建模電子教案第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現實對象到數學模型我們常見的模型第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日你碰到過的數學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日航行問題建立數學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數）；用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；求解得到數學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日1.2

數學建模的重要意義電子計算機的出現及飛速發展；數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具；

數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日數學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優化

規劃與管理數學建模計算機技術知識經濟如虎添翼第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日1.3

數學建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續函數對任意,f(),g()至少一個為0數學問題已知：f(),g()是連續函數;對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續曲面椅子在任意位置至少三只腳著地第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續性知

h為連續函數,據連續函數的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日1.3.2

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數yk~第k次渡河前此岸的隨從數xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態集合uk~第k次渡船上的商人數vk~第k次渡船上的隨從數dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態轉移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步決策問題第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日模型求解xy3322110窮舉法~編程上機圖解法狀態s=(x,y)~16個格點

~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思考規格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規律控制人口過快增長1.3.3如何預報人口的增長第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r是常數今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規律無限增長第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預測不符合19世紀后多數地區人口增長規律不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日數學建模的基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律將對象看作“黑箱”,通過對測量數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數1.6

數學建模的方法和步驟第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數學的語言、符號描述問題發揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數學工具數學建模的一般步驟第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩定性分析模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用數學建模的一般步驟第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐現實世界數學世界理論實踐第二十六頁，共三十一頁，20