第三篇數學分支中的相關數學模型§1高等數學相關模型

1.1衛星軌道長度1.2射擊命中概率

1.3人口增長率

§2線性代數相關模型

2.1投入產出綜合平衡分析2.2輸電網絡§3概率統計相關模型

3.1合金強度與碳含量3.2年齡與運動能力

3.3商品銷售量與價格

§1高等數學相關模型問題1.1衛星軌道長度人造地球衛星軌道可視為平面上的橢圓.我國第一顆人造地球衛星近地點距地球表面439km，遠地點距地球表面2384km，地球半徑為6371km,求該衛星的軌道長度.分析衛星軌道橢圓的參數方程

橢圓長度

分別是長、短半軸

橢圓積分無法解析計算

輸出MATLAB程序

functiony=x5(t)a=8755;b=6810;y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2);t=0:pi/10：pi/2y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1)L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6)L1=4.908996526785276e+004L2=4.908996531830460e+004輸出求解梯形公式

辛普森公式評注問題1.2射擊命中概率炮彈射擊目標為一正橢圓形區域，當瞄準目標中心發射時，在眾多因素影響下，彈著點與目標中心有隨機偏差.分析設目標中心x=0,y=0,無法解析計算

設彈著點圍繞中心成二維正態分布,且偏差在X方向和Y方向相互獨立.若橢圓在X方向半軸長120m,Y方向半軸長80,設彈著點偏差的均方差在X和Y方向均為100m.求炮彈落在橢圓形區域內的概率.

則彈著點(x,y)概率密度函數炮彈命中橢圓形區域的概率求解：蒙特卡羅方法這是一種隨機實驗的方法，用它來計算定積分的原理可以從下面的直觀例子得出。如圖所示：投石算面積隨機投點法從概率論的觀點看上例，記投點的坐標為

每個坐標視為相互獨立的、（0，1）取間內均勻分布的隨機變量，簡稱（0，1）隨機數。根據大數定律，事件“落在四分之一單位圓面積內”發生的頻率（依概率）收斂于（）該事件發生的概率P，不妨寫作，而P可以用積分表示為于是當

，可以用隨機投點法作近似計算這里n是二維（0，1）隨機數的總數，k是其中滿足的數目。（0，1）隨機數可以用計算機方便的產生。rand(1,n)產生n個（0，1）隨機數，用于蒙特卡羅方法。重積分的計算：設是相互獨立的（0，1）隨機數，判斷每個點是否落在域內，將落在域內的m個點記作,則求解：蒙特卡羅方法作變換以100(m)為1單位，則MATLAB程序

輸出a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;n=100000;fori=1:nx=rand(1,2);y=0;ifx(1)^2+x(2)^2<=1y=exp(-0.5*(a^2*P=0.3752,m=78.552x(1)^2+b^2*x(2)^2));z=z+y,m=m+1endendp=4*a*b*z/2/pi/n,m評注問題11.3人口增長率20世紀美國人口數據(106),

計算各年份人口增長率.記時刻t人口為x(t)，則人口相對增長率為分析記1900年為k=0

求解：數值微分三點公式

年增長率

2.201.661.461.021.041.581.491.161.051.04

評注問題2已知某地區20世紀70年代的人口增長率,且1970年人口為210（百萬），試估計1980年的人口.記時刻t人口為x(t)，則人口增長滿足微分方程分析記1970年為k=0

求解評注1980年該地區人口為230.2（百萬）

數值積分梯形公式為算出瑞士的國土面積，首先對瑞士地圖作如下測量：以由西向東方向為x軸，由南到北方向為y軸，選擇方便的原點，并將從最西邊界點到最東邊界點在x軸上的區間適當地劃分為若干段，在每個分點的y方向測出南邊界點和北邊界點的坐標，得到表中數據（單位mm）.習題：國土面積問題根據地圖比例,18mm相當于40km，試由測量數據計算瑞士國土的近似面積，與它的精確值41288km比較.§2線性代數相關模型背景2.1投入產出綜合平衡分析國民經濟各個部門之間存在著相互依存的關系，每個部門在運轉中將其他部門的產品或半成品經過加工（投入）變為自己的產品（產出）.投入產出綜合平衡模型:根據各部門間的投入—產出關系，確定各部門的產出水平，以滿足社會的需求.設國民經濟僅由農業、制造業、和服務業三個部門構成，已知某年它們之間的投入產出關系、外部需求、初始投入等如表（產值單位為億元）簡化問題產出投入農業制造業服務業外部需求總產出農造業301045115200服務業2060/70150外部需求3511075總投入100200150說明假定每個部門的產出與投入是成正比的，由上表能夠確定這三個部門的投入產出表投入農業制造業服務業農業0.150.100.20制造業0.300.050.30服務業0.200.300說明表中數字稱為投入系數或消耗系數

假設系數是常數產出?設有n個部門，已知投入系數，給定外部需求，建立求解各部門總產出的模型.?如果今年對農業、制造業、服務業的外部需求分別為50，150，100億元，三個部門總產出？

?

模型可行：對于任意給定的、非負的外部需求,都能得到非負的總產出.為使模型可行,投入系數滿足？

?如果三個部門的外部需求分別增加1個單位，他們的總產出應分別增加多少？分析投入產出綜合平衡分析①若有n個部門，記一定時期內第i個部門的總產出為xi，其中對第j個部門的投入為xij，滿足的外部需求為di，則投入產出表每一行都滿足

記第j個部門的單位產出需要第i個部門的投入為aij，在每個部門的產出與投入成正比的假定下，有記投入系數矩陣產出向量

需求向量

則

或

若I-A可逆，則

?各部門總產出

MATLAB程序

a=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];

d=[50150100];

b=eye(3)-a;

x=b\d,c=inv(b)

?三部門總產出:139.2801,267.6056,208.1377億元

?外部需求分別增加1個單位時，總產出分別增加C=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.2167

部門關聯系數

當對農業的需求增加1個單位時,農業、制造業、和服務業的總產出分別增加1.3459，0.5634，0.4382單位

?模型可行若問題2.2輸電網絡一種大型輸電網絡可簡化為電路

負載電阻線路內阻電源電壓V

負載電流?列出各負載上電流的方程?設

?討論情況n=10,求

及總電流分析?記

上的電流為根據電路中電流、電壓關系,列出消和求電流方程

?

求電流方程

?

其中MATLAB計算電流程序

r=1;R=6;v=18;n=10;b1=sparse(1,1,v,n,1);b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n));a2=diag(R*ones(1,n));a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3;I=a\b;I0=sum(I)k0123456789105.99706.00002.00052.00001.33441.33330.89070.88890.59550.59260.39950.39510.27020.26340.18580.17560.13240.11710.10110.07800.08670.0520k111213141516171819200.03470.02310.01540.01030.00690.00470.00320.00230.00180.0015說明從n=10到n=20，I0幾乎不變，I1-I5變化也很小

Ik+1差不多是Ik的2/3倍如果n增加到50,100?

可以得到類似的結論

證明Ik+1是Ik的2/3倍習題：種群的繁殖與穩定收獲種群的數量因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對于人工飼養的種群（比如家畜）而言，為了保證穩定的收獲，各個年齡的種群數量應維持不變.種群因雌性個體的繁殖而改變，為方便起見以下種群數量均指其中的雌性.種群年齡記作當年年齡的種群數量記作，繁殖率記作（每個雌性個體一年繁殖的數量），自然存活率記作為一年的死亡率），收獲量記作，則來年年齡的種群數量應為（1）若已知，給定收獲量，建立求各年齡的穩定種群數量的模型（用矩陣、向量表示）。（2）設如要求為500，400，200，100，100,求。（3）使均為500，如何達到?解：（1）

為了保證穩定的收獲，各個年齡的種群數量應維持不變。因此則，即§3概率統計相關模型問題3.1合金強度與碳含量合金的強度y(kg/mm)與其中的碳含量x(

%)有比較密切的關系，從生產中收集一批數據.求擬合函數y(x)，再用回歸分析進行檢驗.x0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23y42.041.545.045.545.047.549.055.050.055.055.560.5分析描點作圖?y與x近似為線性,擬合y=ax+b.MATLAB程序

x=0.1:0.01:0.23;x=[x(1:9),x(11:12),x(14)];y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5];pp=polyfit(x,y,1);xx=0.08:0.01:0.25;yy=polyval(pp,xx);plot(x,y,'r*',xx,yy)

擬合y=ax+ba=140.6194,b=27.0269

評注?是否線性顯著

?有無異常點?預測

程序hejinpolyMATLAB統計工具箱

多元線性回歸?b=regress(Y,X)

?[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)Y,X為按列排列的數據說明b,bint為回歸系數估計值和他們的置信區間

alpha為顯著性水平（缺省時設定為0.05）stats包括R2，F，P值r,rint為殘差及置信區間，可用rcoplot(r,rint)畫圖

合金強度與碳含量問題回歸模型

?回歸模型與統計檢驗

MATLAB程序

x1=0.1:0.01:0.18;x=[x10.20.210.23]’;y=[4241.54545.54547.54955505555.560.5]’;x=[ones(12,1)x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

b=27.0269140.6194bint=22.322631.7313111.7842169.4546stats=0.9219118.06700.0000

y=27.0269+140.6194x線性顯著模型成立

?有無異常點畫殘差分布圖除第8個數據外其余殘差的置信區間均包含零點第8個點應視為異常點，剔除后重新計算，可得

b=26.8968139.9043bint=24.133029.6606122.7939157.0148stats=0.9744342.12590.0000程序hejinre問題3.2年齡與運動能力將17至29歲的運動員每兩歲一組分為7組，求年齡對這種運動能力的影響關系.多項式回歸

年齡

17192123252729第一人

20.4825.1326.1530.026.120.319.35第二人

24.3528.1126.331.426.9225.721.3分析MATLAB散點圖程序

每組兩人測量其旋轉定向能力.x=17:2:29;y1=[20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35];y2=[24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3];plot(x,y1,'+',x,y2,'+')axis([15301535])

應擬合一條二次曲線可利用ployfit一元多項式回歸年齡與運動能力的二次模型MATLAB程序

x1=17:2:29;x=[x1,x1];y=[20.4825.1326.1530.026.120.319.3524.3528.1126.331.426.9225.721.3];[p,S]=polyfit(x,y,2);p

p=-0.20038.9782-72.2150a1=-0.2003a2=8.9782a3=-72.2150S是一個數據結構[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y得到x與y的擬合效果求解程序duo1統計檢驗y1=mean(y);rsquare=sum((Y-y1).^2)./sum((y-y1).^2),s=sqrt(sum((y-Y).^2)./12),rsquare=0.6980s=2.0831衡量擬合優劣的指標

問題3.3商品銷售量與價格某廠生產電器的銷售量y與競爭對手的價格x1和本廠的價格x2有關.在10個城市的銷售記錄?建立y與x1和x2的關系式

x1元120140190130155175125145180150x2元10011090150210150250270300250y個10210012077469326696585分析?對模型和系數進行檢驗?若本廠售價160元，對手售價170元，預測銷售量.畫散點圖

y與x2有較明顯的線性關系，而y與x1之間的關系則難以確定，作幾種嘗試，用統計分析決定優劣.設回歸模型?MATLAB程