廣東省東莞市樟木頭職業中學2021-2022學年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（

）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C原式

2.已知圓和兩點．若圓C上存在點P，使得，則m的最大值為()A．7

B．6

C．5

D．4參考答案：B3.在實數集R中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數排了一個“序”，類似的，我們在平面向量集上也可以定義一個稱“序”的關系，記為“＞＞”.定義如下：對于任意兩個向量當且僅當“”或“”.按上述定義的關系“＞＞”，給出如下四個命題：

①若；

②若；

③若，則對于任意；

④對于任意向量.

其中正確命題的個數為A、1個B、2個C、3個D、4個參考答案：C4.在等腰梯形中，分別是底邊的中點，把四邊形沿直線折起，所在的平面為，且平面，，設與所成的角分別為均不為0．若，則點的軌跡為（

）A．直線

B．圓

C．橢圓

D．拋物線參考答案：B如圖，連接易知，由，可得，故定值，且此定值不為1，故點的軌跡為圓。（到兩定點的比為不為1定值的點的軌跡為圓――――阿波羅尼斯圓）5.在銳角中，角所對的邊長分別為.若

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A6.某地實行高考改革，考生除參加語文，數學，外語統一考試外，還需從物理，化學，生物，政治，歷史，地理六科中選考三科，要求物理，化學，生物三科至少選一科，政治，歷史，地理三科至少選一科，則考生共有多少種選考方法（）A．6 B．12 C．18 D．24參考答案：C【考點】排列、組合的實際應用．【分析】根據題意，分2種情況討論：①、從物理，化學，生物三科中選2科，從政治，歷史，地理三科中選1科，②、從物理，化學，生物三科中選1科，從政治，歷史，地理三科中選2科，分別求出每一種情況下的選法數目，由分類計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①、從物理，化學，生物三科中選2科，從政治，歷史，地理三科中選1科，則有C32?C31=9種選法；②、從物理，化學，生物三科中選1科，從政治，歷史，地理三科中選2科，則有C32?C31=9種選法；則一共有9+9=18種選考方法；故選：C．【點評】本題考查排列、組合的應用，分類討論注意不能有重復和遺漏的情況．7.設集合，若M?N，則實數a的取值范圍是（）A．0≤a≤2 B．0≤a C．2≤a D．a≤2參考答案：C【考點】18：集合的包含關系判斷及應用．【分析】由2x﹣x2≥0，解得M=[0，2]．根據M?N，即可得出a的取值范圍．【解答】解：由2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2．∴M=[0，2]．∵M?N，∴2≤a．故選：C．8.從{1,2,3,…,10}中選取三個不同的數,使得其中至少有兩個相鄰,則不同的選法種數是（

）A．72

B．70

C．66

D．64參考答案：D9.（11）已知橢圓的左焦點為F（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B10.已知的值是（

）

A．

B．-

C．- D．參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形，則此橢圓的離心率為_______.參考答案：12.在中，角的對邊分別為，若，，的面積，則邊長為

．參考答案：5略13.已知集合A={2，0，1，7}，B={y|y=7x，x∈A}，則A∩B=．參考答案：{0，7}【考點】交集及其運算．【分析】將A中元素代入y=2x﹣1中求出y的值，確定出B，求出A與B的交集即可．【解答】解：將x=0代入y=7x得：y=0；將x=2代入y=7x得：y=14；將x=1代入y=7x得：y=7；將x=7代入y=7x得：y=49；將x=5代入y=2x﹣1得：y=9，∴B={0，7，14，49}，則A∩B={0，7}．故答案為：{0.7}14.已知函數f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上為單調減函數，則實數m的取值范圍為．參考答案：m≤0或m≥2考點：函數單調性的判斷與證明．專題：函數的性質及應用．分析：通過討論判別式△的范圍，得到不等式組，解出即可．解答：解：判別式△=m2﹣8m+12=（m﹣2）（m﹣6），①當△≤0時，即2≤m≤6時，函數f（x）≤0恒成立，∴|f（x）|=﹣f（x）=x2﹣（m﹣2）x+m﹣2，對稱軸方程為：x=，∴當≥0即m≥2時符合題意（如圖1），此時2≤m≤6；②當△＞0時，即m＜2或m＞6時，方程f（x）=0的兩個實根為x=，不妨設x1＜x2，由題意及圖象得x1≥0或，即m﹣2≥（如圖2）或（如圖3）解得m≥2或m≤0，此時m≤0或m＞6，綜上得m的取值范圍是：m≤0或m≥2；故答案為：m≤0或m≥2．點評：本題考查了函數的單調性問題，考查了數形結合思想，分類討論思想，是一道中檔題．15.在△ABC中，D為BC上靠近B點的三等分點，連接AD，若=m+n，則m+n=

．參考答案：1【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】利用向量的三角形法則和向量共線定理即可得出．【解答】解：=+=+=+（﹣）=+，∵=m+n，∴m=，n=，∴m+n=1，故答案為：116.已知函數y=Asin(wx+j)（A>0,w>0）的部分圖象如圖所示，則此函數的最小正周期為

▲

．參考答案：p

略17.△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列，若sinB=，cosB=，則a+c的值為．參考答案：3【考點】余弦定理．【分析】由a，b，c成等比數列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，從而求得（a+c）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b，c成等比數列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案為：3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，證明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）參考答案：略19.（16分）已知橢圓，動直線l與橢圓交于B，C兩點（B在第一象限）．（1）若點B的坐標為（1，），求△OBC面積的最大值；（2）設B（x1，y1），C（x2，y2），且3y1+y2=0，求當△OBC面積最大時，直線l的方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）直線OB的方程為：y=x，即3x﹣2y=0，設經過點C且平行于直線OB的直線l′方程為：y=x+b．則當l′與橢圓只有一個公共點時，△OBC的面積最大．此時直線與橢圓相切．（2）直線l與y軸不垂直，設直線l的方程為：x=my+n，與橢圓方程聯立化為：（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12=0，利用根與系數的關系及其3y1+y2=0，可得n2=．則S△OBC=?|y1﹣y2|=2|n||y1|==．進而得出結論．【解答】解：（1）直線OB的方程為：y=x，即3x﹣2y=0，設經過點C且平行于直線OB的直線l′方程為：y=x+b．則當l′與橢圓只有一個公共點時，△OBC的面積最大．聯立，化為：3x2+3bx+b2﹣3=0，由△=9b2﹣12（b2﹣3）=0，解得b=．當b=2時，C；當b=﹣2時，C．S△OBC≤×=．（2）直線l與y軸不垂直，設直線l的方程為：x=my+n，聯立，化為：（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12=0，∴y1+y2=，y1?y2=．∵3y1+y2=0，∴y1=，=，∴=，∴n2=．∴S△OBC=?|y1﹣y2|=2|n||y1|==．∵B在第一象限，∴x1=my1+n=+n＞0，∴n＞0．∵y1＞0，∴m＞0．∴S△OBC===，當且僅當m=時取等號．此時n=．此時直線l的方程為：x=y+，即2x﹣y+=0．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、直線與橢圓相切問題、三角形面積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20.（本題滿分12分）已知首項為的等比數列{an}是遞減數列，其前n項和為Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差數列．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）已知，求數列{bn}的前n項和．參考答案：（I）設等比數列{an}的公比為q，由題知a1=，又∵S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差數列，∴2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，變形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，∴q=+q2，解得q=1或q=，

…………4分又由{an}為遞減數列，于是q=，∴an=a1=()n．

…………6分（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n?()n，∴，于是，兩式相減得：整理得．

………12分21.設函數.（Ⅰ）若x＝時，取得極值，求的值；（Ⅱ）若在其定義域內為增函數，求的取值范圍；（Ⅲ）設，當=－1時，證明在其定義域內恒成立，并證明（）.參考答案：，（Ⅰ）因為時，取得極值，所以，即故．（Ⅱ）的定義域為.方程的判別式,(1)當,即時，,在內恒成立,此時為增函數.(2)當,即或時，要使在定義域內為增函數,只需在內有即可,設，由

得,

所以.由(1)(2)可知,若在其定義域內為增函數，的取值范圍是（Ⅲ）證明：，當=－1時，，其定義域是，令，得.則在處取得極大值，也是最大值.而.所以在上恒成立.因此.因為，所以.則.所以==.所以結論成立.22