第2章

信號與系統分析基礎（2）第2章信號與系統分析基礎2.1引言2.2信號分類和典型示例2.3線性時不變系統2.4卷積2.5傅里葉變換2.6小結2.5傅里葉變換2.5.1周期信號的傅里葉級數2.5.2傅里葉變換2.5.3傅里葉變換的基本性質2.5.4卷積特性2.5.5周期信號的傅里葉變換傅里葉讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉（JeanBaptisteJosephFourier）法國數學家、物理學家1768年3月21日－1830年5月16日2.5.1周期信號的傅里葉級數任何周期信號只要滿足狄利克雷條件，就可以分解成直流分量及許多正弦、余弦分量。這些正弦、余弦分量的頻率必定是基頻f1(f1=1/T1)的整數倍。通常把頻率為f1的分量稱為基波，

頻率為2f1、3f1，…等分量分別稱為二次諧波、三次諧波……等。

直流分量的大小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號的波形。狄利克雷（Dirichlet）條件：（1）在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個；（2）在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個；（3）在一周期內，信號是絕對可積的，即

等于有限值（T1為周期）。（一）三角函數形式的傅里葉級數

若f(t)的周期為T1，角頻率ω1=2π/T1，頻率f1=1/T1，傅里葉級數展開表達式為：

f(t)=a0+a1cos(ω1t)+b1sin(ω1t)

+a2cos(2ω1t)+b2sin(2ω1t)+…+ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)+…

=a0+∑[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]n=1直流分量基波分量n=1

諧波分量n>1各次諧波成分的幅度值計算公式為：直流分量

余弦分量的幅度

正弦分量的幅度

其中n=1，2，3，…傅里葉級數的另一種形式：

其中：a0=c0=d0，cn=dn=√an2+bn2an=cncosφn=dnsinθn

bn=-cnsinφn=dncosθn

tanφn=-bn/antanθn=an/bn(n=1,2,…)頻譜特性

由以上公式可以看出，各分量的幅度an，bn，cn及相位φn都是nω1的函數。幅度頻譜（簡稱為幅度譜）：幅度cn對nω1的關系所繪成的線圖，可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小。圖中每條線代表某一頻率分量的幅度，稱為譜線。連接各譜線頂點的曲線稱為包絡線，它反映各分量的幅度變化情況。相位頻譜（簡稱相位譜）：各分量的相位φn對頻率nω1的線圖。頻譜圖幅度譜（幅頻特性）相位譜（相頻特性）結論周期信號的頻譜只會出現在0，ω1，2ω1，…等離散頻率點上，這種頻譜稱為離散譜，它是周期信號頻譜的主要特點。【例2-8】周期矩形脈沖信號的傅里葉級數

（三角形式）

設周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為τ,脈沖幅度為E,重復周期為T1,此信號在一個周期內(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式為

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1f(t)=a0+∑[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]其中：n=1周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(三角形式)周期信號的譜線只出現在基波頻率的整數倍的頻率處（離散）。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移。

（二）指數形式的傅里葉級數其中：系數F（nω1）（簡寫作Fn）為

n為從-∞到+∞的整數。公式推導過程：【例2-9】周期矩形脈沖信號的傅里葉級數

（指數形式）

設周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為τ,脈沖幅度為E,重復周期為T1,此信號在一個周期內(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式為

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1分析：（1）周期矩形脈沖的頻譜是離散的，兩譜線的間隔為1（=2/T1），當脈沖重復周期愈大，譜線愈靠近。（2）直流分量、基波及各諧波分量的大小正比于脈幅E和脈寬，反比于周期T1。各譜線的幅度按Sa(n/T1)包絡線的規律而變化。（3）周期矩形信號包含無窮多條譜線，也就是說它可以分解成無窮多個頻率分量。但其主要能量集中在第一個零點以內。單邊譜雙邊譜負頻率在復數頻譜中出現的負頻率是由于將sin(nω1t)，cos(nω1t)寫成指數形式時，從數學的觀點自然分成ejnω1t以及e-jnω1t兩項，因而引入了-jnω1t項。所以，負頻率的出現完全是數學運算的結果，并沒有任何物理意義，只有把負頻率項與相應的正頻率項成對地合并起來，才是實際的頻譜函數。(三)周期信號的平均功率（帕塞瓦爾定理）此式表明：周期信號的平均功率等于傅里葉級數展開各諧波分量有效值的平方和，也即時域和頻域的能量守恒。帕賽瓦爾定理(四)頻帶寬度（帶寬）

頻譜圖上第一個零點以內的范圍，記作B。例：對周期矩形脈沖信號，

Bω=2π/τ或Bf=1/τ2.5.2傅里葉變換傅里葉正變換

F(ω)=[f(t)]=

F(ω)=|F(ω)|ejφ(ω)傅里葉逆變換f(t)=-1[F(ω)]=推導過程:F(nω1)=1/T1

T1/2-T1/2f(t)e-jnω1tdtF(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1=-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdtF(ω)=lim2πF(nω1)/ω1=limF(nω1)·T1

=lim-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdt

=-∞∞

f(t)e-jωtdtω10T1T1推導過程:F(nω1)=1/T1

T1/2-T1/2f(t)e-jnω1tdtF(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1=-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdtF(ω)=lim2πF(nω1)/ω1=limF(nω1)·T1

=lim-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdt

=-∞∞

f(t)e-jωtdtω10T1T1表示單位頻帶的頻譜值—即頻譜密度的概念.F(ω)稱為原函數f(t)的頻譜密度函數.f(t)=F(nω1)e-jnω1t

=F(nω1)/ω1?

e-jnω1tΔ(nω1)在極限情況下，nω1ω，Δ(nω1)dω1,

F(nω1)/ω1F(ω)/2π

-∞∞f(t)=1/(2π)-∞∞

F(ω)ejωtdωnω1=-nω1=-n=-結論:

非周期信號和周期信號一樣，也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。所不同的是，由于非周期信號的周期趨于無限大，基波趨于無限小，于是它包含了從零到無限高的所有頻率分量。同時，由于周期趨于無限大，因此，對任一能量有限的信號，在各頻率點的分量幅度趨于無限小。所以頻譜不能再用幅度表示，而改用頻譜密度函數來表示。【例2-10】矩形脈沖信號的頻譜

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]F(ω)=∞-∞f(t)e-jωtdt=τ/2-τ/2

Ee-jωtdt=(2E/ω)sin(ωτ/2)=Eτ·Sa(ωτ/2)f(t)E0tτ/2-τ/2【例2-11】鐘形(高斯)脈沖信號的頻譜

f(t)=Ee-(t/τ)2(-∞＜t＜+∞)F(ω)=∞-∞f(t)e-jωtdt=-∞∞

Ee-(t/τ)2

e-jωtdt=E-∞∞

e-(t/τ)2

[cos(ωt)-jsin(ωt)]dt=2E0∞

e-(t/τ)2

cos(ωt)dt=√πEτ·e-(ωτ/2)2f(t)E0tτE/ef(t)E0tτE/eF(ω)√πEτ0ωτ/2√πEτ/e【例2-12】升余弦脈沖信號的頻譜

f(t)=E/2[1+cos(πt/τ)](0≤t≤τ)F(ω)=-∞∞

f(t)e-jωtdt=-ττ

E/2[1+cos(πt/τ)]e-jωtdt=E/2-ττ

e-jωtdt+E/4∫τ-τejπt/τ·e-jωtdt+E/4-ττe-jπt/τ·e-jωtdt=EτSa(ωτ)+(Eτ/2)Sa[(ω-π/τ)τ]+(Eτ/2)Sa[(ω+π/τ)τ]=Esin(ωτ)/ω[1-(ωτ/π)2]=EτSa(ωτ)/[1-(ωτ/π)2]f(t)E0tτ/2-τ/2-ττf(t)E0tτ/2-τ/2-ττ【例2-13】沖激信號的頻譜F(ω)=∫∞-∞δ

(t)e-jωtdt=1f(t)(1)0tF(ω)10ω2.5.3傅里葉變換的基本性質（1）對稱性（2）線性（疊加性）（3）奇偶虛實性（4）尺度變換特性（5）時移特性（6）頻移特性（7）微分特性（8）積分特性（1）對稱性若F(ω)=[f(t)]，則

[F(t)]=2πf(-ω)當f(t)是偶函數時，則

[F(t)]=2πf(ω)證明：

f(t)=1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωtdωf(-t)=1/(2π)∫∞-∞F(ω)e-jωtdω將變量t與ω互換,可以得到

2πf(-ω)=∫∞-∞F(t)e-jωtdt所以[F(t)]=2πf(-ω)若f(t)是偶函數，則

[F(t)]=2πf(ω)【例2-14】對稱性實例(一)【例2-15】對稱性實例(二)f(t)t10(2π)0F(ω)ωf(t)(1)0tF(ω)10ω（2）線性（疊加性）若[fi(t)]=Fi(ω)（i=1,2,…,n），則

[∑aifi(t)]=∑aiFi(ω)其中ai為常數，為n正整數。nni=1i=1（3）奇偶虛實性若[f(t)]=F(ω)，無論f(t)為實函數或復函數，都具有以下性質：

[f(-t)]=F(-ω)

[f

(t)]=F(-ω)

[f(-t)]=F(ω)（4）尺度變換特性若[f(t)]=F(ω)，則其中，α為非零的實常數。【例2-16】尺度變換特性的實例（5）時移特性若[f(t)]=F(ω)，則

[f(t-t0)]=e–jωt0

·F(ω)

[f(t+t0)]=ejωt0

·F(ω)（6）頻移特性若[f(t)]=F(ω)，則

[f(t)ejω0t]=F(ω-ω0)

[f(t)e-jω0t]=F(ω+ω0)根據歐拉公式:cos(nω1t)=1/2(ejnω1t+e-jnω1t)

sin(nω1t)=1/2j(ejnω1t-e-jnω1t)有：[cos(ω0t)]=π[(ω+ω0)+(ω-ω0)]

[sin(ω0t)]=jπ[(ω+ω0)-(ω-ω0)]

[f(t)cos(ω0t)]=1/2[F(ω+ω0)+F(ω-ω0)][f(t)sin(ω0t)]=j/2[F(ω+ω0)-F(ω-ω0)]

【例2-17】余弦波和正弦波信號的頻譜(π)0F(ω)ω(π)ω1-ω1(π)0jF(ω)ω(-π)ω1-ω1【例2-18】矩形調幅信號的頻譜g(t)E0tτ/2-τ/2G(ω)f(t)=g(t)cos(ω0t)（7）微分特性若[f(t)]=F(ω)，則時域微分特性為

[df(t)/dt]=jωF(ω)

[dfn(t)/dtn]=(jω)n

F(ω)頻域微分特性為

-1[dF(ω)/dω]=(-jt)f(t)

-1[dFn(ω)/dωn]=(-jt)n

f(t)（8）積分特性若[f(t)]=F(ω)，則時域積分特性為

[∫t-∞f(τ)dτ]=F(ω)/(jω)+πF(0)δ(ω)頻域積分特性為

-1[∫ω-∞F(Ω)dΩ]=-f(t)/(jt)+πf(0)δ(t)【例2-19】三角脈沖信號的頻譜22.5.4卷積定理若[f1(t)]=F1(ω)[f2(t)]=F2(ω)時域卷積定理

[f1(t)﹡f2(t)]=F1(ω)F2(ω)頻域卷積定理

[f1(t)·f2(t)]=1/(2π)F1(ω)﹡F2(ω)系統的時域分析由于任意信號可以用沖激信號的組合表示，即：

e(t)=-

e(τ)

δ(t-τ)dτ根據LTI系統的微分特性，則系統的響應可表示為：

r(t)=-

e(τ)

h(t-τ)dτ=e(t)*h(t)h(t)e(t)r(t)系統的頻域分析R（ω）＝H（ω）E（ω）系統改變了激勵信號的頻譜。系統的功能是對信號各頻率分量進行加權，某些頻率分量增強，而另一些分量則相對削弱或不變。而且，每個頻率分量在傳輸過程中都產生各自的相位移。H(ω)E(ω)R(ω)【例2-20】利用卷積定理求三角脈沖的頻譜

f(t)=g(t)g(t)F(ω)=G(ω)·G(ω)g(t)【例2-21】求有限長余弦信號的頻譜2.5.5周期信號的傅里葉變換令周期信號f(t)的周期為T1，角頻率ω1=2π/T1f(t)=∑F（nω1）ejnω1t

[f(t)]=∑F（nω1）ejnω1t=∑F（nω1）[ejnω1t]

[ejnω1t]=2πδ(ω-nω1)則[f(t)]=2π∑Fnδ(ω-nω1)

n=-n=-n=-n=-【例2-22】周期單位沖激序列的傅里葉變換δT(t)=δ(t-nT1)=

Fnejnω1tFn=1/T1

-T1/2T1/2

δT(t)e-jnω1tdt=1/T1δT(t)=1/T1ejnω1tF()=21/T1(-n1)

=1(-n1)δT(t)(1)0t……-T1T1n=-n=-n=-n=-n=-δ(t)(1)0tF0(ω)10ωδT(t)(1)0t……-T1T1δT(t)(1)0t……-T1T1F(ω)(ω1)0ω……-ω1ω1Fn(1/T1)0ω……-ω1ω1【例2-23】周期矩形脈沖信號的傅里葉變換f(t)=Eτ/T1∑Sa(nω1τ/2)ejnω1tF(ω)=2πΣFnδ(ω-nω1)=Eτω1ΣSa(nω1τ/2)δ(ω-nω1)f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1n=-n=-n=-2.6小結信號的分解沖激信號的疊加傅里葉級數卷積線性時不變系統的時域分析傅里葉變換頻譜與帶寬線性時不變系統的頻域分析作業2-1（1）（3）（5）（7）2-4（1）（2）（3）2-62-8（a）（b）（c）（d）課程設計制作卷積運算的動畫制作傅里葉變換的動畫設計程序實現對任意兩個函數進行卷積運算的過程及結果顯示設計程序計算并顯示周期信號的傅里葉級數設計程序計算并顯示信號的傅里葉變換設計程序實現如下功能：采集語音或視頻信號后顯示其頻譜。習題2-6（P.1603-3）若周期信號f1(t)和f2(t)波形如圖所示，f1(t)的參數為=0.5s，T=1s，E=1V；f2(t)的參數為=1.5s，T=3s，E=3V，分別求：（1）f1(t)的譜線間隔和帶寬（第一零點位置），頻率單位以表示；（2）f2(t)的譜線間隔和帶寬；（3）f1(t)與f2(t)的基波幅