重溫傅里葉一筆記篇本文記錄的大多是基礎的公式，還有一些我認為比較重要的有參考價值的說明。(如果對這些公式已經很熟悉，可以直接看第三部分：總結性說明)重溫傅里葉一筆記篇一、傅里葉級數$ 關于三角函數系的正交性：三角函數系包括：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x, cosnx,sinnx, "正交性”是說，三角函數系中的任何一項與另一項的乘積，在(-n,n)區間內的積分為0。(任何兩相的積總可以展成兩個頻率為整數倍基頻的正余弦函數之和或差，而這兩個展開后的正余弦在(-n,n)上積分都為0)。不同頻率(但都是整數倍基頻)的兩個正弦函數之積，在(-n,n)上積分恒為0。同頻率的兩個正弦函數之積，只有在這兩個正弦的相位正交時，其在(-n,n)上積分才是0。三角函數系中除“T以外的任何一項的平方，在(-n,n)上的積分恒為n,“T在這個區間上的積分為2n。

$上公式?、佼斨芷跒?n時:上式成立的條件是f(x)滿足狄立克雷充分條件：在任意有限區間內連續，或只有有限多個第一類間斷點；任意的有限區間，都可被分成有限多個單調區間(另一種說法是：任意有限區間內只有有限多個極值點，其實是一樣的)式(1)第一行中的a0/2就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只對f(x)是連續函數的情況成立；如果f(x)不連續，則應表示成“(1/2)x[f(x-0)+f(x+0)]H，即f(x)左右極限的算術平均。下面的類似情況都是這樣，之后就不再專門說明，這些大家應該都懂第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,……n，……(都為正，且不包含0)。②當周期為2L時(這也是最一般的情形)：式(2):2abL*工J]=l賓 千2abL*工J]=l賓 千acos(n—x)-i-bsin(門一xR L n L1<=—ff{x)dxL」4-L|f{x)cos(n—-l Qi .|f(A)sin(A?—-L L第一行中的a0/2就是f(x)的周期平均值；第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,……n，……(都為正，且不包含0)。

4-2LLj+ee22式+-F222令+bAj$傅里葉級數的復數表達方式同樣設周期為2L。根據歐拉公式，正余弦函數都可以用復指數表示出來。這樣上面式(2)中的第一行:可以表示為:-JJT—zsinWcos4-2LLj+ee22式+-F222令+bAj$傅里葉級數的復數表達方式同樣設周期為2L。根據歐拉公式，正余弦函數都可以用復指數表示出來。這樣上面式(2)中的第一行:可以表示為:-JJT—zsinWcos(n—17=1-兀m—xL+8z□T-=l.STJTJ—JC￡十GO2②右f（x）為偶（或奇）函數，則所有的bn（或an）將為0,此時的cn將變為頭數（或純虛數）,且an（或bn）是轉換后所得的^的2（或2i）倍，而cn與cn相等（或純虛共軛）。n n n -nn定理：若f⑴在(-8,+8)上絕對可積，即f(t)的絕對值在(-8,+8)上收斂，則F(3)在(-8,+8)上存在且連續(F(3)的連續性在復變函數的教科書中一般都有證明)。F(3)是實變復值函數，即變量w是在實數區間(-8,+8)定義，而函數值F(w)卻在復數空間。式(9)的條件是：f(t)在(-8,+8)上絕對可積，并在任一有限區間滿足狄立克雷充分條件。$若f(t)為偶函數，則F(w)將為純實數，且同為偶函數；若f(t)為奇函數，則F(w)將為純虛數，且同為奇函數；而對任意f(t)，F(w)與F(-w)始終共軛，這意味著|F(w)|與|F(-w)|恒相等，即F(w)的絕對值是偶函數$ 由于要求f(t)絕對可積，所以對于周期函數一般是不能用傅里葉變換的，只能用傅里葉級數分析。(周期函數往往不能收斂)。、總結性說明、總結性說明周期函數可以看成由很多頻率是原函數頻率整數倍的正余弦波疊加而成，每個頻率的波都有各自的振幅和相位，必須將所有頻率的振幅和相位同時記錄才能準確表達原函數。但從上面的公式來看，我們好像從沒涉及到相位？其實不然，從式（2）來看，我們將每個頻率的波分成了一個正弦分量和一個余弦分量，同時記錄了這兩個分量的振幅an、bn其實就已經包含了這個頻率的波的相位信息；而對于式（6a），每個頻率的波被分成了正負兩個頻率的復數“波”，這種方式其實比正余弦形式更加直觀，因為復振幅cn恰好同時記錄了這個頻率的振幅和相位，它的物理意義很明顯：cn的幅值|cn|即為該頻率的振幅（準確的說是振幅的一半），而其輻角恰好就是相位（準確的說是反相的相位，cn的輻角才恰好代表該n頻率波分量的相位）。傅里葉變換針對的是非周期函數，或者說，周期為無窮的函數。它是傅里葉級數的一個特例（好吧，我曾經一直以為傅里葉級數是傅里葉變換的一個特例，正好相反，剛前幾天才想通透）。當傅里葉級數的周期L趨于無窮時，自然就變成了上面的傅里葉變換。這種關系從二者的表達式中大概能看出點端倪，但是也不是特別明顯，畢竟它們的表達形式差別還挺大。如果不把傅里葉級數表達成復數形式，那就更加難看出二者之間的聯系了，這也是為什么本文中詳細列出了復數形式的傅里葉級數。傅里葉變換要求f（t）在（-8,+8）上絕對可積，其實可以理解成“傅里葉級數要求函數在一個周期內的積分必須收斂”。在深入篇中，我再好好說說二者是如何聯系的。重溫傅里葉--深入篇1--傅里葉級數與傅里葉變換的關系以及頻譜圖的介紹在讀本文前，請先大致瀏覽一下筆記篇里的東西，下面使用的符號及其意義都跟筆記篇里是一致的。筆記篇里記錄的大都是基礎的公式，教科書上都可以找到。（抱歉，剛發現有點小錯誤：在式（6-4）和式（11）里，積分項中的“dx”都應改為“d3”,由于改圖不太好改，就只在這里說明了。請讀者看的時候注意）為了下面敘述方便，我先做幾點約定和說明:本文中提到的傅里葉級數都是復數形式的級數，下標n都是負無窮到正無窮；對于筆記篇里經常出現的“nn/L”，它可以看成一個角頻率，用w表示。（角頻率與頻率（通常用f表示）之間的關系是：w=2nf）。（參見筆記篇中的式（3）、（4）、（6）等）；進一步，我將“n/L”稱為“角基頻”，這樣的話“nn/L”就是n倍角基頻。當周期為2n時，角基頻恰好為1；一定別搞混：cn代表的不是角頻率為n的波分量的振幅，而是角頻率為n倍角基頻的波分量的振幅；對于周期函數，除了角頻率為整數倍（包括負整數倍）角基頻的波分量振幅可以不為0外，角頻率為其他值的波分量振幅都是0。（下面介紹頻譜圖時會再提到此事）；*對于周期L等于無窮大的函數（非周期函數），其角基頻為n/L=0，這樣實數范圍內的所有角頻率都可以看成整數倍角基頻了，因此非周期函數在所有的角頻率處都有波分量!（就是說，頻譜圖由離散變得連續了）。什么，那不亂套了？如果所有的角頻率都有波分量而且每個波分量都有一個不為0的振幅，那級數怎么可能收斂？還好，每個cn的表達式中都有一個1/2L的系數，這樣周期無窮大時，所有的振幅cn也都變成“0”了，所以不會亂套，但是這么多0加一塊應該還是0,怎么能湊出原來的f（x）呢？這就像對一個函數積分一樣，函數在任意一個點處的積分都是0（好吧我知道這說法不科學，但是方便理解），但對一個區間積分，這么多0加起來就成了一個有限值。好了，不亂說了，越說越亂，本文就從這里開始，看完下面的幾段大家就能清楚的知道是怎么一回事了。為了方便大家翻閱，我先將一會兒涉及到的幾個公式重新貼一遍在這里。這些公式及公式的標號都與筆記篇中相同。周期函數的傅里葉級數相關公式:-KE1尸（血）=J—g周期級數公式如式（6）和式（7）那樣，我們現在要做的是，搞明白為什么周期L趨于無窮時，就會有式（9）和式（8）的結果。

好，現在我們對式（6）和式（7）進行第一步加工：將式中的“nn/L"用角頻率wn來表示,代表n倍角基頻。這樣，會產生下面的新式子：對比式（7-1）和式（8）,發現他們右邊的積分式主體部分形式幾乎是一樣的，只是上下限和系數不同。好吧，為了更直觀的對比，我再創造一個符號，Fn，將它定義如下：F=cx2Lnn這樣我們就可以徹底拋棄Cn這個礙眼的符號了，全部用Fn代替。然后重寫式（6）和式（7）：再拿式(7-2)和式(8)對比，會發現很讓人興奮的結果，他們的形式幾乎一樣！但是式(6-2)和式(9)貌似差別還不小，他們的系數一個是(1/2L),—個(1/2n)。好吧，接著來，我們再創造一個符號，43,定義如下：Aw=(n/L) (其實就是角基頻的大小)利用它來再次加工式(6)：(式(7-2)不變，但還是一塊列了出來)重新對比式(6-3)和式(9),發現形式已經很相近了，只不過一個是積分一個是和式??…等一下！和式？再仔細看看看式(6-3)，發現這時它很像一個函數積分的和式展開式！那我們現在來構造兩個函數吧：F*(w)和w*(w)，構造方法如下：F*(w)=Fn 當[(n-1/2)Aw]<w<[(n+1/2)Aw]時；w*(w)=wn 當[(n-1/2)Aw]<w<[(n+1/2)Aw]時；這是兩個分段跳躍函數，它們都以w為自變量，并每隔Aw,函數值變化一次。好吧，數字太不直觀，我把F*(w)的函數圖象大致畫出來方便大家理解:

上面這個階梯狀的東西就是F*（3）的函數圖象。W*（3）的圖像也是類似的階梯狀，而且它的更簡單，是一個從負無窮到正無窮逐步升高的形狀（每次升高一個角基頻的大?。?。這里有必要說明一下，以免誤導大家：Fn一般都是復數，只有在f（x）本身是偶函數時才是實數，因此函數F*的值也應為復數。也就是說，將F*的函數圖象畫成圖1那樣的實數形式其實是不合理的。我這樣做只是為了方便大家理解（6-3）中的和式是如何變成積分式的。好了，有了這兩個函數，我們再來仔細看看式（6-3），不難看出，這個和式其實就是函數尺在（-8,+8）上的積分（面積）！這次我們再進一步，將上面兩個式子中的Fn和wn也都換掉，使其變成"和F*這兩個函數之間的關系式（離成功不遠了）：這就是轉換后的結果。筆記篇中的式（6b）與式（7），跟現在推出的式（6-4）與式（7-4），是完全等價的，因為后面的兩個就是根據前兩個換算來的，只不過借助了F*（3）和3*（3）這兩個新構造的函數而已。表達的意義一樣，適用范圍也一樣（都適用于周期函數），但形式卻大變！這時再回頭看看式（9）和式（8），我們終于可以松口氣了，形式完全一樣！好了，現在我們再看看看周期L趨于無窮時會發生什么。如果直接分析筆記篇中的式（6b）與式（7），我們會很失望，因為L趨于無窮時，它們都“退化”了，很難直接地從這兩個式子中得到有用的信息（如果用這兩個式子，我們所能得到的“直觀”結果就是：cn全變0了，所以f（x）是0。顯然這是錯的）。但我們后來創造出來的式（6-4）與式（7-4），適應環境的能力就很強了。1.首先，L趨于無窮時，43會變得越來越小直至變成0（Aw是什么？忘了？前面有，43=（n/L））；2.同時，對于3*（3）=叫，由于43其實就是角基頻，而相鄰的兩個叫差就是一個角基頻，根據1可知，L趨于無窮時，3*（3）就由階梯跳躍變得連續了，這時3*（3）=3。3.同時，兩個相鄰的Fn，他們的差別也越來越小直至變成0，（Fn=Cnx2L,從Cn的表達式可以看出，L趨于無窮時cn本身就是一個與（1/L）同階的無窮小量，那相鄰的cn之間的差值就是比（1/L）更高階的無窮小量，因此相鄰的Fn之間的差值就趨于0了）。這樣一來，圖1中表示的函數F（3）就漸漸的由階梯跳躍變成］果，這時F*（＜o）就可以表達為：心U二 J心嚴dx—Z（—so）而式（6-4）也可表示成：屮fix}=——fF'e^dx式（10）和（11）其實就是式（S）和（9〉匚OK完結，多么簡單，可是以前就沒想到，剛現在才開竅。數字游戲玩完之后，我們再好好理解一下式（8）（9）中的F（3）。從我們剛才的證明過程中，可以看到Fn=Cnx2L，在筆記篇中我說過，cn其實就代表某個頻率波分量的振幅和相位，而Fn與Cn是成正比的，它的值同樣可以表征一個波分量的振幅和相位。F（3）與Fn有相同的意義，因此F（3）的分布其實就代表了各角頻率波分量的分布。具體的說：|F（3）|的分布正比地體現了各個角頻率波分量的振幅分布。（別忘了F（3）是復數）F（3）的輻角體現了各個角頻率波分量的相位分布。我們平時所說的“頻譜圖”，其實指的就是|F（3）|的函數圖象，它始終是偶函數（這個就是實數了，因為我們取的是F（w）的幅值而不是F（w）本身）。對于滿足傅里葉變換條件的非周期函數，他們的頻譜圖一般都是連續的；而對于周期函數，他們的頻譜則都是離散的點，只在整數倍角基頻的位置有非零的頻譜點存在。根據頻譜圖可以很容易判斷該原函數是周期函數還是非周期的（看頻譜圖是否連續就行了），而且對于周期函數，可以從頻譜圖讀出周期大?。ㄏ噜彽碾x散點之間的橫軸間距就是角基頻，這個角頻率對應的周期就是原函數的周期）。那怎樣讀出每個頻率的振幅呢？|F（w）|與振幅成正比，要想讀出某個頻率波分量的實際振幅，只需讓|F（w）|乘以相鄰離散點的橫軸間距再除以n即可。其實就是讓|F（w）|除以原函數周期值的一半（即L）,參考一下我們上面說到的Fn和cn之間的關系式以及我在筆記篇中提到的“|cn|的幅值是實際振幅的一般'，就可以輕松得到得到這個結論。對于非周期函數來說，其頻譜圖已趨于連續，相鄰“離散點”的橫軸間距就是一個無窮小量，而|F（w）|是有限值，那么每個頻率波分量的實際振幅就都是0了。所以對于非周期函數，說“|F（3）|代表了振幅密度的大小”比說“|F（3）|代表了振幅的大小”更貼切一點。在某個寬度為厶3的區間內（頻帶），對這個'密度”進行積分，（其實還要再除以n的）就能得到這個寬度為厶3的頻帶中所有頻率產生的振幅之和（雖然大家的振幅都是趨于0,但無數個加一塊就有非零值了）。怎么理解呢？先把這個連續頻譜圖想象成一個由很多離散點組成的離散頻譜圖，只不過相鄰離散點之間的橫軸間距特別?。ㄓ胐w表示吧，方便我敘述），其實相當于先把這個非周期函數想象成了一個周期很長的周期函數（周期