》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《2022年全國新高考I卷數學真題及答案試卷類型：A2022年普通高等學校招生全國統一考試數學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A. B. C.1 D.23.在中，點D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.4.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（）A. B. C. D.5.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）A. B. C. D.6.記函數最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（）A.1 B. C. D.37.設，則（）A. B. C. D.8.已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成角為 D.直線與平面ABCD所成的角為10.已知函數，則（）A有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線11.已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（）A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.12.已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數為________________（用數字作答）．14.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．15.若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．16.已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．（1）求的通項公式；（2）證明：．18.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．19.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

（1）求A到平面的距離；（2）設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．20.一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數據，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．附，00500.0100.001k3.8416.63510.82821.已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若，求的面積．22.已知函數和有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.詳解】，故，故選：D2.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用復數的除法可求，從而可求.【詳解】由題設有，故，故，故選：D3.在中，點D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．4.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．5.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.6.記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函數的圖象與性質可求得參數，進而可得函數解析式，代入即可得解.【詳解】由函數的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A7.設，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數，導數判斷其單調性，由此確定大小.【詳解】設，因為，當時，，當時，所以函數在單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數單調遞增，所以，即，所以故選：C.8.已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】數形結合，依次對所給選項進行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD10.已知函數，則（）A.有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數在上有一個零點，當時，，即函數在上無零點，綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；令，該函數的定義域為，，則是奇函數，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC11.已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（）A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯立，可得，解得，故B正確；設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設其方程為，，聯立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD12.已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可得解.【詳解】因為，均為偶函數，所以即，，所以，，則，故C正確；函數，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數為________________（用數字作答）．【答案】-28【解析】【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數為-28故答案為：-2814.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.

15.若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】【分析】設出切點橫坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：16.已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．【答案】13【解析】【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據對稱性將的周長轉化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．（1）求的通項公式；（2）證明：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.【小問1詳解】∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；【小問2詳解】∴18.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【小問1詳解】因為，即，而，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．19.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

（1）求A到平面的距離；（2）設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等體積法運算即可得解；（2）由面面垂直的性質及判定可得平面，建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可得解.【小問1詳解】在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；【小問2詳解】取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設平面的一個法向量，則，可取，設平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.20.一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數據，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案見解析（2）（i）證明見解析；(ii)；【解析】【分析】(1)由所給數據結合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未黃該疾病群體的衛生習慣有差異；(2)(i)根據定義結合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據（i）結合已知數據求.【小問1詳解】由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.【小問2詳解】(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以21.已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由點在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設，，再根據，即可解出l的斜率；（2）根據直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補，再根據即可求出直線的斜率，再分別聯立直線與雙曲線方程求出點的坐標，即可得到直線的方程以及的長，由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，即可得出的面積．【小問1詳解】因為點在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線易知直線l的斜率存在，設，，聯立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化簡得，，即，所以或，當時，直線過點，與題意不符，舍去，故．【小問2詳解】不妨設直線的傾斜角為，因為，所以，因為，所以，即，即，解得，于是，直線，直線，聯立可得，，