廣東省東莞市東坑中學2023年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數（其中＞0，＜的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象A.向右平移個單位長度B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度D.向左平移個單位長度參考答案：C2.下表是某小賣部統計出的五天中賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對比表：

氣溫x(℃)18131040杯數y2434395162

若賣出熱茶的杯數y與氣溫x近似地滿足線性關系，則其關系式最接近的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C過點(9,42),選C

3.如右圖，定圓半徑為，圓心為，則直線與直線的交點在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D略4.已知二面角α-l-β為

，動點P、Q分別在面α、β內，P到β的距離為，Q到α的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為

（

）A、2

B、2

C、

D、4

參考答案：C略5.設集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|-2x-3≤0},則A∩（CRB）=（

）A．(1,4)

B．(3,4)

C．(1,3)

D．(1,2)∪（3,4）參考答案：B6.運行以下程序框圖，若輸入的，則輸出的y的范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（0，1]參考答案：C【考點】程序框圖．【分析】根據x的范圍，分別求出對于的y=cosx和y=sinx的范圍，取補集即可．【解答】解：x∈[﹣，0]時，y=cosx，故y=cosx∈[0，1]，x∈（0，]，y=sinx，故y=sinx∈（0，1]，故選：C．7.已知R上可導函數f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）參考答案：D【考點】函數的單調性與導數的關系．【分析】根據題意結合圖象求出f′（x）＞0的解集與f′（x）＜0的解集，因此對原不等式進行化簡與轉化，進而得到原不等式的答案．【解答】解：由圖象可得：當f′（x）＞0時，函數f（x）是增函數，所以f′（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣1），（1，+∞），當f′（x）＜0時，函數f（x）是減函數，所以f′（x）＜0的解集為（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即與不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由題意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等價于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故選D．8.若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A．3

B．2

C．3

D．4參考答案：A9.將最小正周期為3π的函數f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的圖象向左平移個單位，得到偶函數圖象，則滿足題意的φ的一個可能值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：B【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由周期求得ω，可得函數f（x）的解析式，再根據函數y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規律，可得結論．【解答】解：由于函數f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）=cos（ωx+φ+）的最小正周期為3π=，求得ω=，∴函數f（x）=cos（x+φ+）．再把f（x）的圖象向左平移個單位，得到偶函數y=cos[（x+）+φ+]=cos（x++φ）圖象，則滿足題意的φ的一個可能值為﹣，故選：B．10.若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a－b的夾角是()A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數滿足，則的最小值為__________________.參考答案：-6略12.消去未知數“”，化（為已知常數）為只有“”的一元二次方程為

．參考答案：13.下面的圖是求實數x的絕對值的算法程序框圖，則判斷框①中可填

參考答案：略14.（5分）已知cosx﹣sinx=，則sin2x的值為．參考答案：∵cosx﹣sinx=，∴兩邊平方，可得1﹣sin2x=∴sin2x=故答案為15.命題“當c＞0時，若a＞b，則ac＞bc.”的逆命題是

．參考答案：當時，若，則

13.若函數，則=

參考答案：略17.在△ABC中，∠A=60°，點M為邊AC的中點，BM=，則AB+AC的最大值為．參考答案：【考點】HQ：正弦定理的應用．【分析】依題意，利用正弦定理可求得△ABM的外接圓直徑，從而可用角表示出AB，AC，利用三角函數間的關系式即可求得AB+AC的最大值．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=60°，點M為邊AC的中點，BM=，∴在△ABM中，設∠AMB=θ，則∠ABM=120°﹣θ，0＜θ＜120°，由正弦定理得：====4，∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°﹣θ），又點M為邊AC的中點，∴|AC|=2|AM|=8sin（120°﹣θ），∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°﹣θ）=4sinθ+8×cosθ﹣8×（﹣）sinθ=8sinθ+4cosθ=4sin（θ+φ），（其中tanφ=）．∴當sin（θ+φ）=1時，|AB|+|AC|取得最大值．∴|AB|+|AC|的最大值為4．故答案為：4．【點評】本題考查正弦定理的應用，考查三角函數間的關系式及輔助角公式的應用，能用三角關系式表示出AB+AC是關鍵，也是難點，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，若（1）求角的大小（2）若，，求的面積

參考答案：解：（1）由余弦定理得化簡得：∴∴B＝120°…6分（2）∴∴ac＝3∴…………………6分

19.已知A，B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸交于點P．（Ⅰ）若直線AB經過拋物線y2=4x的焦點，求A，B兩點的縱坐標之積；（Ⅱ）若點P的坐標為（4，0），弦AB的長度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）求出拋物線的焦點，設直線AB方程為y=k（x﹣1），聯立拋物線方程，消去x，可得y的方程，運用韋達定理，即可求得A，B兩點的縱坐標之積；（Ⅱ）設AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線和拋物線方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，化簡整理，再由二次函數的最值，即可求得弦長的最大值．【解答】解：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），依題意，設直線AB方程為y=k（x﹣1），其中k≠0．將代入直線方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以yAyB=﹣4，即A，B兩點的縱坐標之積為﹣4．（Ⅱ）設AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．設AB中點坐標為（x0，y0），則，，所以弦AB的垂直平分線方程為，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，當，即時，|AB|的最大值為6．當時，；當時，．均符合題意．所以弦AB的長度存在最大值，其最大值為6．【點評】本題考查拋物線的方程和性質，主要考查拋物線的方程的運用，考查直線和拋物線方程聯立，消去未知數，運用韋達定理和弦長公式，結合二次函數的最值求法，屬于中檔題．20.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點，AP=1，AD=．（I）證明：PB∥平面AEC；（II）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（Ⅲ）設三棱錐P﹣ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）連接AC、BD相交于G，連接EG．由三角形中位線定理可得EG∥PB，再由線面平行的判定得PB∥平面AEC；（II）由PA⊥面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，結合CD⊥AD，得CD⊥面PAD，則∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求解直角三角形得答案；（Ⅲ）由已知求得AB，再由等積法求得A到平面PBC的距離．【解答】（I）證明：連接AC、BD相交于G，連接EG．∵E為PD的中點，∴EG∥PB，又EG?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；（II）解：∵PA⊥面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又CD⊥AD，∴CD⊥面PAD，則∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，在Rt△PAD中，∵AP=1，AD=，∴tan∠PDA=，則∠PDA=30°；（Ⅲ）解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，則PA是三棱錐P﹣ABD的高，設AB=x，A到平面PBC的距離為h，∵，∴．由VP﹣ABC=VA﹣PBC，得，解得h=．21.已知集合，（I），求實數的取值范圍；（II）且，求實數的取值范圍.參考答案：略22.已知函數f（x）=ex﹣ax，（e為自然對數的底數）．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若對任意實數x恒有f（x）≥0，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值問題中的應用．【專題】函數思想；轉化法；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a得到范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax，f′（x）=ex﹣a，當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調遞增；當a＞0時，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，則在（﹣∞，lna]上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax，f'（x）=ex﹣a，若a＜0，則f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，故a＜0不滿足條件．若a=0，