第七章時間序列分析(TimeSeriesAnalysis)第一節時間序列分析的基本概念

經濟分析通常假定所研究的經濟理論中涉及的變量之間存在著長期均衡關系。按照這一假定，在估計這些長期關系時，計量經濟分析假定所涉及的變量的均值和方差是常數，不隨時間而變。然而，經驗研究表明，在大多數情況下，時間序列變量并不滿足這一假設，從而產生所謂的“偽回歸”問題(‘spurious’regressionproblem)。為解決這類問題，研究人員提出了不少對傳統估計方法的改進建議，其中最重要的兩項是對變量的非平穩性(non-stationarity)的系統性檢驗和協整(cointegration)。協整

協整分析被認為是上世紀八十年代中期以來計量經濟學領域最具革命性的進展。

簡單地說，協整分析涉及的是一組變量，它們各自都是不平穩的（含義是隨時間的推移而上行或下行），但它們一起漂移。這種變量的共同漂移使得這些變量之間存在長期的線性關系，因而使人們能夠研究經濟變量間的長期均衡關系。如果這些長時間內的線性關系不成立，則對應的變量被稱為是“非協整的”。誤差修正模型一般說來，協整分析是用于非平穩變量組成的關系式中長期均衡參數估計的技術。它是用于動態模型的設定、估計和檢驗的一種新技術。此外，協整分析亦可用于短期或非均衡參數的估計，這是因為短期參數的估計可以通過協整方法使用長期參數估計值，采用的模型是誤差修正模型(errorcorrectionmodel)。

在介紹上述方法之前，下面先介紹所涉及的一些術語和定義。一．平穩性（Stationarity）嚴格平穩性(strictstationarity)

如果一個時間序列Xt的聯合概率分布不隨時間而變，即對于任何n和k，X1,X2,…Xn的聯合概率分布與X1+k,X2+k,…Xn+k

的聯合分布相同，則稱該時間序列是嚴格平穩的。由于在實踐中上述聯合概率分布很難確定，我們用隨機變量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和協方差代替之，即所謂的“弱平穩性”。2.弱平穩性(weakstationarity)一個時間序列是“弱平穩的”，如果：（1）均值E(Xt)=μ，t=1,2,…（7.1）（2）方差Var(Xt)=E(Xt-μ)2=σ2，t=1,2,…（7.2）（3）協方差

Cov(Xt,Xt+k）=E[(Xt-μ)(Xt+k-μ)]＝rk，

t=1,2,…，k≠0（7.3）3.平穩性和非平穩性通常情況下，我們所說的平穩性指的就是弱平穩性。一般來說，如果一個時間序列的均值和方差在任何時間保持恒定，并且兩個時期t和t+k之間的協方差僅依賴于兩時期之間的距離（間隔或滯后）k，而與計算這些協方差的實際時期t無關，則該時間序列是平穩的。只要這三個條件不全滿足，則該時間序列是非平穩的。事實上，大多數經濟時間序列是非平穩的。例如，在圖7.1中，某國的私人消費（CP）和個人可支配收入（PDI）這兩個時間序列都有一種向上的趨勢，幾乎可以斷定它們不滿足平穩性條件（7.1），因而是非平穩的。二．幾種有用的時間序列模型1、白噪聲（Whitenoise）白噪聲通常用εt表示，是一個純粹的隨機過程，滿足:（1） E(εt)=0,對所有t成立；（2） Var(εt)=σ2，對所有t成立；（3） Cov(εt,εt+k)=0，對所有t和k≠0成立。白噪聲可用符號表示為：

εt～IID(0,σ2)（7.4）注：這里IID為IndependentlyIdenticallyDistributed（獨立同分布)的縮寫。2、隨機漫步（Randomwalk）隨機漫步是一個簡單隨機過程，由下式確定：

Xt=Xt－1+εt

（7.5）其中εt為白噪聲。

Xt的均值：

E(Xt）=E(Xt-1+εt）=E(Xt－1)+E(εt)=E(Xt－1)

這表明Xt的均值不隨時間而變。

為求Xt的方差，對（7.5）式進行一系列置換：

Xt=Xt－1+εt=Xt－2+εt-1+εt=Xt－3+εt-2+εt-1+εt=……=X0+ε1+ε2+……+εt=X0+∑εt

其中X0是Xt的初始值，可假定為任何常數或取初值為0，則

這表明Xt的方差隨時間而增大，平穩性的第二個條件（7.2）不滿足，因此，隨機漫步時間序列是非平穩時間序列。可是，若將（7.5）式Xt=Xt－1+εt寫成一階差分形式：

ΔXt=εt

（7.6)

這個一階差分新變量ΔXt是平穩的，因為它就等于白燥聲εt，而后者是平穩時間序列。3、帶漂移項的隨機漫步(Randomwalkwithdrift)Xt=μ+Xt－1+εt

（7.7）其中μ是一非0常數，εt為白燥聲。

μ之所以被稱為“漂移項”，是因為（7.7）式的一階差分為

ΔXt=Xt－Xt-1=μ+εt

這表明時間序列Xt向上或向下漂移，取決于μ的符號是正還是負。顯然，帶漂移項的隨機漫步時間序列也是非平穩時間序列。4、自回歸過程隨機漫步過程（7.5）（Xt=Xt－1+εt）是最簡單的非平穩過程。它是

Xt=φXt－1+εt

（7.8）的特例，（7.8）稱為一階自回歸過程(AR(1))，該過程在－1＜φ＜1時是平穩的，其他情況下，則為非平穩過程。

更一般地，（7.8）式又是

Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt

（7.9）的特例，（7.9）稱為q階自回歸過程(AR(q))。可以證明，如果特征方程

1－φ1L－φ2L2－φ3L3－……－φqLq

=0（7.10）的所有根的絕對值均大于1，則此過程（7.9）是平穩的，否則為非平穩過程。三．單整的時間序列（Integratedseries）

從（7.6）可知，隨機漫步序列的一階差分序列ΔXt=Xt－Xt-1是平穩序列。在這種情況下，我們說原非平穩序列Xt是“一階單整的”，表示為I(1)。與此類似，若非平穩序列必須取二階差分(Δ2Xt=ΔXt－ΔXt-1)才變為平穩序列，則原序列是“二階單整的”，表示為I(2)。一般地，若一個非平穩序列必須取d階差分才變為平穩序列，則原序列是“d階單整的”(Integratedoforderd)，表示為I(d)。由定義不難看出，I(0)表示的是平穩序列，意味著該序列無需差分即是平穩的。另一方面，如果一個序列不管差分多少次，也不能變為平穩序列，則稱為“非單整的”。

第二節平穩性的檢驗平穩性檢驗的方法可分為兩類：傳統方法和現代方法。前者使用自相關函數(Autocorrelationfunction)，后者使用單位根(Unitroots)。單位根方法是目前最常用的方法，因此本節中，我們僅介紹單位根方法。一．單位根考察（7.8）式的一階自回歸過程，即

Xt=φXt－1+εt

（7.11）其中εt為白噪聲，此過程可寫成

Xt－φXt－1=εt或（1－φL）Xt=εt

（7.12）其中L為滯后運算符，其作用是取時間序列的滯后，如Xt

的一期滯后可表示為L(Xt），即

L(Xt）=Xt－1

由上節所知，自回歸過程Xt平穩的條件是其特征方程的所有根的絕對值大于1。由于這里特征方程為1－ΦL=0，該方程僅有一個根L=1/φ，因而平穩性要求－1＜φ＜1。因此，檢驗Xt的平穩性的原假設和備擇假設為：

H0：∣φ∣≥1Ha：∣φ∣＜1

接受原假設H0表明Xt是非平穩序列，而拒絕原假設（即接受備擇假設Ha）則表明Xt是平穩序列。實踐中，上述原假設和備擇假設采用如下形式：這是因為，首先，可以假設，因為絕大多數經濟時間序列確實如此；其次，意味著是爆炸性的，通常不予考慮，這意味著備擇假設實際上是。單位根檢驗方法的由來

在Φ=1的情況下，即若原假設為真，則（7.11）就是隨機漫步過程（7.5），從上節得知，它是非平穩的。因此，檢驗非平穩性就是檢驗Φ=1是否成立，或者說，就是檢驗單位根是否存在。換句話說，單位根是表示非平穩性的另一方式。這樣一來，就將對非平穩性的檢驗轉化為對單位根的檢驗，這就是單位根檢驗方法的由來。（7.11）式Xt=φXt－1+εt兩端各減去Xt-1，我們得到

Xt－Xt－1=ΦXt－1－Xt－1+εt即ΔXt=δXt－1+εt

（7.13）其中Δ是差分運算符，δ=Φ－1。前面的假設

H0：φ=1Ha：φ＜1

可寫成如下等價形式：

H0：δ=0Ha：δ＜0

在δ=0的情況下，即若原假設為真，則相應的過程是非平穩的。換句話說，非平穩性或單位根問題，可表示為Φ=1或δ=0。從而我們可以將檢驗時間序列Xt的非平穩性的問題簡化成在方程（7.11）的回歸中，檢驗參數Φ=1是否成立或者在方程（7.13）的回歸中，檢驗參數δ=0是否成立。這類檢驗可用t檢驗進行，檢驗統計量為：

或（7.14）其中，和分別為參數估計值和的標準誤差，即這里的問題是，（7.14）式計算的t值不服從t分布，而是服從一個非標準的甚至是非對稱的分布。因而不能使用t分布表，需要用另外的分布表。二．Dickey-Fuller檢驗（DF檢驗）迪奇（Dickey）和福勒（Fuller）以蒙特卡羅模擬為基礎，編制了（7.14）中tδ統計量的臨界值表，表中所列已非傳統的t統計值，他們稱之為τ統計值。這些臨界值如表7.1所示。后來該表由麥金農（Mackinnon）通過蒙特卡羅模擬法加以擴充。

有了τ表，我們就可以進行DF檢驗了，DF檢驗按以下兩步進行：第一步：對（7.13）式執行OLS回歸，即估計△Xt=δXt-1+εt

（7.15）得到常規tδ值。第二步：檢驗假設

H0：δ=0Ha：δ＜0

用上一步得到的tδ值與表7.1中查到的τ臨界值比較，判別準則是：若tδ>τ，則接受原假設H0，即Xt非平穩。若tδ＜τ，則拒絕原假設H0，Xt為平穩序列。Dickey和Fuller注意到τ臨界值依賴于回歸方程的類型。因此他們同時還編制了與另外兩種類型方程中相對應的τ統計表，這兩類方程是：△Xt=α+δXt-1+εt

（7.16）和△Xt=α+βt+δXt-1+εt（7.17）二者的τ臨界值分別記為τμ和τT。這些臨界值亦列在表7.1中。盡管三種方程的τ臨界值有所不同，但有關時間序列平穩性的檢驗依賴的是Xt-1的系數δ，而與α、β無關。(7.17)式通常用于有明確時間趨勢的序列的單位根檢驗.

在實踐中，經濟數據一般不用（7.15）式那樣的無常數項的形式。帶漂移項的時間序列通常采用（7.17）式，而不帶漂移項的時間序列采用（7.16）式。例7.1檢驗某國私人消費時間序列的平穩性。

用表7.2中的私人消費（Ct）時間序列數據，估計與（7.16）和（7.17）相對應的方程，分別得到如下估計結果：(1)△=12330.48-0.01091Ct-1R2=0.052(t:)(5.138)(-1.339)DW=1.765(2)△=15630.83+346.4522t-0.04536Ct-1R2=0.057(t:)(1.966)(0.436)(-0.5717)DW=1.716

兩種情況下，tδ值分別為-1.339和-0.571，二者分別大于表7.1中從0.01到0.10的各種顯著性水平下的τμ值和τT值。因此，兩種情況下都不能拒絕原假設，即私人消費時間序列有一個單位根，或換句話說，它是非平穩序列。

下面看一下該序列的一階差分（△Ct）的平穩性。做類似于上面的回歸，得到如下結果：(3)△2=7972.671-0.85112△Ct-1R2=0.425(t:)(4.301)(-4.862)DW=1.967(4)△2=10524.35-114.461t-0.89738△Ct-1R2=0.454(t:)(3.908)(-1.294)(-5.073)DW=1.988其中△2Ct=△Ct-△Ct-1。

兩種情況下，tδ值分別為-4.862和-5.073，二者分別小于表7.1中從0.01到0.10的各種顯著性水平下的τμ值和τT值。因此，都拒絕原假設，即私人消費一階差分時間序列沒有單位根，或者說該序列是平穩序列。綜合以上結果，我們的結論是：△Ct是平穩序列，△Ct～I(0）。而Ct是非平穩序列，由于△Ct～I(0），因而

Ct～I(1）。ADF檢驗

ADF檢驗的全稱是擴展的迪奇－福勒檢驗（AugmentedDickey-Fullertest）,它是DF檢驗的擴展，適用于擾動項服從平穩的AR(P)過程的情形。ADF與DF檢驗的區別是在（7.13）式中增加若干個的滯后項作為解釋變量，即要回歸的方程變為

要檢驗的當然還是的系數是否為0，檢驗的臨界值和拒絕法則與DF檢驗相同。

在方程（7.18）中應當包括多少個滯后變動項，并無硬性的標準。一般做法是包括盡可能多的的滯后項，當然也不能太多，因為會影響自由度。實踐中可根據數據的頻率和樣本的規模來選擇p。對于年度數據，一、兩個滯后即可，月度數據，可考慮取p＝12。第三節協整按照弗里德曼的持久收入假設，私人總消費（Ct）是持久私人消費和暫時性私人消費（εt）之和，持久私人消費與持久個人可支配收入（Yt）成正比。則消費函數為：

其中0＜β1≤1。用表7.2中數據對此消費函數進行OLS估計，假定持久個人收入等于個人可支配收入，我們得到：

=0.80969YtR2=0.9924(t:)(75.5662)DW=0.8667

除DW值低以外，估計結果很好。t值很高表明回歸系數顯著，R2也很高，表明擬合很好。可是，由于方程中的兩個時間序列是趨勢時間序列或非平穩時間序列，因此這一估計結果有可能形成誤導。結果是，OLS估計量不是一致估計量，相應的常規推斷程序不正確。格蘭杰（Granger）和鈕博爾德（Newbold）在1974年發表的論文“SpuriousRegressioninEconometrics”中對此進行了深入研究。

文中指出，如果和是相互獨立的隨機漫步時間序列，那么由于和相互獨立，在的回歸中的估計值應當接近于0，相應的t統計值應當不顯著。但事實上Granger和Newbold發現，在100次回歸試驗中（樣本大小為50），的有23次的有24次的有53次本應不顯著的t統計值在大多數回歸中卻是顯著的！Granger和Newbold把這種現象稱為偽回歸（SpuriousRegression），因為這類回歸發現兩個時間序列顯著相關而實際它們根本不相關。

他們進一步指出，如果在時間序列的回歸中DW值低于R2，則應懷疑有偽回歸的可能。我們上面的結果正是如此（R2=0.9924>DW=0.8667）。

考慮到經濟學中大多數時間序列是非平穩序列，則我們得到偽回歸結果是常見的事。避免非平穩性問題的常用方法是在回歸中使用時間序列的一階差分?？墒?，使用變量為差分形式的關系式更適合描述所研究的經濟現象的短期狀態或非均衡狀態，而不是其長期或均衡狀態，描述所研究經濟現象的長期或均衡狀態應采用變量本身。

由上面的討論，自然引出了一個明顯的問題：我們使用非均衡時間序列時是否必定會造成偽回歸？對此問題的回答是，如果在一個回歸中涉及的趨勢時間序列“一起漂移”，或者說“同步”，則可能沒有偽回歸的問題，因而取決于t檢驗和F檢驗的推斷也沒有問題。這種非均衡時間序列的“同步”，引出了我們下面要介紹的“協整”概念。一．協整的概念

在方程（7.19）中，持久收入假設要求兩時間序列Ct和Yt的線性組合，即時間序列Ct－β1Yt必須是平穩的，這是因為此序列等于εt，而暫時性私人消費（εt）按定義是平穩時間序列。可是，Ct和Yt都是非平穩時間序列，事實上，不難驗證：Ct～I(1），Yt～I(1）。也就是說，盡管Ct～I(1），Yt～I(1），但持久收入假設要求它們的線性組合εt=Ct－β1Yt是平穩的，即εt=Ct－β1Yt～I(0）。在這種情況下，我們說時間序列Ct和Yt是協整的(Cointegrated)。下面給出協整(Cointegration)的正式定義。協整的定義

如果兩時間序列Yt～I(d)，Xt～I(d)，并且這兩個時間序列的線性組合a1Yt+a2Xt

是(d-b)階單整的，即a1Yt+a2Xt～I(d-b)（d≥b≥0），則Yt

和Xt被稱為是（d,b）階協整的。記為

Yt,Xt～CI(d,b)這里CI是協整的符號。構成兩變量線性組合的系數向量（a1，a2）稱為“協整向量”。

下面給出本節中要研究的兩個特例。

1、 Yt,Xt～CI(d,d）在這種情況下，d=b，使得a1Yt+a2Xt～I(0），即兩時間序列的線性組合是平穩的，因而Yt,Xt～CI(d,d）。

2、 Yt,Xt～CI(1,1)

在這種情況下，d=b=1，同樣有a1Yt+a2Xt～I(0)，即兩時間序列的線性組合是平穩的，因而

Yt,Xt～CI(1,1）。

讓我們考慮下面的關系

Yt=β0+β1Xt

（7.19）

其中，Yt～I(1），Xt～I(1）。當0=Yt－β0－β1Xt時，該關系處于長期均衡狀態。對長期均衡的偏離，稱為“均衡誤差”，記為εt：

εt=Yt－β0－β1Xt

若長期均衡存在，則均衡誤差應當圍繞均衡值0波動。也就是說，均衡誤差εt應當是一個平穩時間序列，即應有

εt～I(0），E(εt）=0。按照協整的定義，由于

Yt～I(1），Xt～I(1），且線性組合

εt=Yt－β0－β1Xt～I(0）因此，Yt

和Xt是（1，1）階協整的，即

Yt，Xt～CI(1,1）協整向量是（1,－β0,－β1）

綜合以上結果，我們可以說，兩時間序列之間的協整是表示它們之間存在長期均衡關系的另一種方式。因此，若Yt

和Xt是協整的,并且均衡誤差是平穩的且具有零均值，我們就可以確信，方程

Yt=β0+β1Xt+εt

（7.20）將不會產生偽回歸結果。由上可知，如果我們想避免偽回歸問題，就應該在進行回歸之前檢驗一下所涉及的變量是否協整。二．協整的檢驗

我們下面介紹用于檢驗兩變量之間協整最常用的恩格爾-格蘭杰（Engle-Granger）方法。Engle-Granger法（EG）或增廣Engle-Granger法（AEG）的檢驗步驟如下。步驟1.用上一節介紹的單位根方法求出兩變量的單整的階，然后分情況處理,共有三種情況：（1） 若兩變量的單整的階相同，進入下一步；（2） 若兩變量的單整的階不同，則兩變量不是協整的；（3） 若兩變量是平穩的，則整個檢驗過程停止，因為你可以采用標準回歸技術處理。

步驟2.

若兩變量是同階單整的，如I(1），則用OLS法估計長期均衡方程（稱為協整回歸）：

Yt=β0+β1Xt+εt并保存殘差et，作為均衡誤差εt的估計值。

應注意的是，雖然估計出的協整向量（1，－，－）是真實協整向量（1，－β0，－β1）的一致估計值，這些系數的標準誤差估計值則不是一致估計值。由于這一原因，標準誤差估計值通常不在協整回歸的結果中提供。步驟3.

對于兩個協整變量來說，均衡誤差必須是平穩的。為檢驗其平穩性，對上一步保存的均衡誤差估計值（即協整回歸的殘差et）應用單位根方法。具體作法是將Dickey—Fuller檢驗法用于時間序列et，也就是用OLS法估計形如下式的方程：△et=δet-1+νt

（7.21）

有兩點須提請注意：（1）（7.21）式不包含常數項，這是因為OLS殘差et應以0為中心波動。（2）Dickey—Fullerτ統計量不適于此檢驗，表7.3提供了用于協整檢驗的臨界值表。

由表7-3中可見，Ct和Yt都是非平穩的，而ΔCt和ΔYt都是平穩的。這就是說，

Ct～I(1），Yt～I(1）因而我們可以進入下一步。

第四步，得出有關兩變量是否協整的結論。用tδ＝－3.150與表7－3中的臨界值相比較（m=2），采用顯著性水平α=0.05，tδ大于臨界值τ，因而接受et非平穩的原假設，意味著兩變量不是協整的，我們不能說在私人消費和個人可支配收入之間存在著長期均衡關系?？墒?，如果采用顯著性水平α=0.10，則－3.150與表7－3中的臨界值大致相當，因而可以預期，若α=0.11，tδ將小于臨界值τ，我們接受et為平穩的備擇假設，即兩變量是協整的，或者說兩變量之間存在著長期均衡關系。第四節誤差修正模型（ECM）

協整分析中最重要的結果可能是所謂的“格蘭杰代表定理”（Grangerrepresentationtheorem）。按照此定理，如果兩變量Yt和Xt是協整的，則它們之間存在長期均衡關系。當然，在短期內，這些變量可以是不均衡的，擾動項是均衡誤差εt。兩