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第2章線性變換

在許多數學問題和實際問題中起著重要作用的是線性空間到線性空間的映射，并且這些映射有一個共同點，即保持加法與數乘兩種運算，我們稱這樣的映射為線性映射．本章討論線性空間到線性空間的線性映射，著重討論線性空間到自身的線性映射—線性變換，并建立它們和矩陣之間的聯系

．2.1

線性變換的概念

顯然，線性映射與第１章線性空間中同構映射相比，線性映射就是保持線性運算的映射，他不要求是雙射，而線性變換是線性空間到自身的線性映射．

2.1.1線性變換的定義2.1.2線性變換的性質

注意性質3的逆命題不成立，即線性變換可能將線性無關向量組變成線性相關向量組．例如，零變換把任何線性無關向量組都變成線性相關向量組．

2.2

線性變換的運算

定理2.2.1

對于上述加法與數量乘法構成數域上的一個線性空間．

對于線性變換，還可以定義下列幾種基本運算2.3線性變換的矩陣2.3.1預備定理2.3.2線性變換的矩陣表示

該定理說明，線性空間V中的線性變換T在兩個不同基下的矩陣是相似的．反過來也可以證明，兩個相似矩陣總可以看成某一線性變換在兩個不同基下的矩陣．2.4

正交變換與酉變換在內積空間中有一種特殊的線性變換，它保持向量的內積不變，這種變換稱為酉（正交）變換．2.4.1正交矩

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