角平分線的判定2014-09-23ODEPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點知識回顧幾何語言描述：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PEACB

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線的性質：證明線段相等時不必再證全等如圖，由于點D，于點E，PD=PE，可以得到什么結論？OBPE^PD^OA議一議到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。

已知：如圖，，，垂足分別是

A、B，PD=PE

，求證：點P在的角平分線上。BADOPE到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

已知：如圖，，，垂足分別是

D、E，PD=PE，

求證：點P在的角平分線上。證明：\作射線OP\

點P在角的平分線上

在Rt△PDO

和Rt△PEO

中，（HL）\（全等三角形的對應角相等）

OP=OP（公共邊）PD=PE（已知）\≌角平分線的判定BADOPE∵角平分線的判定的幾何語言描述：OP是的平分線PD=PE\

（到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上）∵

DE OPAB角平分線的性質：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角平分線的判定到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分線∵∵\OP是的平分線PD=PE用途：證明線段相等用途：證明角相等，判定一條射線是角平分線判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴點Q在∠AOB的平分線上．用數學語言表示為：性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵點Q在∠AOB的平分線上，

QD⊥OA,QE⊥OB∴QD＝QE用數學語言表示為：練一練填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴_______________________________(_______________________________________________)ACDEB12∠1=∠2（AD是∠BAC的角平分線）DC=DE到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上。在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等例1.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，且BE＝CF。求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BED=∠CFD=90°

∵D是BC的中點∴BD=CD

在Rt△BED

和Rt△CFD

中，

BD=CD（公共邊）BE＝CF∴Rt△BED

≌Rt△CFD

（HL）∴DE=DF∴AD是△ABC的角平分線已知：如圖，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求證：AD平分∠BAC。ABCFED課堂練習1證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠DEC=∠DFB=90°在△DEC和△DFB中∠DEC=∠DFB∠EDC=∠FDBCD=BD∴△DEC≌△DFB（AAS）∴DE=DF∴AD平分∠BACABCPEDFMN例題2.如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到AB、BC、CA的距離相等證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，

PF⊥AC于F證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上∴PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到邊AB、BC、CA的距離相等已知：如圖，△ABC的∠B的外角的平分線BD和∠C