離散型隨機變量分布

隨機變量的分布函數隨機變量定義及類型定義設隨機試驗E的樣本空間為S，如果對于每一個e∈S，都有唯一的一個實數X(e)與之對應，則稱X(e)為隨機變量，并簡記為X。eX(e)SX隨機變量分類離散型隨機變量（全部可能取到的值是有限個或可列無限個）

連續型隨機變量（它的全部可能取值不僅是無窮多的、不可列的，而是充滿某個區間）

既非離散型也非連續型的隨機變量N重貝努利試驗特點每次試驗只有“成功”或“失敗”兩種可能結果每次試驗“成功”的概率都為p（0<p<1），“失敗”的概率為(1-p)=qn次實驗是相互獨立的思考:n次貝努利實驗“成功”次數的概率分布特別當n=1時，二項分布為二項分布即為0-1分布。定義如果隨機變量X的概率分布為（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)則稱X服從參數為n，p的二項分布。記作X~B(n,p).例某人獨立地射擊，設每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標兩次的概率。解每次射擊看成一次試驗，設擊中次數為X，則X~B(400,0.02)，X的分布律為所求概率為其中λ＞0是常數，則稱X服從參數為λ的泊松分布，記為X~P(λ)查課本附表泊松分布表，對于給定的λ，可查泊松分布（k=0，1，2，…）

定義如果隨機變量X的概率分布為

泊松(Poisson)定理設>0，n是正整數，若npn=，則對任一固定的非負整數k，有

即當隨機變量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小時，記=np，則前例可用泊松定理計算。取=np=400×0.02＝8,近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

常用的離散型隨機變量分布（0—1）分布-----可視為二項分布的特例二項分布泊松分布其中λ＞0是常數，記為X~P(λ)（k=0，1，2，…）（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)記作X~B(n,p).一部篇幅很大的書籍,每頁書的錯字個數服從λ=0.1的泊松分布.隨機翻開一頁檢查,求(1)沒有錯字的概率;(2)至少有一個錯字的概率一電話機總機每分鐘收到呼喚的次數服從參數為4的泊松分布.求(1)某分鐘恰有8次呼喚的概率;(2)某一分鐘呼喚次數大于3的概率一、分布函數的定義

1）定義設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數稱為

X的分布函數．對于任意的實數x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX退出前一頁后一頁目錄二、分布函數的性質F(x)是一個單調不減的函數．

設隨機變量X的分布律為如右：求X的分布函數.Xpk-212解：當x<-2

時，01xX2-2x例1：§3隨機變量的分布函數第二章隨機變量及其分布退出前一頁后一頁目錄滿足Xx的X取值為X=-2,

x1X2-2x滿足Xx的X取值為X=-2,或1，

Xpk

-212同理當-2012x1Xpk

-212分布函數F(x)在x=xk

(k=1,2,…)處有跳躍，其跳躍值為

pk=P{X=xk}.說明：Xpk

-212-2012x1

例2一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數.解：（1）若x<0,則是不可能事件，于是（2）X第二章隨機變量及其分布退出前一頁后一頁目錄（3）若,則是必然事件，于是§3隨機變量的分布函數第二章隨機變量及其分布退出前一頁后一頁目錄01231F(x)x第二章隨機變量及其分布練習:向[0,1]區間隨機拋一質點，以X表示質點坐標。假定質點落在[0,1]區間內任一子區間內的概率與區間長成正比，求X的分布函數。解

F(x)=P(X≤x)

當x<0時,F(x)=0;當x>1時,F(x)=1當0≤x≤1時,特別,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1設一汽車在開往目的地的道路上需經過3盞信號燈。每盞信號燈以概率1/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(各信號燈工作相互獨立)。求X的分布律、分布函數以及概率解設p為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則

P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：X0123P1/21