20082009（考試時間120班 姓 學—二三四五六七88一、選擇題（每題4分，共20分以下條件中（ ）不是函數fx在x0處連續的充分條件

xx0

fx

xx0

f

limfxfx00(C)f'0

存

fxx0可以下條件中（ ）是函數fx在x0處有導數的必要且充分條件fx

在x0處連

fx

x0處可微(C)

fx0xfx0存

limfxx1fx

x1

的 )間斷點(A)可 (B)跳 設函數fx在閉區間a,b上連續并在開區間a,b內可導.如果在a,b內f'x0,那么必有( 在a,b

fx

在a,b

fx單調增在a,b

fx單調減 (D)在a,b

fx是凸設函數fxx23x2sinx,則f'x0在0,內根的個數為( (A)0 (B)至多1 二、求下列極限(5，20lnb1

a（1）x00

0b1時，原式=limaxx00 1

limaxbsinxcxdcos

x00cabsin解:原式=lim a.xcdcos x limex1x a

ax

xa1 limsinx x0 lim

lnsinxlnxlimlnsinxln limxcosxsin= =ex002x2sinlimxcosxsin limxsin =

2

=ex006

=e6三、計算(624分ylntanxcosxlntanx,y 2 sec2 解:y' 2sinxlntanxcosxsec2tan2=sinxlntanx

tanFx是可導的單調函數,滿足F'x0F00,方程FxyFxFy確yyx,

:令x0,則F0F0Fy0,所以Fy00.由Fx嚴格單調和F00y00原等式兩邊同時對x求導得F'xyyxy'F'xF'yy'x0,F'0y0F'0F'y0y0dx

=y'01t1t

d2yyx是參數方程yarctan

確定的函數,dx2解:

1t

1 1tddy d1 d1d2

dx t t

1 11t

1t

t2 t2 設函數f

xx

a0問a取何值時f0存在解:fx0處連續.f01

f'0lna11lna,得aee1e

（8分）證明:x0時有exxe,xe時成立等式證明:fxxelnx,f'x1e,x0e時,fx嚴格下降x

xe,時,fx嚴格上升.fe0.x0時

xelnx,xe時成立等式.x0時有exxe,xe時成立等式五、(8分)假定足球門寬度為4米,一球員在球門右側沿垂直于的方向帶球向上距離球門右門柱6米的點處跑去.問:他在距離多遠處獲得最大的射門(即他與兩門柱解:arctan10arctan6 d

x2

, 1

1

36x2100x2x

時最大六、(10設函數fx在區間a,b上連續,在區間ab內有二階導數.如果fafb且存ca,b使得fcfa,證明在ab內至少有一使得f0.證明:由中值定理,

fcfaf'ca

fbfcf'

bc所以12f0f.再由中值定理,ffff012 七、(10分)設f(x)在[a)上二階可導，且f(a)

f(a)

xa時f(x)0,證明在(af(x)0證明 由于當xa時，f(x)0,因此f'(x)單調減，從而f'(x)f'(a)0，于f(xf(a)0f(x最多只有一個實根．下面證明f(x)0xa時，f(x)f(a)f'()(xa)