均勻設計和均勻設計軟件UniformDesignandit’sSoftware王玉方2003年6月16日報告的主要內容均勻設計的概念、特點、原理均勻設計的具體應用方法均勻設計軟件關鍵詞均勻設計

UniformDesign試驗法

Experimentation均勻設計軟件

UniformDesignSoftware1什么是均勻設計均勻設計的概念均勻設計的特點1.1均勻設計的概念

均勻設計(UniformDesign)是一種試驗設計方法(ExperimentalDesignMethod),稱為均勻設計(UniformDesign)或均勻設計試驗法(UniformDesignExperimentation)。所有的試驗設計方法本質上都是在試驗的范圍內給出挑選代表性點的方法，均勻設計也不例外，它是只考慮試驗點在試驗范圍內均勻散布的一種試驗設計方法。它由方開泰教授和數學家王元在1978年共同提出，是數論方法中的“偽蒙特卡羅方法”的一個應用。1.2均勻設計的特點

均勻設計遵從和具有試驗設計方法的共性及本質內容，它能從全面試驗點中挑選出部分代表性的試驗點，這些試驗點在試驗范圍內充分均衡分散，但仍能反映體系的主要特征。例如正交設計(OrthogonalDesign)是根據正交性來挑選代表點的，它在挑選代表點時有兩個特點:均勻分散，整齊可比。“均勻分散”使試驗點均衡地布在試驗范圍內，讓每個試驗點有充分的代表性,“整齊可比”使試驗結果的分析十分方便，易于估計各因素的主效應和部分交互效應，從而可分析各因素對指標的影響大小和變化規律。但是，為了1.2均勻設計的特點（續1）照顧“整齊可比”,它的試驗點并沒有能做到充分“均勻分散”;為了達到“整齊可比”，試驗點的數目就必須比較多(例如用正交表安排每因素為q個水平數的多因素試驗,試驗的次數為rq2,r為自然數)。均勻設計只考慮試驗點在試驗范圍內充分“均勻散布”而不考慮“整齊可比”,因此它的試驗布點的均勻性會比正交設計試驗點的均勻性更好，使試驗點具有更好的代表性。由于這種方法不再考慮正交設計中為“整齊可比”而設置的實驗點，因而大大減少了試驗次數，這是它與正交試驗設計法1.2均勻設計的特點（續2）的最大不同之處。采用均勻設計，每個因素的每個水平僅做一次試驗，當水平數增加時，試驗數隨水平數增加而增加，若采用正交設計，試驗數則隨水平數的平方數而增加。例如用正交設計需做961次5因素31水平的試驗，采用均勻設計只需做31次試驗，其效果基本相同。由于均勻設計不再考慮正交試驗的整齊可比性，因此其試驗結果的處理要采用回歸分析方法—線性回歸或多項式回歸分析。回歸分析中可對模型中因素進行回歸顯著性檢驗，根據因素偏回歸平方和的大小確定該因素對回歸的重要性；在各因素間無相關關系1.2均勻設計的特點（續3）時，因素偏回歸平方和的大小也體現了它對試驗指標影響的重要性。這些一般都要借助計算機才能完成。2均勻設計的原理均勻設計表和使用表各部分的含義均勻設計表的構造方法均勻設計表的使用表的產生方法混合水平均勻設計表的產生方法2.1均勻設計表和使用表各部分的含義均勻設計和正交設計相似，也是通過一套精心設計的表來進行試驗設計的。均勻設計表用Un(qs)或Un*(qs)表示,其中Ｕ代表均勻設計,ｎ代表要做的試驗次數,ｑ代表每個因素有ｑ個水平，ｓ代表該表有ｓ列，有＊和無＊代表的是用兩種不同類型的均勻設計表,＊類型表是由Un+1類型的表構造形成的，后面再具體說明其形成方法。以下用均勻設計表U11(116)、U9*(94)和它們各自的使用表介紹一下表的各部分代表的意義(表中未用列已經刪除)：均勻設計表U11(116)和它的使用表均勻設計表U11(116)U11(116)的使用表1234561234567891011123571024610393694108481967510432661789573102548527139751821098641111111111111S列號D2150.163231450.2649413450.35285123450.428661234560.4942說明：設計表中的列代表的是各因素的水平，但具體代表的是哪個因素的水平，需按使用表確定，使用表s一欄的數字是試驗的因素數，它后面的數字指定了各種因素數進行試驗時該如何選擇設計表的列；使用表中D欄代表不同因素數選擇設計表的不同列時均勻設計的偏差，偏差越小，均勻性越好，試驗成功的幾率和結果的可靠性越大。均勻設計表U9*(94)和它的使用表均勻設計表U9*(94)U9*(94)的使用表1234123456789137924683917428655556824719384629731s列號D2120.157432340.19802.2均勻設計表的構造方法用好格子點法(GoodLatticePoint)構造均勻設計表的方法如下：(1)定義試驗次數n,尋求比ｎ小的整數h,且使ｎ和ｈ的最大公約數為1,符合這些條件的正整數組成一個向量h=(h1,…,hm)；(2)均勻設計表的第ｊ列由uij=ihj[modn](同余運算)產生，若jhi超過n,則用它減去n的一個適當的倍數，使差落在[1,n]之中。uij可以遞推來生成：u1j=hj，ui+1,j=uij+hj(若uij+hj≤n)或者ui+1,j=uij+hj-n(若uij+hj>n)，這里i=1,…,n-1。2.2均勻設計表的構造方法（續1）用上述方法生成的表記作Un(nm),例如n=11時，可以形成象前面介紹的U11(116)表。向量h稱為該表的生成向量，可以將Un(nm)記成Un(h)。給定n,相應的h可以用上面的方法求得，從而m也就確定了，所以m是n的一個函數，稱為歐拉函數，記為E(n)。這個函數告訴我們均勻設計表最多可能有多少列。根據數論結果可知：(1)當n為素數時,E(n-1)=n-1;(2)當n為素數冪時,即n可表示成n=pl,這里p為素數,l為正整數，E(n)=n(1-1/p)，如n=9,可表為n=32,于是E(9)=9(1-1/3)=6,即U9最多可以有6列;(3)若n不屬于上述兩種情況，2.2均勻設計表的構造方法（續2）這時

n一定可以表示為不同數的方冪積，即：n=p1l1p2l2…psls,這里p1,…,ps

為不同的素數，l1,…,ls為正整數，這時E(n)=n(1-1/p1)…(1-1/ps),例如n=12可表為n=22×3,于是E(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三種情形中以n為素數時最好，最多可以有n-1列，非素數時表的結構中永遠不可能有n-1列，比如E(6)=2，則最多只能安排兩個試驗因素，為此,王元和方開泰建議，用

Un+1

表劃去最后一行構造形成新的Un*表，如U6*(66)可有6列之多。2.3均勻設計表的使用表的產生方法每個均勻設計表都規定了它的使用表，用于進行試驗各因素水平組合的具體安排。這樣做的原因是：從均勻設計表Un(nm)中選出

s列,

則可能的選擇有(ms)種，

但不同列組合起來所代表的點集的均勻性是不同的，所設計試驗的效果也是不同的，因而如何選用均勻設計表中的列必須引入一個判別表的均勻性好壞的準則。度量均勻性的準則很多,其中偏差(discrepancy)是使用歷史最久、最為廣泛接受的方法，均勻設計也同樣采用偏差來衡量其設計表的均勻性，偏差越小，則設計表的均勻性越好。2.3均勻設計表的使用表的產生方法（續1）由于這個報告的目的是向大家介紹這種試驗方法，而且關于偏差計算的內容也很多，因而關于均勻性偏差的計算方法和具體產生使用表的方法在此不做介紹（有特別需要者可以參見參考文獻[1]）使用者只需要按每個均勻設計表所附的使用表進行試驗安排即可。比如，欲進行一個３因素、每因素13水平的試驗，可以選用均勻設計表U13*(134)，使用表中推薦的列為1,3,4,則所有13次試驗時各因素的水平組合為：2.3均勻設計表的使用表的產生方法(續2)

均勻設計表U13*(134)和它的使用表及3因素時各次試驗的因素水平組合方式12341234567891011121315911210483113546825113136212107777812249311110861211131912410613953S列號D2

130.09623

1340.14424

12340.2076試驗次數序號因素1選用水平因素2選用水平因素3選用水平11911224833135448255131366121077778824991111010612111113912121061313532.4混合水平均勻設計表的產生方法上面介紹的是各試驗因素水平數相等情況下的均勻設計表，若各因素的水平數不等，則需要采用混合水平的設計表進行試驗設計。將均水平的設計表轉換為混合水平的表的方法可采用常用的擬水平法。一個試驗次數為n的設計表，試驗因素中某個或幾個因素的水平數不足n,為m(n必須為m的整數倍),則將設計表中代表該因素的水平合并，具體的合并方法是：設i為該試驗因素的第i水平(i=1,2,…,n)，將i從小到大分成m組，每組有n/m個i,用i所在的組的數值

m代替設計表中的

i,這樣就形成了混合水平設計表混合水平的設計表的例子如下：2.4混合水平均勻設計表的產生方法(續1)

用U10*(108)產生3因素的U10(10×52)的過程

用U11構造U10→計算出U10中的3列→形成擬水平均勻設計表U10(10×52)

1234567891012345678910111234567891024681013579369147102584815926103751049382716617283941057310629518485210741963975311086421098765432111111111111111111111359123456789103596107945193431781010282765148621231234567891033565492315242174510142435128313均勻設計的應用方法試驗設計的共性問題均勻設計的應用方法具體問題的解決方法3.1試驗設計的共性問題試驗設計（如正交試驗設計、回歸正交試驗設計、旋轉設計、D-最優設計等）過程必然離不開試驗基礎內容的構思（試驗的評價指標；試驗的因素、水平的選擇和試驗次數的擬定）、試驗結果數據的分析等共性方面的問題。試驗的因素和水平的選擇關系到一個試驗能否成功的關鍵，下列的注意事項和建議對使用試驗設計（當然也包括均勻設計）的人員應該是有益的：3.1試驗設計的共性問題（續1）（1）因素的含義：在一個試驗過程中，影響試驗指標的因素通常是很多的，通常固定的試驗因素在試驗方案中并不稱為因素，只有變化的因素才稱為因素；（2）關于因素數量：在一項試驗中，因素不宜選得太多(如超過10個)，那樣可能會造成主次不分；相反地，因素也不宜選得太少（如只選定一、二個因素），這樣可能會遺漏重要的因素，或遺漏因素間的交互作用，使試驗的結果達不到預期的目的；3.1試驗設計的共性問題（續2）（3）關于各因素的水平范圍：試驗水平范圍應當盡可能大一點。如果試驗在實驗室進行，試驗范圍大比較容易實現；如果試驗直接在生產中進行，則試驗范圍不宜太大，以防產生過多次品，或產生危險。試驗范圍太小的缺點是不易獲得比已有條件有顯著改善的結果；（4）關于因素的水平數：若試驗水平范圍允許大一些，則每一因素的水平個數最好適當多一些；3.1試驗設計的共性問題（續3）（5）關于因素的水平間隔：水平間隔的大小和生產控制精度是密切相關的。如不切實際地降低試驗的水平間隔，在試驗范圍確定了的情況下必然會引起試驗次數的增加；而因素水平間隔太大，其試驗結果的中不確定性成分也必然增加；（6）因素和水平的含意可以是廣義的：例如五種棉花用于織同一種布，要比較不同棉花影響布的質量的效應，這時“棉花品種”可設定為一個因素，五種棉花就是該因素下的五個水平。3.2均勻設計的應用方法均勻設計的具體應用過程一般分以下六個步驟：(1)確定試驗指標、因素、因素水平范圍和因素水平數（這是關系到試驗成功與否的關鍵）；(2)選擇合適的均勻設計表建立分次試驗的具體因素水平組合；(3)執行分次試驗并取得每次試驗的指標值；3.2均勻設計的應用方法（續1）(4)用分次試驗的指標值和取得該指標值的各因素水平值建立試驗指標—各因素水平關系的回歸模型（這也是均勻設計中的最重要的環節之一)；(5)成功地建立了回歸模型后在各試驗因素的試驗范圍內尋找最佳的各因素水平組合并進行該組合的驗證試驗（也可和步驟６一起進行)；(6)驗證試驗成功則進一步縮小各因素的試驗范圍，重新選擇均勻設計表（即從步驟２開始）進行各因素范圍縮小和水平劃分更為細致的新的一輪的試驗，進一步尋找最優試驗條件組合。一般情況下，此次最優條件即為整個試驗的最優條件，試驗結束。3.3具體問題的解決方法試驗次數問題設計表的選擇回歸模型建立回歸模型優化試驗參數優化使用均勻設計時需要注意的其它問題3.3.1試驗次數問題均勻設計的最大特點是試驗次數等于因素的最大水平數，而不是平方的關系，試驗次數與被考察的因素的個數有關，建議試驗次數選為因素數的３倍左右為宜，這樣選擇的均勻設計表的均勻性好，也有利于以后的建模和優化。3.3.2設計表的選擇選擇均勻設計表需要注意以下幾點：(1)要滿足試驗次數的要求：即確定Un表n的問題，關于這一點，見前面的建議；(2)表的列數要滿足試驗因素數的要求：如U6(62)表和U6*(66)表，雖然

n值相同，可前者有２列，只能安排２因素試驗，而后者最多卻可以安排４因素試驗。(3)Un*表比Un表有更好的均勻性，在確定了試驗次數n的情況下,若Un*表也能滿足因素數的要求，應優先采用Un*表：Un*表是由Un+1表劃去最后一行3.3.2設計表的選擇（續）得到的，若n為偶數，Un*表比Un表有更多的列，若n為奇數,則Un*表的列通常少于Un表。(4)Un*表比Un表更容易安排試驗：

Un表的最后一行全部由ｎ組成，而Un*表則不然。例如在化工反應中，若所有因素的水平都按一個方向排列，則在表的最后一行的所有因素的水平值不是最高就是最低，所有高水平組合很容易出現反應過分劇烈甚至爆炸，所有低水平組合則可能出現反應異常甚至不能進行的現象。3.3.3回歸模型建立回歸模型可分為線性回歸模型和非線性模型等。

線性回歸模型分為一元線性回歸模型和多元線性回歸模型。(1)一元線性回歸模型模型為y=a+bx,線性相關的程度常用相關系數來衡量，在某一顯著性水平α下，當相關系數的絕對值大于相關系數臨界值時才可以認為x和y有線性相關關系。注意：回歸模型不等于回歸方程，回歸方程只是回歸模型中的表達方式的部分，一個完整的模型的表述，包括它的數學表達部分—回歸方程，還有因素的組成、因素范圍和置信水平、隨機誤差等內容，本文論述中為了直觀的原因，可能將“回歸方程”表述為“回歸模型”。

線性回歸模型（續）(2)多元線性回歸模型當影響因變量ｙ的自變量不止一個時，比如有ｍ個x1,…,xm

這時ｙ和ｘ之間的線性回歸方程為：y=a+b1x1+b2x2+,…,+bmxm,其回歸顯著性檢驗一般用Ｆ檢驗，方程中各項在回歸中的重要性用該項的偏回歸平方和進行判定。由于其回歸系數的求解需要解用來確定回歸系數的的方程組--正規方程，通常情況下僅此一項工作就導致分析過程中需要進行大量的計算，在方程項數很少的情況下還可以通過人工方式在可接受的時間內完成，否則一般都要借助計算機才能完成。

非線性回歸模型一般分為二次型回歸模型、多項式回歸模型等。(1)二次型回歸模型由于因素間常有交互作用，那么前面的回歸模型就不足以反映實際，于是二次型回歸模型常常為人們所采用。若有m個因素則二次型回歸模型為：回歸方程中的項數為m(m+3)/2，若使回歸系數的估計成為可能，則需要試驗次數n>1+m(m+3)/2，因此進入方程的變量必須經過篩選，如采用前進

非線性回歸模型（續1）法、后退法、逐步回歸法或最優子集法等進行變量的篩選。其回歸系數求解可經過方程項的轉換按多元線性回歸的方法完成。(2)多項式回歸模型一般地，包含多變量的任意多項式可表述為：可通過類似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22

的變換，將其按多元線性回歸分析。多項式回歸在回歸分析中占特殊地位，因為任何函數至少在一

非線性回歸模型（續2）個比較小的鄰域內可用多項式任意逼近，因此在比較復雜的的實際問題中，可以不問ｙ與各因素的確切關系如何，而采用多項式進行分析（一次多項式是多項式的特例）。在多項式回歸模型中，常用的子模型結構如下：

非線性回歸模型（續3）（1）對數(Logarithm)：包括自然對數、常用對數和以n為底對數，數學表達式分別為Ln(x)、Lg(x)、Logn(x)[以下將“數學表達式”和“函數”類的語句省略]（2）冪(Power)：整數次冪、非整數次冪，xn（3）倒數(Reciprocal)：1/x（4）三角函數(Trigonometricfunction)、反三角函數(Inversetrigonometricfunction)(涉及力學領域等常用，比如工件的切割、彈道軌跡等),包括有：正弦

Sin(X)、余弦

Cos(X)、正切

Tan(X)、余切

Cotan(X)、正割

Sec(X)、余割

Cosec(X)、雙曲正弦

HSin(X)、雙曲余弦

HCos(X)、雙曲正切

HTan(X)、雙曲余切

HCotan(X)、雙曲正割

HSec(X)、雙曲余割

HCosec(X)、反正弦

Arcsin(X)、反余弦

Arccos(X)、反正切

Atn(X)、反余切

Arccotan(X)、正割：Arcsec(X)、反余割：Arccosec(X)、反雙曲正弦：HArcsin(X)、反雙曲余弦：HArccos(X)、反雙曲正切：HArctan(X)、反雙曲余切：HArccotan(X)、反雙曲正割：HArcsec(X)、反雙曲余割：HArccosec(X)。（5）冪指數：anx

回歸模型建立回歸模型的建立過程在很大程度上需要結合專業知識和經驗。雖然試驗者正在用均勻設計研究的某個問題的未知因素很多，也可能有些問題是試驗者全然不知道的（就象試驗者在未建立回歸模型前肯定不知道模型的具體形式一樣),但試驗者在試驗中所采用具體試驗實施操作肯定是和各種專業緊密相關的，只要試驗者思考一下，哪個因素在什么時間、什么過程參加了什么反應，以及對試驗的指標有何影響（有些時候可以比較明確地指出這個因素對試驗指標的影響，而有些時候就不能斷言),那么試驗者只要尋著這樣一個

回歸模型建立（續1）思路考慮，肯定可以找出在模型中應該添加或不添加某個模型組成項的依據。下面用一個例子來說明建模的思路和過程：例子：為研究石墨爐原子吸收分光光度計法測定微量元素鈀的工作條件，確定了灰化溫度x1、灰化時間x2、原子化溫度x3和原子化時間x4四個因素，其試驗評價指標為吸光度。由原子化機理可知，灰化溫度和原子化溫度對吸光度的的影響可擬合為二次函數，即在模型中應該有x12和x32項,這兩個因素發生在不同時間，因而不存在交互作

回歸模型建立（續2）用,x1x3項可不列為考察目標。灰化時間和原子化時間對試驗指標的影響比較復雜，也可用二次項逼近，忽略它們的交互作用，方程中應該有x22、x42項。因為還只是根據專業知識和經驗進行推斷，具體每個因素對結果的影響到底如何還屬未知，那么，各因素的一次項理所當然也參加進方程中，這樣就可以擬定出一個y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x12+b6x22+b7x32+b8x42的原始的多項式回歸模型。至于這個模型的表達效果到底如何，暫時可以不用理會，只是試驗者

回歸模型建立（續3）已經按照專業知識和經驗擬定出一個有明確意義的回歸模型了！接下來就是用多元回歸分析的方法，進行模型的計算和按照一定的顯著性水平對模型有效性及模型中各組成項的顯著性進行檢驗的過程了，可以計算出原始模型的各回歸系數分別為：b0=3.836×10-1；b1=1.001×10-5；b2=-3.324×10-3；b3=-3.529×10-4；b4=1.421×10-2；b5=-3.584×10-8；b6=4.034×10-5；b7=9.852×10-8；b8=-1.076×10-3。對模型進行回歸顯著性檢驗，其Ｆ檢驗值為66.620,臨界值Ｆ0.05(8,3)=8.8452，高度顯著性，復相關系數達到0.9972。3.3.4回歸模型優化若對上面例子中列入回歸方程中的項按某一顯著性水平（本例中取α=0.05)逐個進行顯著性檢驗，就可以發現，x1、x22、x3、x4及x42對回歸無顯著作用，將它們從模型中剔除，則可以確立如下的回歸模型：y=b0+b1x2+b2x12+b3x22+b4x32回歸系數分別為：b0=-5.35×10-2；b1=-3.05×10-3；b2=-3.14×10-8；b3=3.53×10-5；b4=3.42×10-8。對模型進行回歸顯著性檢驗，其Ｆ檢驗值為184.38，臨界值Ｆ0.05(4,7)=4.1203,同樣高度著，3.3.4回歸模型優化（續1）復相關系數為0.9972。這樣就成功地建立了一個去偽存真的精簡的更能真實地表達因素和指標間關系的回歸模型。觀察上面的回歸模型，我們還可以發現，原子化時間

x4這個試驗因素在回歸模型中沒有出現，證明它是一個對試驗指標影響不顯著的因素，在后續的進一步的試驗條件優化過程中，我們完全可以放棄對這個因素的觀察，只將它保持在普通狀態，使之成為一個靜態的“因素”而將它從真正對試驗起顯著作用的行列中剔除，這樣就減輕了3.3.4回歸模型優化（續2）試驗的負擔，也進一步降低了試驗的誤差。若在其它試驗中通過回歸模型優化后同樣發現了不顯著因素，而它又是個實際消耗資源的因素，那么模型優化的意義則更加顯著了。3.3.5試驗參數優化建立了回歸模型后，如何在試驗范圍內找到最好的試驗因素組合？這就是所謂的參數優化(或稱為試驗優化)需要解決的問題了。需要補充說明的是，之所以是在試驗范圍內，是因為回歸分析方法所建立的模型在試驗范圍內有效，不能說在擴大了范圍的情況下它還是有效的（有時，根據具體情況做適當的外推是可以的，但也僅僅是限定在根據每個試驗的具體情況，這是個經驗，一般正式的學術方面的書籍或文獻在論述這個問題時或不提倡外推或允許適度外推),否則外推則是在冒險。3.3.5試驗參數優化（續1）

多元函數

f(x1,x2,x3,,,,xn)描述的是在多維空間中的一個響應面，求響應面極值的方法有很多，如間接的微分法、幾何規劃法、直接消去法、直接爬山法以及因素輪換法等，限于時間和篇幅，這里僅對微分法求函數極值進行簡單的介紹，更詳細的內容和其它方法見參考文獻[5]或自行參考任何微積分或相關方面的書籍。若求得了函數的多個極值(極小值或極大值)，那么將這些極值在函數的全域范圍內進行比較，則可以得到我們想要的最大值或最小值，該極值點處各變量的值則是我們尋找的試驗條件的最優值。3.3.5試驗參數優化（續2）間接的微分法將尋求目標函數最優值的問題間接地歸結為解它的一階導數為零的方程組，即將函數按各自變量求一階偏導數并使其等于零，解由此組成的方程組即可找到函數的極值點，將極值點的各變量值代入函數中即可求得函數極值（極值分極大值和極小值，但不對等于最大值或最小值),下面給出一個此方法的例子：3.3.5試驗參數優化（續３）函數

y=1×103x1+4×109x1-1x2-1+2.5×105x2,其中0≤x1≤2200，0≤x2≤8。令函數關于x1和x2的兩個一階偏導數都為零,這樣得到兩個聯立方程：解此聯立方程，求得唯一的極值點，即得x1=1000，x2=4，

函數極值為y=3×106,

是極大值還是極小值呢？函數的限定條件是0≤x1≤2200，0≤x2≤8，3.3.5試驗參數優化（續４）很明顯，這幾個系數都是正數，變量取值范圍也都非負，而極值點的變量的值不是取各自的最大值，因此這個極值是極小值，因為函數在此區間上僅有一個極值點，所以這個極值點的值也是此函數區間上的最小值。這是最簡單且快速的適合用手工方法求解函數極值的方法。關于求函數極值和試驗最優條件的求解，許多已知的軟件也可以做這方面的工作，比如MatLab(MatrixLaboratory)等等。上面介紹的是求函數極值的一種方法，當然，在實際中，任何均勻設計專門軟件都可以將這個過程自動完成而不需要使用者自行通過類似的手工計算的方式求解試驗最優條件。3.3.6使用均勻中需要注意的問題

最優條件在試驗范圍邊界上的問題若試驗優化后發現個別因素的最優條件在其試驗范圍的邊界上，那么一般說來這是一個試驗范圍不足的信號，這一點，在初次大范圍的試驗結束并進行了首次試驗優化后就應該發現，無論如何也不應該在全部試驗都結束了才察覺到它，否則您找的最優試驗條件則是真真正正的“局部最優”條件了。出現了這種現象，解決的辦法一般是在進一步的試驗中大力縮小該因素另外一端的范圍而適

最優條件在試驗范圍邊界上的問題(續)當加寬不足一邊的試驗范圍。之所以是適當加寬，還是前面提到的模型適用范圍的問題，因為進一步優化的基礎是試驗者承認了先前的那個試驗范圍條件下建立的模型，而偏偏個別因素最優值在邊界上，實在是有進一步探詢的必要。否定先前的模型是沒有根據的，放棄模型不用更是不應該的，欲發現真正的最優試驗條件，調整試驗范圍是必須的。Ｆ檢驗給出的顯著性與否是判斷回歸模型是否有效的當然依據，一般情況下，回歸平方和與剩余平方和的比值越大，則模型的可信度愈高，表現在復相關系數或相關系數上，R2

數值就越大（一元線性回歸分析常用相關系數表述相關關系的大小，且R值可正可負）,但是建模的過程中，我們不能簡單地追求高的回歸平方和與剩余平方和的比值（或大的R2

值),模型的建立一定要根據專業的知識進行，數理統計中一個重要的概念是自由度，若選進方程中的項過多，使誤差自由度為１甚至為０，雖然R2

更加接近于1,模型看上去

模型好壞的判斷標準的問題

模型好壞的判斷標準的問題（續）很完美，但這時有關的結論的可靠性是很差的。一般應保持誤差自由度（即剩余平方和自由度)≥5，這也就是為什么主張選用ｎ值大一些的設計表進行設計或有前面的“試驗次數選為因素數的３倍左右為宜”觀點的原因了。以上是對均勻設計原理和應用方法等的簡單介紹，大家只要按著這樣的一條線索記憶就可以了：表的含義→安排試驗→回歸建模→參數尋優→繼續試驗→最優條件。因為均勻設計方法需要專門的計算機軟件的支持，下面簡要介紹一下均勻設計軟件方面的內容。4均勻設計軟件對均勻設計軟件基本功能的要求均勻設計方面軟件的介紹均勻設計軟件功能的介紹4.1對均勻設計軟件基本功能的要求1、遵循均勻設計基本原理，必須產生可見的能夠用于指導試驗者進行試驗安排的均勻設計表；2、必須能對試驗者的原始設計數據根據均勻設計表進行排列并產生供試驗者進行試驗的試驗方案；3、程序必須具備回歸模型建立和模型優化功能的模塊；4、必須具備試驗最優條件判定功能的模塊。下面簡單闡述一下這幾個“必須”的理由：4.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續1)(1)之所以要求產生可見的均勻設計表，是便于用戶對試驗設計進行綜合的考慮，對用戶更加深入地理解均勻設計亦有好處；(2)作為均勻設計的軟件，試驗方案的建立必須在用戶輸入了原始設計數據后由系統自動生成，試驗方案的輸出可以是多樣的，但在當前階段，必須包括可以由打印機打印的輸出方式；(3)均勻設計對試驗數據的分析采用回歸分析方法進行，而且用均勻設計方法設計的多是多因素、多水平的試驗，其數據計算量非常巨大，這個工4.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續2)作必須由計算機完成。再者，均勻設計是一種通用的試驗法，它的建模功能必須強勁，為適應多項式回歸分析，其函數功能必須豐富，保證滿足建立復雜和特殊模型的需求，這樣才能滿足各門類科學研究的需要；模型優化功能也是必需的，沒有模型優化功能，用戶所建模型的可信度就不好評價(主要是列入模型中的項和因為方程項的過多引入而導致誤差自由度降低進而導致Ｆ檢驗結論的可靠性下降的問題)。4.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續３)(4)試驗條件優化是給出最優試驗條件的過程，在均勻設計專門軟件中應該是必不可少的，軟件應該具備根據回歸模型自動給出試驗范圍內各因素的最優條件組合以獲取最優試驗指標的功能，不應該要求用戶通過第三方軟件或手工計算的方式來實現。4.2均勻設計方面軟件的介紹根據幾年來我對與均勻設計方面的有關軟件的跟蹤和調查，到目前為止，已知的這方面的專業軟件有“均勻設計軟件包(UST40)”，對于這個軟件的前身，方開泰教授在其專著[1]中也曾經提過，該軟件于1990年開始研制，1994年正式推出，作為均勻設計創始人之一的方開泰教授給這個軟件以很高的評價，1994年４月４日的題詞稱其為“構思精巧，面向實際，菜單管理，方便使用。分析細膩，國內屈指，包裝考究，水平國際”;1998年推出的UST4.0版本的均勻設計軟件包是一個可在Windows95/98的MS-DOS環境下運行的中文軟件，需要漢字輔助系統(如“成然CCDOS97”)的支持,“軟件的主要功能有：均勻設計、數據輸入、建立模型和參數優化四部分”。新增加功能有“在數據處理中增加了取對數和指數的變換”。4.2均勻