數學美在生活中查中偉

舞臺上,少女隨著音樂翩翩起舞,那是向你展示音樂藝術美；青城天下幽，峨嵋天下秀，那是向你描述自然風光美；“雨停了,太陽堆起笑臉,將溫暖盡情地瀉在原野上”,那是給你動人的語言美。而數學美在何方？我的回答是:哪里有數，哪里就有美！或者說，數學美在生活中。一、什么是數學美

二、對正整數的美學審視

三、對非有理數的美學品味四、數學美的主要表征五、結束語一、什么是數學美

美是人類創造性實踐活動的產物，是人類文明進步的結晶。一般地說，美是人們直覺的感性形式，是人類本質力量的感性表現。通常所說的美包括自然美、社會美和藝術美等，而我們這里是談數學美。什么是數學美？歷史上許多文學家、藝術家、數學家、專家學者對數學美從不同側面作過生動的闡述。

亞里士多德說：“雖然數學沒有明顯地提到善和美，但善和美不能和數學分離。因為美的主要形式就是‘秩序、勻稱和確定性’，這些正是數學所研究的原則。”

達·芬奇認為：“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關系上。”

彭加勒說：“數學家把重大的意義與他們的方法和他們的結果完美地聯系起來。給我們以美感的是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對稱、它們的巧妙平衡。總而言之，就是引入秩序，給出統一，容許我們同時清楚地觀察和理解整體與細節的東西”。

維納認為：“數學實質上是藝術的一種”。

認真研究上述看法，從美學與數學角度進行總結，可這么說，數學美是科學本質力量的感性與理性的顯現，是一種人的本質力量通過宜人的數學思維結構的呈現。它是一種真實的美，是反映客觀世界并能動地改造客觀世界的科學美。數學美不僅有表現的形式美，而且有內容美與嚴謹美；不僅有具體的公式、定理美，而且有結構美與整體美；不僅有語言精巧美，而且有方法美與思維美；不僅有邏輯抽象美，而且有創造美與應用美。二、對正整數的美學審視

每個人最初接觸的是正整數。那么，我們每個人就可以首先問問自己：對正整數的感覺如何？很多的人可能說“沒有什么感覺”，然而，正整數曾引起過無數人的興趣和喜好，而且是一個長盛不衰的論題。（一）完美數

我們不妨要問：你喜歡哪個數？許多人未曾思索過，一時答不上。稍加思考，也覺得1，2，3，4，…，好像沒有什么差別。當然，根據我們漢語的發音，有人喜歡8，因為那似乎意味著“發”；也有人喜歡6，因為那意味著順利。但這并不是出自對數本身性質的原因而產生的喜好。我們還是再看一看1、2、3、4、5、6、7這幾個數字，它們本身就具有一種和諧美，代表不同的七個音階，就能譜出優美動人和諧的樂曲，讓世人在音樂中陶醉。

數有許多不同的性質，人們可能不會因為它有某種性質而一定喜歡它，但是一些奇妙的性質很可能引起人們的興趣。奇妙的性質也不少，人們對數的興趣也可能各不相同，也可能有多方面的興趣。

6這個數的因數有1，2，3，6（暫約定1和6自身亦算其因數），其和恰為12，6的兩倍；如果不計6自身，則其因數之和恰是它自己。

28也具有這樣的性質，其因數是1，2，4，7，14之和恰好等于28，這是第二個具有這種性質的正整數。

496，仔細看看，1，2，4，8，16，31，62，124，248是它的因數，它們的和也正等于496。第四個具有這種性質的數稍難找一些，它是8128。一千八百多年之前就有人知道8128具有其各因數之和恰為它自己（不計它自己）的性質。

人們把這種數稱之為完美數，即各因數之和為它的兩倍或不計它自己時恰等于它的那種數叫完美數。6，28，496，8128便是很久以前知道的4個最小的完美數。看來，完美數不多，已可初步看到，前八千多個正整數中才4個！物以稀為貴，完美數，稀罕！完美數，人們用美來形容數。順便看一下漢語里以“美”字組詞的情況。美好，把美與善聯系在一起；美妙，把美與奇異聯系在一起；美滿，把美與情感聯系在一起；美言、美談、美味、……用美來形容一些行為和感覺。還有壯美、俊美、秀美、完美、……對不同性質的美進行了區分。漢語有關美的豐富詞匯本身反映了在我們文化中對美的多方面的準確理解。用完美來形容6、28、496、…這一類數也很恰當。這種數的完美，一方面表現在它稀罕、奇妙；一方面表現在它的完滿，各因數之和不多不少等于它自己。

第五個完美數在哪里？很不容易尋找。在距離發現第四個完美數之后一千多年，于公元1538年才發現第五個完美數——33550336。又過了50年才發現第六個是：8589869056。

尋找這種數那么難，卻還是有人去尋找，到現在為止也還只發現二十多個。為什么去尋找呢？是因為這種數在現實生活中有什么特別的用途嗎？目前確實還沒有發現，是它的奇導和美麗吸引了許多的人。

（二）數的諧聲借意

人的智商是有差異的，其中最重要的表現在記憶力的強弱上。有人過目不忘，但有人苦于無法記住，我們可以借用數的諧聲來強化對數的記憶。

上海市出租汽車公司的電話號碼為25800000，該公司的宣傳廣告語“讓我撥五個零”。就是借助上海方言對數的諧聲讓能牢記住這個號碼。又如眾所周知的火警電話號碼為“119”，數的諧聲就是“要要救”。美國紐約的火警電話號碼為“911”，恐怖分子制造了“9.11事件“，就是利用這個號碼來統一行動。祖沖之算出了精確的圓周率，造福于后人。我曾經編了一個順口溜，讓我的學生記住了小數點后19位的圓周率：

山巔一寺一壺酒，爾樂，氣死我，把酒吃，吃不死，樂而樂。

三、對非有理數的美學品味

古希臘的數學十分繁榮，那時的自然科學與藝術、哲學是緊密聯系的。古希臘哲學（例如畢達哥拉斯流派）對數與對世界的思考幾乎是不可分割的。他們的哲學觀或世界觀是：萬物皆數。而1是最神圣的，一切蓋源于1，并且天下只有數（即正整數）及其比（又稱可比數，即今稱之為有理數）。他們以為“數生成萬物，數的規律支配著萬物”。中國古代也有“一生二、二生三、三生萬物”的說法，與萬物皆數的觀點相似。

可是，古希臘時代數學觀與哲學觀的和諧被數學的發展打破了。一種無法用兩整數之比來表達的數就被信奉上述哲學觀的流派中的成員自己發現了，這就是非有理數的發現。這種發現導致了一場數學危機。然而，與其說是數學危機，不如說是數學與哲學的共同危機。危機何在？原有和諧被打破了，原有美感被動搖了，原有的理論被震撼了！

正方形的對角線與其邊長之比就無法用兩整數之比來表示，這是今天任何一名中學生都知道的事實，然而竟是當時發生震撼作用的源頭。同時發現的是：正五邊形對角線長與其邊長之比也無法由一個可比數（即有理數）來表示（正六邊形對角線長與其邊長之比是2，引起麻煩的是正方形、正五邊形）。現在我們大家都知道了這兩個數分別是

這兩個數都是無理數。說它們是無理數，不是說它們沒有道理，是因為這類數的發現是在有理數之后。

無理數之美，我們來仔細品味品味。是正五邊形對角線長與邊長之比，而邊長與對角線長之比則為。這兩個數之積為1，這兩個數之差也為1。因此它們也是方程因此稱它們為代數無理數。比值特別被人注意，它

人是自然界長期發展的產物，人體美在自然界中具有最強的完美性。大詩人莎士比亞曾經贊頌道：“人類是一件多么了不得的杰作！宇宙的精華、萬物的靈長。”其實，莎士比亞也許不知道，人體相關各部分之間是符合黃金分割率的，肚臍是黃金分割的黃金點。在軀干部分，乳房位置的上下長度比；咽喉至頭頂和至肚臍之比；膝蓋至腳后跟和至肚臍之比等，都是黃金分割數0.618的近似數。如果一個人的人體對上述各部分比例均符合黃金分割律的話，就顯得協調勻稱。古希臘斷臂維納斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼達，其體型結構比例完全符合黃金律，美妙絕倫。

x2+x–1=0

的解的近似值是0.618（即），這是一個有理數，人們稱其為

黃金分割比值。它被認為是最美的數值，具有很高的美學價值。

科學家和藝術家普遍認為，黃金律是建筑藝術必須遵循的規律。在建筑造型上，人們在高塔的黃金分割點處建樓閣或設計平臺，便能使平直單調的塔身變得豐富多彩；而在摩天大樓的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農神殿，當今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國巴黎埃菲爾鐵塔，都是根據黃金分割的原則來建造的。在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視屏幕、寫字臺面、書籍、衣服、門窗等，其短邊與長邊之比為0.618，你會因此比例協調而賞心悅目。甚至連火柴盒、國旗的長寬比例設計，都恪守0.618；二胡要獲得最佳音色，其“千斤”則須放在琴弦長度的0.618處。最有趣的是，在消費領域中你也可以妙用0.618這個“黃金分割數”，而獲得

不少植物葉，相鄰的兩片在與莖垂直的平面上的投影夾角為137°28′，顯然，圓周角的另一部分是360°－137°28′=222°32′。然而，又恰有“物美價廉”的效果。據專家統計，在同一商品有多個品種、多種價值情況下，將高檔價格減去低檔價格再乘以0.618，即為挑選商品的首選價格。

正因為黃金比體現了美與適用，溝通了人與自然，所以在某些名曲中，樂章的高潮出現在全曲的0.618處。并且，這個角度對于植物葉子的通風、采光而言，都是最佳的，從而最有利于植物的生長。=0.618四、數學美的主要表征

人們對美的本身有許多形容，有壯美、俊美、秀美、柔美、優美等，不同的形容方式反映了人們對美的不同理解和感受，反映了美的多樣性。數學美也有其多樣性，也可以適當加以分類，我認為數學美可以表征為和諧美、簡潔美、對稱美和奇異美。下面在這四方面作一些簡單分析。

（一）和諧美

數學的和諧美前面已經涉及很多，不妨作一歸納。整數和分數統一為有理數，有理數和無理數統一在實數內，而復數又包含著實數與虛數。在這些數系之中，1是最簡單的數，但同時可以說一切又起源于1。由1演變為所有自然數2，3，4，……，后來又有它的相反數-1，-2，-3，……，之后又加進0，再就是兩個整數所表示的分數，這樣就構成有理數系，而南北朝時期，祖沖之就已經在計算的值，故無理數也早就出現了。i

在幾百年前才有，i

可表示成0+i。實數、虛數中的1，0，i都有其獨特的地位，無理數中，和e

又是相當獨特的，這5個數1，0，i，，e

都融合在一個奇妙式子中，

這就是一種和諧美、統一美。幾何中的和諧美也到處體現，它們使你賞心悅目。簡單的點、線段、三角形、矩形、正方形就能構造出美麗的圖案，平面的、立體的，讓人美不勝收。

矩陣、行列式在代數學中起了多方面作用，它在幾何學研究中也起發揮了作用。它把幾何圖形的某些內在聯系提示得更清楚，從而也使人更易看清它們之間的和諧、統一。這是代數與幾何和諧、統一的進一步表現。e+1=0

平面上過點(x1,y1),(x2,y2)，的直線方程是：x

y1x1y11x2

y21=0

平面上過(x1,y1),(x2,y2)和(x3,y3)點的圓（只要三點不共線，這種圓就存在）的方程是：這些式子確實十分整齊，十分和諧，十分美觀。

（二）簡潔美

簡潔美無處不在。圖案設計、國畫藝術、標志性建筑、新校區的概念性設計都要求簡潔，數學更是以簡潔著稱。

人們在日常生活中，常以“成千上萬”來形容多，再多就是“百萬”、“千萬”了，更多則是“億萬”。可是，都不如數學能夠作出更簡潔、更明確、更有力的表示，比如說，1025這樣巨大的數字，一般語言就說不太清楚了。更不要說10221以及244497，286243這樣大的數字了。

從微觀來說，日常語言之中，“失之毫厘，謬以千里”，用一毫一厘來形容微小，還有形容體積之小的，時間之短的，距離之近的。但是，沒有比10-15，10-45這樣一些表達更能說明問題，它們更簡潔、更明了。

另外，許多不同的自然現象又常用一個數學公式加以描述，如弦振動、電磁波的傳播和超音速定常流動等都可以用雙曲型方程：

描述，可謂精美，簡潔而且優美動人！（三）對稱美

在日常生活中，舉目就可以看到對稱物。有對稱圖案、對稱建筑物、對稱文學作品等。為什么講求對稱？因為它美。數學中的對稱更是它的一種美麗。

在幾何圖形中，有所謂點對稱，線對稱，面對稱。畢達哥拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形”。而圓形和球形正是幾何中對稱美的杰出體現，圓是關于圓心對稱的，也是關于過圓心的任一條直線對稱的。球形既是點對稱，又是線對稱，還是面對稱的。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。是不是只有幾何中才有對稱美呢？非也！就已經體現出對稱美。

下面是對稱的楊輝三角形。美嗎？當然。

11112113311464115101051

對稱是數學中常見的形式之一，它是否給人以形式美的感覺，同時又總是與其內容相聯系的呢?當然是!（四）奇異美

平淡中無新奇，奇異中才有藝術。數學中的奇異是吸引許多人喜歡數學的重要原因，峰回路轉，柳暗花明，這也正是數學的魅力、數學的奇異美。

把分數化成小數是一件極簡單的事,

化成小數，得到0.1666…；化成小數得0.142857142857…；現在看看一個分子分母都比較大的分數，只要

耐心一點，也可把它化成小數：8.000000072

900000663390006

03684905493532639911470239…，小數點后一下子有7個0，間隔3位數后是5個0。很有規律，0出現的個數依次是7、5、3、1。再看中間那個3位數的非

很令人驚奇的是=8，因而零的729，它是9的3次方，即729=93，再往后看那個5位數、7位數：

66339=93×91，

6036849＝93×912，=8+然而，