線的交點,在以O,A,B,C,D這5點中任意一點為起點,另一點為終點的所有向量中,寫出:(1)與相等的向量;答案：解：畫出圖形,如圖所示.易知BC∥AD,BC=AD,所以與相等的向量為(2)與長度相等的向量;答案：解：由（1）圖像得：O是正方形ABCD對角線的交點知OB=OD=OA=OC,所以與長度相等的向量為.(3)與共線的向量.答案：解：由（1）圖像得：與共線的向量為.解析：分析：本題主要考查了平共線向量、相等向量的有關概念，解決問題的關鍵是根據所給向量滿足的條件進行正確作圖，然后觀察所求向量即可.24.如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且.(1)與的模相等的向量有多少？答案：解：與的模相等的向量有23個(2)與的長度相等，方向相反的向量有哪些？答案：解：與的長度相等，方向相反的向量有(3)與共線的向量有哪些？答案：解：與共線的向量有(4)請一一列出與相等的向量.答案：解：與相等的向量有：；與相等的向