概率論與數理統計

第七講本文件可從網址/cgi-bin/mydocument/share_list.cgi?uid=math下載，此外，網址/上還有大量的習題解獨立試驗概型事件的獨立性定義1.4如果事件A發生的可能性不受事件B發生與否的影響,即P(A|B)=P(A),則稱事件A對于事件B獨立.由此定義及條件概率P(A|B)的定義有如A與B獨立,則在實用中兩個事件獨立經常是由于兩個試驗獨立,且總的試驗由兩個試驗拼成.這兩個試驗相互之間沒有任何影響.在解題過程中,通常題目中已經告訴你哪些事件獨立或者說相互無關.在科學實驗中,兩個事件是否獨立是需要經過理論和實驗的反復驗證的.比如一種治療方法或者一種藥是否和另一種病的好轉或者惡化有關系,或者完全沒有關系(獨立).定義1.5如果n(n>2)個事件A1,A2,…,An中任何一個事件發生的可能性都不受其它一個或幾個事件發生與否的影響,則稱A1,A2,…,An相互獨立.若A1,A2,…,An相互獨立,則有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)除非兩個事件之一的概率為0,否則兩個相互獨立的事件A與B通常是相容的,這是因為P(AB)=P(A)P(B)不為零.計算相互獨立事件的交的概率通常是好算的,只須將它們各自的概率相乘即可.但經常也要計算到相互獨立事件的并的概率,這時候或者可以用廣義加法法則,即

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)如果是要求多個相互獨立的事件的并的概率,則應當利用狄.摩根定理將事件的并轉換為事件的交,也就是考慮事件的逆的概率.但是,經常有的難題喜歡求某些獨立事件的交了再并的概率,這時候不得不套用廣義加法法則,尤其常用的是三個事件的并的加法法則,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例如,常見的求AB+CD+EF的概率,則P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F相互之間獨立,則上式中的各個交事件的概率再變成各概率之積.而一種非常常見的題型,就是假設事件A,B,C相互獨立,但是問其中至少兩件發生的概率,或者至少兩件不發生的概率.而A,B,C至少兩件發生的事件為AB+AC+BC,因此P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC)-P(ABC)-P(ABC)+P(ABC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)

-2P(A)P(B)P(C)而A,B,C至少兩件不發生的事件為例1甲,乙,丙3部機床獨立工作,由一個工人照管,某段時間內它們不需要工人照管的概率分別為0.9,0.8及0.85.求在這段時間內有機床需要工人照管的概率以及機床因無人照管而停工的概率.解用事件A,B,C分別表示在這段時間內機床甲,乙,丙不需工人照管.依題意A,B,C相互獨立,并且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85則這段時間內有機床需要工人照管的概率為而當至少有兩部機床需要照管的時候,就有機床因無人照管而停工了,這樣的事件是例2若例1中的3部機床性能相同,設P(A)=P(B)=P(C)=0.8,求這段時間內恰有一部機床需人照管的概率假設事件E為"三部中恰有一部需人照管",而D1,D2,D3為恰好甲,乙,丙機床需人照管,則而E=D1+D2+D3為三個互不相容事件之和,

而且P(D1)=P(D2)=P(D3),都是由一個0.2與兩個0.8相乘,因此可以寫成例3如圖所示,開關電路中開關a,b,c,d開或關的概率都是0.5,且各開關是否關閉相互獨立.求燈亮的概率以及若已見燈亮,開關a與b同時關閉的概率abcd解令事件A,B,C,D分別表示開關a,b,c,d關閉,E表示燈亮,則E=AB+C+DabcdP(E)=P(AB+C+D)

=P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD)

-P(CD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C)

-P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54=0.8125

P(AB|E)=P(ABE)/P(E)

而ABE,故ABE=AB,因此甲,乙,丙三人進行定點投籃比賽,已知甲的命中率為0.9,乙的命中率為0.8,丙的命中率為0.7,現每人各投一次,求:(1)三人中至少有兩人投進的概率;(2)三人中至多有兩人投進的概率.解:設A="甲投進",B="乙投進",C="丙投進"則三人中至少兩人投中的事件為AB+AC+BC三人中至多有兩人投進的事件為ABC98年經濟類考研題因此1998經濟類考研題

設A,B,C是三個相互獨立的隨機事件,且0<P(C)<1,則在下列給定的四對事件中不相互獨立的是解由題設,A,B,C是三個相互獨立的隨機事件,那么其中任意兩個事件或其對立事件的和,差,交與另一事件或者其對立事件是相互獨立的,根據這一性質,只有B是不成立的.1994年經濟類考研題這是因為,如果2000年經濟類考研題

設A,B,C三個事件兩兩獨立,則A,B,C相互獨立的充分必要條件是()

A.A與BC獨立 B.AB與A+C獨立

C.AB與AC獨立 D.A+B與A+C獨立解:選項B,C,D的兩個事件中都出現事件A,因此都不可能獨立.因此考察選項A,如A與BC獨立,則P(ABC)=P(A