廣東省東莞市中堂實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

（

）A.(0,+∞) B.(－∞,－1)

C.(－1,1) D.(1,+∞)參考答案：C2.已知F1、F2是橢圓（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2=．則橢圓的離心率是（）A． B．C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】PF2⊥F1F2，∠PF1F2=，由勾股定理可知：|PF1|=2x，|F1F2|=x，由橢圓的定義可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，即可求得a和c值，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：橢圓+=1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，|PF2|=x，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=3x，2c=x，∴C的離心率為：e==．故選B．3.已知函數(shù)在區(qū)間(1,2)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在恒成立，從而求出的取值范圍．【詳解】∵，∴．∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴在上恒成立，即上恒成立．∵，∵，∴．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次不等式的解法，是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)在給定區(qū)間上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于零恒成立，屬于基礎(chǔ)題．4.已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：A5.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是，則n=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出結(jié)果．【解答】解：∵袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是，∴由題意知：，解得n=2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．6.在△中，點(diǎn)在邊上，且，，則=（

）A

B

C

D0參考答案：D7.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則(

).

A.

B.C.

D.參考答案：D8.840和1764的最大公約數(shù)是（

）A．84

B．12

C．168

D．252參考答案：A9.閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S＝()A．45

B．35C．21

D．15參考答案：D10.若a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)+c≥b﹣c B．a(chǎn)c＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；正弦定理．【專題】計(jì)算題．【分析】A、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3，計(jì)算出a+c與b﹣c的值，顯然不成立；B、當(dāng)c=0時(shí)，顯然不成立；C、當(dāng)c=0時(shí)，顯然不成立；D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2為非負(fù)數(shù)，即可判斷此選項(xiàng)一定成立．【解答】解：A、當(dāng)a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3時(shí)，a+c=﹣4，b﹣c=1，顯然不成立，本選項(xiàng)不一定成立；B、c=0時(shí)，ac=bc，本選項(xiàng)不一定成立；C、c=0時(shí)，=0，本選項(xiàng)不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本選項(xiàng)一定成立，故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式的性質(zhì)，利用了反例的方法，是一道基本題型．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察（1）（2）由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫(xiě)出你的推論是

。參考答案：若都不是，且，則12.已知復(fù)數(shù)，則的最小值是________。

參考答案：略13.已知命題，若的充分不必要條件，則的取值范圍是

。參考答案：14.已知︱a︱=3,︱b︱=4,且（a+kb）⊥(a-kb),則k=

參考答案：3/4

15.（5分）（2014?菏澤一模）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC則b=．參考答案：4【考點(diǎn)】：余弦定理；正弦定理．【專題】：計(jì)算題；解三角形．【分析】：利用余弦定理、正弦定理化簡(jiǎn)sinAcosC=3cosAsinC，結(jié)合a2﹣c2=2b，即可求b的值．解：∵sinAcosC=3cosAsinC，∴∴2c2=2a2﹣b2∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b∵b≠0∴b=4故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】：本題考查余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．16.方程a+b+c+d=8的正整數(shù)解（a，b，c，d）有組．（用數(shù)字作答）參考答案：35【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】a+b+c+d=8的正整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為7個(gè)球中插入3個(gè)板，利用組合知識(shí)可得結(jié)論【解答】解：a+b+c+d=8的正整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為7個(gè)球中插入3個(gè)板，故共有=35組．故答案為35．17.已知，且，則m等于________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)、距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程．參考答案：見(jiàn)解析．解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題設(shè)有，即，整理得①，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為，，所以，直線的斜率為，直線的方程為②將②式代入①式整理得，解得，，代入②式得點(diǎn)的坐標(biāo)為或；或，直線的方程為或．19.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，AP=AB=2，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，E是BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：PE⊥AF；（2）若BC=2BE=4，求直線AP與平面PDE所成角的大小．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BE=a，證明：，即可證明PE⊥AF；（2）求出平面PDE的法向量，即可求直線AP與平面PDE所成角的大小．【解答】（1）證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BE=a則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），E（a，2，0）于是，，，則，所以AF⊥PE．（2）解：由，得，，，=（2，2，﹣2）設(shè)平面PDE的法向量為=（x，y，z），由，得：，令x=1，則，于是，而，設(shè)AP與平面PDE所成角為θ，所以，所以AP與平面PDE所成角θ為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線線垂直，考查線面角，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．20.（本小題滿分12分）某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置．若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券．例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．（1）若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率；（2）若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為（元）．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：設(shè)指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C．則．（Ⅰ）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域． 即消費(fèi)128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是．（Ⅱ）由題意得該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次．隨機(jī)變量的可能值為0，30，60，90，120．

所以，隨機(jī)變量的分布列為：

0306090120

其數(shù)學(xué)期望．21.（本小題滿分12分）設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買(mǎi)甲種商品的概率為，購(gòu)買(mǎi)乙種商品的概率為，且購(gòu)買(mǎi)甲種商品與購(gòu)買(mǎi)乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買(mǎi)商品也是相互獨(dú)立的。（Ⅰ）求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅱ）求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅲ）記表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望。參考答案：記表示事件：進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買(mǎi)甲種商品，

記表示事件：進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買(mǎi)乙種商品，記表示事件：進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種，記表示事件：進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種，（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ），故的分布列的分布列為：0123P0.0080.0960.3840.512

所以22.已知橢圓的兩焦點(diǎn)、，離心率為，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求直線的方程，使的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，則

…1分

，，