3.1誤差的基本知識

誤差定義：=|-x|或r=|-x|/

測量值x與真值之差稱為誤差。由于真值不可知,

故誤差不可知，所以測量都是對真值的近似描述。多用相對真值（理論值、約定真值、算術平均值）代替真值，并從統計的角度估算誤差的大小。**誤差存在一切測量之中。它的大小反映了人們的認識接近客觀真實的程度。誤差來源：由系統誤差和偶然誤差兩部分組成。（1）系統誤差：來源于測量系統的不完善(如:儀器、方法、環境等)，使x偏離。

特點:以恒定偏大（小）或周期性形式出現。

消除方法:針對產生的原因加以消除。（2）偶然誤差：由大量微小干擾因素產生的，使x偏離

如讓n個同學依次測某人身高X，得(X1、X2、……Xn)，但不能保證X1X2

……

Xn。再次測量得(X'1、X'2、……X'n)，除不能保證X'1X'2……

X'n外，還不能保證X1=

X'1、

X2=

X'2

……Xn=X'n。若X1=X1ˉ+，……，Xn=

Xn

ˉ。因X可正，可負，可為零。這表明：

偶然誤差的特點：隨機性。

消除方法：因X可正，可負，可為零，多次測量可以減小偶然誤差。

X(長度值)1.011.021.031.041.051.061.071.081.091.101.11N(相同值出現的次數)13610151184321對某一長度X測量了64次，其數據如下：概率分布圖n=64當n

時，反應x值出現次數的值n(x)變成連續函數，即多次測量服從正態分布：單峰；有界；近似對稱和正、負相消的特點。可用正態分布函數來描述。f(x)xi正態分布曲線多次測量服從正態分布：單峰；有界；近似對稱和正、負相消的特點?？捎谜龖B分布函數來描述。

23其幾何意義為分布曲線的寬度。曲線的總面積為1，在范圍內包含68.3%的面積；2范圍內包含95.4%的面積；3范圍內包含99.7%的面積；而3范圍以外，僅包含了0.3%的面積。大部分測量值分布在由決定的范圍內。f(x)X

不同，表明偶然誤差的影響不同。 分布為1的曲線其測量值離散性大些，分布為2的曲線測量值相對集中些，表明前者偶然誤差的影響要大。

可用來描述偶然誤差的大小。

f(x)2X在實際中，我們對物理量的測量都是有限次測量，偶然誤差對測量值的影響，是通過標準偏差S來估算的。偏差=|平均值–測量值|

=|

–

|（3）偶然誤差的估算：

在有限次測量條件下，我們可用S對偶然誤差進行估算。由公式知，S從統計的角度反映了平均值和某一次測量值X之間的偏離程度，稱為測量列的標準偏差，簡稱測量列的標準差。統計解釋：數據列中任一值X出現在（S）區間的概率為68.3%?？勺C明：當n時，S但在測量時，我們更關心、且經常利用測量列平均值X的標準差S來估算平均值與真實值之間的偶然誤差。在XS范圍內有68.3%的可能包含了真值;在X2S范圍內有95%的可能包含了真值;在X3S范圍內有99.7%的可能包含了真值;在X3S范圍外,僅有0.3%的可能包含了真值。3S稱為誤差的極限，也叫壞值剔除的標準。標準差公式推導:有一組測量值,，各次測量值的誤差為兩邊求和取平均得：或代入偏差定義式，得：兩邊平方求和得：因為在測量中正負誤差出現的概率接近相等，故展開后，交叉項為正為負的數目接近相等，彼此相消，故得：因而即等式右邊若取n→∞時的極限，即是標準誤差σ的定義式。等式左邊是任意一次測量值的標準偏差，記作σx即

它表示測量次數有限多時，標準誤差σ的一個估算值。

物理意義：如果多次測量的偶然誤差遵從正態分布，則任意一次測量的誤差落在-σx到+σx區域之間的可能性（概率）為68.3%?；蛘哒f，它表示這組數據的誤差有68.3%的概率出現在-σx到+σx的區間內。又稱測量列的標準偏差。

同樣可以得到算術平均值的標準偏差即

物理意義：真值處于區間內的概率為68.3%。（4）系統誤差的估算(只考慮儀器產生的系統誤差)

由儀器的極限誤差來估算系統誤差。極——儀器在使用時所能產生的最大誤差范圍。可由如下三種途徑獲?。?/p>

1）由儀器說明書查詢

2）無法查詢時可按最小刻度一半考慮

3）指針式電表：極＝量程等級%

系統誤差的估算：U儀=極/CC為置信系數對誤差均勻分布的儀器，通常等刻度儀器，C取,米尺、儀表均是這種情況;對誤差服從正態分布的儀器（如數顯表）C取3。等差細分類儀器:

U儀卡尺=0.02mm;U儀分光計=1′指針式電表：U儀電表=極電表=（量程等級%）

U儀米尺

U儀千分尺

秒表：

U