山西省陽泉市第七中學2021年高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知二次函數的導數為，，對于任意實數都有，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.直線a與直線ｂ垂直，ｂ又垂直于平面α，則a與α的位置關系是(

)A.a⊥α

B.a∥α

C.aα

D.aα或a∥α

參考答案：D略3.下列命題中，真命題是（）A．?x0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要條件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件參考答案：D【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；全稱命題；特稱命題；命題的真假判斷與應用．【分析】利用指數函數的單調性判斷A的正誤；通過特例判斷，全稱命題判斷B的正誤；通過充要條件判斷C、D的正誤；【解答】解：因為y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正確；因為x=﹣5時2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0時a+b=0，但是沒有意義，所以C不正確；a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，顯然正確．故選D．4.函數f(x)＝的定義域為()A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(0,1) D.(0,1)∪(1，＋∞)參考答案：D5.通過隨機詢問200名性別不同的大學生是否愛好“踢毽子運動”，計算得到統計量值k2的觀測值k≈4.892，參照下表，得到的正確結論是（） P（k2≥k）0.100.050.010k2.7063.8416.635A．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該運動與性別有關” B．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該運動與性別無關” C．有99%以上的把握認為“愛好該運動與性有關” D．有99%以上的把握認為“愛好該運動與性別無關” 參考答案：A【考點】獨立性檢驗． 【專題】概率與統計． 【分析】通過計算得到統計量值k2的觀測值k，參照題目中的數值表，即可得出正確的結論．【解答】解：∵計算得到統計量值k2的觀測值k≈4.892＞3.841， 參照題目中的數值表，得到正確的結論是： 在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該運動與性別有關”． 故選：A． 【點評】本題考查了通過計算得到統計量值k2的觀測值k，對照數表估計概率結論的應用問題，是基礎題目． 6.如下圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中：①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與垂直；A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④參考答案：B考點：點線面的位置關系試題解析：把平面展開圖還原成正方體，知：與異面垂直，故①錯；與平行，故②錯；BM//AN，因為ANC為等邊三角形，所以與成60°角，故③正確；因為平面BCN,所以與垂直，故④正確。故答案為：B7.如圖，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的表面積為（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），則P（6＜X＜7）等于（）A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.8185參考答案：C【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】計算P（4＜X＜6），P（3＜X＜7），于是P（6＜X＜7）=（P（3＜X＜7）﹣P（4＜X＜6））．【解答】解：P（4＜X＜6）=0.6826，P（3＜X＜7）=0.9544，∴P（6＜X＜7）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．故選C．【點評】本題考查了正態分布的對稱性特點，屬于基礎題．9.（本小題滿分13分）

已知橢圓的右焦點，離心率為．過點的直線交橢圓于兩點，且．（1）求橢圓的方程；（2）求直線的斜率的取值范圍參考答案：解：（1）由已知得：，所以，從而橢圓的方程為……………4分（2）設直線的方程為，由，得………6分設，則，且，所以，同理………………8分故．由，得………………11分所以直線的斜率的取值范圍是……………13分10.設函數f（x）=x3+ax2，若曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線方程為x+y=0，則點P的坐標為（）A．（0，0） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（﹣1，1）參考答案：D【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】由曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線方程為x+y=0，導函數等于﹣1求得點（x0，f（x0））的橫坐標，進一步求得f（x0）的值，可得結論．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函數在點（x0，f（x0））處的切線方程為x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．當x0=1時，f（x0）=﹣1，當x0=﹣1時，f（x0）=1．故選：D．【點評】本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，函數在某點處的導數值就是對應曲線上該點處的切線的斜率，是中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，把數列中的所有項按照從小到大，從左到右的順序寫成如圖所示的數表，且第行有個數.若第行從左邊起的第個數記為，則這個數可記為．參考答案：略12.函數(其中)的圖象在處的切線方程是.參考答案：略13.設函數則=___________.參考答案：14.將圓上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的一半，所得曲線的方程為

▲

.參考答案：【分析】設出縱坐標變化后的點的坐標，得到原來的坐標，代入圓的方程整理后得答案．【詳解】設所求曲線上的任意一點為（x，y），則該點對應的圓x2+y2=4上的點為（x，2y），代入圓x2+y2=9得：x2+4y2=4，即．故答案為：．【點睛】本題考查了軌跡方程，訓練了代入法求曲線方程，是基礎題．

15.若橢圓的離心率是，則的值為

.參考答案：3或16.“”是“或”的

條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分又不必要”）.參考答案：充分不必要因為，而后者為或，故前者能推后者，但后者就無法得到前者的結論，故可得為：充分不必要條件.

17.如圖，將菱形沿對角線折起，使得C點至，點在線段上，若二面角與二面角的大小分別為30°和45°，則=___▲_；參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）求過點P（2，3），且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程；（2）已知直線l平行于直線4x+3y﹣7=0，直線l與兩坐標軸圍成的三角形的周長是15，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線的截距式方程．【分析】（1）根據直線的截距關系即可求出直線方程；（2）利用直線平行的關系，結合三角形的周長即可得到結論．【解答】解：（1）當直線過原點時，過點（2，3）的直線為當直線不過原點時，設直線方程為（a≠0），直線過點（2，3），代入解得a=5∴直線方程為∴過P（2，3），且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為3x﹣2y=0和x+y﹣5=0．（2）∵直線l與直線4x+3y﹣7=0平行，∴．設直線l的方程為，則直線l與x軸的交點為A，與y軸的交點為B（0，b），∴．∵直線l與兩坐標軸圍成的三角形周長是15，∴．∴|b|=5，∴b=±5．∴直線l的方程是，即4x+3y±15=0．19.(12分)已知函數．(1)求的最小正周期：(2)求在區間上的最大值和最小值．參考答案：所以，函數的最小正周期為（2），，

在區間上的最小值為，最大值為2.20.對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下，頻率分布直方圖如圖：分組頻數頻率[10，15）100.25[15，20）24n[20，25）mp[25，30）20.05合計M1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[10，15）內的人數；（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間[25，30）內的概率．參考答案：（1）;（2）60;（3）21.（13分）如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點．（Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導出PA⊥BC，BC⊥AB，從而AM⊥BC，再求出AM⊥PB，由此能證明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）在平面ABC內，作Az∥BC，則AP，AB，Az兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系A﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（本小題滿分13分）證明：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因為BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因為PA=AB，M為PB的中點，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…解：（Ⅱ）如圖，在平面ABC內，作Az∥BC，則AP，AB，Az兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系A﹣xyz．則A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）設平面APC的法向量為=（x，y，z），則，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）由（Ⅰ）可知=（1，1，0）為平面BPC的法向量，設二面角A﹣PC﹣B的平面角為α，則cosα===．…（12分）所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值為．…（13分）【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．22.動點滿足.（1）求M點的軌跡并給出標準方程；（2）已知，直線：交M點的軌跡于A，B兩點，設且，求k的取值范圍.參考答案：（1）（2）或.【分析】（1）由方程知軌跡為橢圓，進而得從而