學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE22學必求其心得，業必貴于專精專題2。3導數的應用（一)（測試時間:120分鐘滿分：150分)一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）1。若函數在上可導，且,則（)A。B．C．D．無法確定【答案】C【解析】試題分析：對函數求導，那么，，,。選C考點：求函數的導數2。函數f（x）＝3x2＋lnx－2x的極值點的個數是（）A．0B．1C．2D．無數個【答案】A【解析】考點：函數的極值3.設函數在上可導,其導函數為，且函數的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是(）A．函數有極大值和極小值B．函數有極大值和極小值C．函數有極大值和極小值D．函數有極大值和極小值【答案】D.【解析】試題分析：由函數的圖像,可得：當時，，則;當時，,則;當時,，則;當時，，則；則,；，，所以函數有極大值和極小值。考點：函數的極值。4.若點P是曲線y=上任意一點，則點P到直線y=x—2的最小距離是()A.B.1C.D。【答案】A【解析】試題分析:點P是曲線y=x2-lnx上任意一點,當過點P的切線和直線y=x-2平行時，點P到直線y=x-2的距離最小．直線y=x—2的斜率等于1，令y=x2—lnx的導數y′=2x-=1，x=1，或x=—（舍去）,故曲線y=x2-lnx上和直線y=x—2平行的切線經過的切點坐標（1，1）,點（1,1)到直線y=x—2的距離等于，故點P到直線y=x—2的最小距離為，故選A．考點：本題主要考查點到直線的距離公式的應用,函數的導數的求法及導數的幾何意義。5.曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的外接圓方程是（)A． B．C． D．【答案】C考點：導數的幾何意義6.過點且與曲線相切的直線方程為()A．或B．C．或D．【來源】【百強校】2017屆河南新鄉一中高三上學期第一次周練數學(文）試卷（帶解析）【答案】A【解析】試題分析：若直線與曲線切于點，則．∵，∴，∴,∴,∴，，∴過點與曲線相切的直線方程為或．故選：A。考點：利用導數研究曲線上某點的切線。【思路點晴】此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據一點坐標和斜率寫出直線的方程,是一道綜合題．設切點為,則由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率,利用切點即在切線上又在曲線上，便可建立關于的方程，從而可求方程。7。已知函數在區間上有最大值,則實數的取值范圍是（）A.B。C。D.【解析】因為，所以由題設在只有一個零點且單調遞減，則問題轉化為，即,應選答案B。點睛:解答本題的關鍵是如何借助題設條件建立不等式組，這是解答本題的難點,也是解答好本題的突破口，如何通過解不等式使得問題巧妙獲解.8.函數存在與直線平行的切線,則實數的取值范圍是(）A．B．C．D．【答案】D【解析】考點：導數及運用．【易錯點晴】本題考查的是函數的圖象與直線的位置關系中的平行為前提下函數解析式中參數的取值范圍問題．求解時要充分借助題設和直線與函數代表的曲線相切的的條件,建立含參數的方程,然后運用存在變量使得方程有解,再進一步轉化為求函數的值域問題．求值域時又利用題設中的,巧妙運用基本不等式使得問題簡捷巧妙獲解．9。設定義在上的函數是最小正周期為的偶函數，的導函數,當時,；當且時,,則方程上的根的個數為(）A．2 B．5 C．4 D．8【答案】C考點：導數的綜合應用10。【2018江西六校聯考】已知函數（為自然對數的底數）有兩個極值點，則實數的取值范圍是()A。B。C.D。【解析】

，若函數有兩個極值點，則

和

在

有

2

個交點，令

,

則

，在遞減

,

而

，故

時

，,

即，

遞增,

時

，,

即,遞減，故，而

時

，，時

,

，若

和

在

有

2

個交點只需

，點晴：本題考查函數導數與函數的極值點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可結合導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數最值處理．也可構造新函數然后利用導數來求解.注意利用數形結合的數學思想方法.11.函數f（x）＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區間（1,5）上為減函數，在區間（6,＋∞)上為增函數，則實數a的取值范圍是()A．[4，5]B．[3，5]C．[5，6]D．［6,7］【答案】D【解析】考點：導數與函數的單調性12.【2018山東德州一模】函數f（x）在實數集R上連續可導,且2f（x）—f′（x)＞0在RA。B。C.f（-2）＞e3f（1）D。f（-2)＜e3f（1）【答案】A【解析】令，則∵2f（x）-f′（x)＞0在R∴在R上恒成立，在R上單調遞減∴，即，，即故選A點睛：解答本題的關鍵是構造新函數，主要考查導數運算法則的逆用.根據含導函數的不等式構造原函數時要注意以下幾種類型考慮：①原函數是函數和差的組合；②原函數是函數乘除的組合；③原函數是函數與的乘除的組合；④原函數是函數與的乘除的組合;⑤原函數是函數與的乘除的組合;⑥原函數是函數與的乘除的組合。二．填空題（共4小題,每小題5分，共20分）13.已知直線與曲線相切，則a＝_____________。【來源】2015-2016學年江蘇省淮安市田家炳中學高二下期中理科數學試卷(帶解析）【答案】－1【解析】試題分析：設切點為,由題意可得，解方程組得考點：導數的幾何意義14。【2018江蘇南通聯考】已知函數在區間上存在最值，則實數a的取值范圍是________．【答案】15.已知都是定義在上的可導函數，并滿足以下條件:①;②;③，若,則．【來源】【百強校】2015-2016學年重慶八中高二下期末理科數學試卷（帶解析）【答案】【解析】試題分析：依題意，,，為增函數，故.即，解得.考點：函數導數.【思路點晴】利用導數求解不等式問題,往往需要構造函數，通過導數研究函數的性質,從而求解不等式。無論不等式的證明還是解不等式，構造函數，運用函數的思想,利用導數研究函數的性質（單調性和最值）,達到解題的目的，是一成不變的思路，合理構思，善于從不同角度分析問題,是解題的法寶.本題就是構造了函數,利用導數知道它的單調性,從而判斷的取值范圍。16.對于三次函數給出定義：設是的導數，是函數的導數,若方程=0有實數解x0，則稱點為函數的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點"就是對稱中心．設函數，＝.【來源】2015—2016學年福建省連江尚德中學高二下期中數學試卷（帶解析）【答案】【解析】試題分析：由，得;,所以此函數的對稱中心為.考點：導數對稱性與求和.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17。已知三次函數的導函數，,．為實數.（1）若曲線在點（,）處切線的斜率為12，求的值；(2）若在區間［—1,1］上的最小值．最大值分別為-2．1，且,求函數的解析式.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）=。【解析】試題分析:(1)根據可得a值。（Ⅱ)∵，∴由得，∵［—1，1],∴當［-1，0)時，，遞增；當（0，1］時,，遞減。……………8分∴在區間［-1,1］上的最大值為∵,∴=1……10分∵,∴∴是函數的最小值,∴∴∴=。..。.。。.。...。12分考點：導數與函數的最值18。函數（Ⅰ）若，在處的切線相互垂直，求這兩個切線方程．（Ⅱ）若單調遞增，求的范圍．【答案】(I）,（II）的范圍為【解析】（I），中學w。w-w*k＆s%5￥u∴∵兩曲線在處的切線互相垂直∴∴∴∴在處的切線方程為，同理，在處的切線方程為………………6分(II)由得……………8分∵單調遞增∴恒成立即……………10分令中學w。w-w*k＆s％5￥u令得，令得∴∴的范圍為……………13分考點：1。導數的幾何意義；2。函數的綜合應用。19。【2018河南漯河中學三模】已知.（1）若，求曲線的單調性；（2）若在處取得極大值,求實數的取值范圍.【答案】（1）在上為減函數；（2)【解析】試題分析：（1）求導得到，進行二階導，得到時，,即，所以在上為減函數;（2），得，對分，,，四類討論,最后解得答案。試題解析:(2）由已知得，則，記，則，①若,則當時,，故函數在上單調遞增,且當時，，即；當時，，即，又，所以在處取得極小值不滿足題意。②若時，當時，，故函數在上單調遞增，且當時，，即；當時，，即，又，所以在處取極小值不滿足題意.③若，則當時，故在上單調遞增；當時，，故在上單調遞減，所以當時，,即，故在上點掉遞減，不滿足題意.④若，則，當時，，故在上單調遞減，且當時,,即；當時，，即，又，所以在處取得極大值,滿足題意,綜上，實數的取值范圍是.20.設函數.（1）求的單調區間和極值；(2）若關于的方程有3個不同實根，求實數a的取值范圍。【答案】（1）的增區間是和，減區間是，極大值，極小值;（2）實數的取值范圍是。【解析】解：（1），令得：，當變化時,的變化情況如下表:00增極大減極小增所以的增區間是和，減區間是；當時，取得極大值,極大值；當時，取得極小值，極小值．（2）由（1)得，作出函數的草圖如圖所示:所以,實數的取值范圍是。考點：函數的極值，數形結合。21。【2018江蘇南寧市聯考】已知函數，。（l）求的單調區間；(2）若函數在區間內存在唯一的極值點,求的值。【答案】(1)單調遞增區間為,單調遞減區間為.（2)或。試題解析：（1）由已知得,.當時，由，得,由,得.所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為。(2）因為，則.由（1）可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減.又因為，.所以在上有且只有一個零點。又在上,在上單調遞減;在上,在上單調遞增。所以為極值點，此時.又，，所以在上有且只有一個零點.又在上，在上單調遞增；在上，在上單調遞減。所以為極值點，此時。綜上所述，或。【點睛】本題先把極值點問題轉化為,導函數零點問題，即零點存在性定理。利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移項使方程右邊為零,再令方程左邊為函數f(x)；②求區間(a，b）兩端點的函數值f(a）和（b)；③若函數在該區間上連續且f（a)f（b)<0，則方程在該區間內必有根.22.已知函數．（1)求函數的極值；（2)若當時，函數的圖象恒在函數的圖象的上方，求實數的取值范圍．【來源】【百強校】2016屆山東省冠縣武訓高中高三5月月考文科數學試卷（帶解析)【答案】(1)的極小值為,無極大值；（2)實數的取值范圍為．【解析】試題分析:（1）求導，討論的單調性可求其極值；(2）當時,函數的圖象恒在函數的圖象的上方等價于不等式在上恒成立,構造新函數通過求導研究其性質，即可得到實數的取值范圍．試題解析：(1）因為,所以,令,得，因為當時，;當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．因此，的極小值為，無極大值（2)由當時