廣東省東莞市中學松山湖學校2021-2022學年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐外接球表面積是（）A. B.20π C.4π D.12π參考答案：D【分析】首先把三視圖轉換為幾何體，求出三棱錐外接球的半徑，進一步利用幾何體的表面積公式的應用求出結果．【詳解】根據幾何體的三視圖，把幾何體轉換為：所以該幾何體的球心為，，，故選D．2.已知數列{an}滿足，則=A．－1

B．－2

C．－3

D．1－log340參考答案：C3.“函數在區間（0，＋∞）上為增函數”是“a=3”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B4.已知集合，，若，則實數的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：，又因為即，所以，解之得，故選C.考點：1.集合的表示；2.集合的運算.5.已知向量滿足：與垂直，且，則與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.執行如圖所示的程序框圖，則輸出結果為A.15 B.16C.25 D.36參考答案：C【知識點】算法與程序框圖.

L1

解析：循環過程執行的結果依次是：（1）s=1,k=2;(2)s=4,k=3;(3)s=9,k=4;(4)s=16,k=5;(5)s=25,k=6.∵k=6>5,∴輸出S為25.故選C.【思路點撥】依次寫出循環過程執行的結果即可.7.已知

A．

B．（）

C．

D．（）參考答案：A，，所以，選A.8.設，且，則下列關系中一定成立的是（

） A．

B．

C． D．參考答案：D9.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于（）A．12 B．4 C． D．參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，一條側棱垂直底面，根據公式可求體積．【解答】解：由三視圖復原幾何體，如圖，它的底面是直角梯形，一條側棱垂直底面高為2，這個幾何體的體積：，故選B．

【點評】本題考查三視圖、棱錐的體積；考查簡單幾何體的三視圖的運用；培養同學們的空間想象能力和基本的運算能力；是中檔題．10.在等差數列中，若，，那么等于（

）A．4 B．5 C．9 D．18參考答案：B因為，所以，所以，因為，所以，所以公差，所以．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知當且時，函數取得最大值，則a的值為__________．

參考答案：由題意可得：其中，，.因為要取得最大值，，帶入以上所求，化簡：，解：12.右圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是__

參考答案：613.已知下列命題：

①已知表示兩個不同的平面為平面內的一條直線，則“”是的充要條件；②命題“”的否定是“”；③在上是減函數；④同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則兩枚硬幣一枚為正面向上、一枚為反面向上的概率為；⑤在△ABC中，若，則A等于30o.

其中真命題的是

.（寫出所有真命題的序號）參考答案：14.已知圓的方程（x﹣2）2+y2=1，過圓外一點P（3，4）作一條直線與圓交于A，B兩點，那么=

．參考答案：16【考點】直線與圓的位置關系．【分析】求出圓心為（2，0），半徑r=1，圓與x軸交于（1，0），C（3，0），從而PC與圓相切，且||=4，由此利用切割線定理能求出的值．【解答】解：∵圓的方程（x﹣2）2+y2=1，∴圓心為（2，0），半徑r=1，∴圓與x軸交于（1，0），C（3，0），過圓外一點P（3，4）作一條直線與圓交于A，B兩點，則PC與圓相切，且||=4，由切割線定理得：==42=16，故答案為：16．15.二次函數與在它們的一個交點處切線互相垂直，則的最小值為

參考答案：略16.某市即將申報“全國衛生文明城市”，相關部門要對該市200家飯店進行衛生檢查，先在這200家飯店中抽取5家大致了解情況，然后對全市飯店逐一檢查.為了進行第一步抽查工作，相關部門先將這200家飯店按001號至200號編號，并打算用隨機數表法抽出5家飯店，根據下面的隨機數表，要求從本數表的第5列開始順次向后讀數，則這5個號碼中的第二個號碼是

．

隨機數表：84421753315724550688770474476721763350258392120676參考答案：068略17.下列結論：①若命題命題則命題是假命題；②已知直線則的充要條件是；③命題“若則”的逆否命題為：“若則”其中正確結論的序號是_____________.（把你認為正確結論的序號都填上）參考答案：(1)(3)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)己知某公司生產某品牌服裝的年固定成木為10萬元，每生產一千件需另投入2.7萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每銷售一千件的收入為R(x)萬元，且。（注：年利潤＝年銷售收入一年總成本）（1）寫出年利潤W（萬元）關于年產品x（千件）的函數解析式；（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大？

參考答案：解：（1）當時，當時，

………………5分（2）①當時，由當∴當時，取最大值，且

……9分②當時，=98當且僅當

……………13分綜合①、②知x=9時，W取最大值.所以當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝生產中獲利最大.…………14分19.（滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》如下圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的長；（II）求證：BE＝EF．參考答案：解：（I），，…（2分）又，，，…………（4分），

…………（5分）（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）

略20.（本小題滿分12分）已知函數．（Ⅰ）討論函數在定義域內的極值點的個數；（Ⅱ）若函數在處取得極值，對,恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅲ）當時，求證：．參考答案：解：（1），當時，在上恒成立，函數

在單調遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．

…………4分（2）∵函數在處取得極值，∴，

…………5分∴，

令，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．

…………8分（3）證明：，令，則只要證明在上單調遞增，………9分又∵，顯然函數在上單調遞增．∴，即，∴在上單調遞增，即，∴當時，有．

………………12分21.（12分）醫生的專業能力參數K可有效衡量醫生的綜合能力，K越大，綜合能力越強，并規定：能力參數K不少于30稱為合格，不少于50稱為優秀．某市衛生管理部門隨機抽取300名醫生進行專業能力參數考核，得到如圖所示的能力K的頻率分布直方圖：

（1）求出這個樣本的合格率、優秀率；（2）現用分層抽樣的方法從中抽出一個樣本容量為20的樣本，再從這20名醫生中隨機選出2名．①求這2名醫生的能力參數K為同一組的概率；②設這2名醫生中能力參數K為優秀的人數為X，求隨機變量X的分布列和期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖．【分析】（1）根據合格率、優秀率的意義即可得出；（2）利用分層抽樣的方法、古典概型的概率計算公式、隨機變量的分布列和期望即可得出．【解答】解：（1）解：各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，∴這個樣本的合格率為1﹣0.2=0.8，優秀率為0.15+0.1+0.05=0.3．（2）①用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數依次為4，6，4，3，2，1．從20名醫生中隨機選出2名的方法數為，選出的2名醫生的能力參數K為同一組的方法數為．故這2名醫生的能力參數K為同一組的概率．②20名醫生中能力參數K為優秀的有6人，不是優秀的有14人．依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則，，．∴X的分布列為X012P∴X的期望值．【點評】熟練掌握合格率、優秀率的意義、分層抽樣的方法、古典概型的概率計算公式、隨機變量的分布列和期望是解題的關鍵．22.（本小題滿分12分）某公司研制出一種新型藥品，為測試該藥品的有效性，公司選定個藥品樣本分成三組，測試結果如下