無窮小與無窮大2/6/202311.定義6:極限為零的變量稱為無窮小.例如:第、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點與難點本節(jié)目的要求本節(jié)復習指導本節(jié)引入知識2/6/202322/6/20233又如:注意1.無窮小是變量,不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數.無窮小與函數極限的關系:第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點與難點本節(jié)目的要求本節(jié)復習指導本節(jié)引入知識2/6/20234推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數與無窮小的乘積是無窮小.性質2有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小.性質3有界函數與無窮小的乘積是無窮小.第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點與難點本節(jié)目的要求本節(jié)復習指導本節(jié)引入知識2/6/202352.無窮大量絕對值無限增大的變量稱為無窮大.定義7:例如:第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點與難點本節(jié)目的要求本節(jié)復習指導本節(jié)引入知識2/6/20236特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點與難點本節(jié)目的要求本節(jié)復習指導本節(jié)引入知識2/6/20237第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點與難點本節(jié)目的要求本節(jié)復習指導本節(jié)引入知識2/6/20238無窮小與無窮大的關系定理在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.注意:

關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點與難點本節(jié)目的要求本節(jié)復習指導本節(jié)引入知識2/6/20239例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限四、無窮小的比較2/6/202310定義:記作=O()或=O()2/6/202311例1解例2解2/6/202312常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數的近似表達式:例如,2/6/202313解2/6/202314定理(等價無窮小替換定理)證五、等價無窮小代換2/6/202315例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換.注意2/6/202316例4解解錯2/6/202317例5解例62/6/202318例7已知當x→0時，是等價無窮小，求a.2/6/2023191.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.小結2/6/202320等價無窮小替換求極限利用等價無窮小替換能較方便求出某些較復雜的極限。常用的等價無窮小（）說明：做等價替換時，只能對分子或分母進行整體代換。例十七、求極限解：因當所以上頁下頁2/6/202321例十八、求極限解：因為當所以例十九、求極限解：因為所以

上頁下頁2/6/202322提高題一、求下列極限：二、設函數問a為何值時，函數在x=0處的極限存在。上頁下頁2/6/202323提高題（解析）一、求下列極限：解：二、解：要使函數在x=0處極限存在，必須使

--完--上頁主頁2/6/202324思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？2/6/202325思考題解答不能．例當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當時2/6/202326比較下列各對無窮小的階1）x→1時與2）x→1時,與2(1-x)4）x→1時,與3）x→0時,與解1）2）與2(1-x)是同階無窮小。2/6/2023273）是比sinxtanx低階無窮小。又∴sinxtanx是

的2階無窮小。2/6/2023284）是比高階無窮小：k=2是的2階無窮小。2/6/202329小結1、主要內容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯