§10.4 空間應力狀態及廣義胡克定律一、 空間應力狀態簡介當單元體上三個主應力均不為零時的應力狀態稱為空間應力狀態，也稱為三向應力狀態。本節只討論在已知主應力 。「。尸氣的條件下，單元體的最大正應力和最大剪應力。先研究一個與 。1平行的斜截面上的應力情況，如圖 10-16(a)所示。該斜面上的應力o、t與氣無關，只由主應力氣、。：決定。于是，可由氣、。：確定的應1 2 3 2 3力圓周上的點來表示平行于氣某個斜面上的正應力和剪應力。同理，在平行于 。2或氣的斜面上的應力O、T，也可分別由(。「氣)或(氣、％)確定的應力圓來表示。這樣作出的3個應力圓稱作三向應力圓，如圖 10-16(d)所示。當與三個主應力均不平行的任意斜面上的正應力和剪應力必然處在三個應力圓所圍成的陰影范圍之內的某一點D。D點的縱橫坐標值即為該斜面上的正應力和剪應力。由于 D點的確定比較復雜且不常用，在此不作進一步介紹。圖10-16空間應力狀態及其應力圓二、最大、最小正應力和最大剪應力從圖10-16(d)看出，在三個應力圓中，由氣、。3所確定的應力圓是三個應力圓中最大的應力圓，又稱極限應力圓。畫陰影線的部分內，橫坐標的極大值為 Al點，而極小值為B1點，因此，單元體正應力的極值為：、氣，”。3單元體中任意斜面上的應力一定在。1和％之間。而最大剪應力則等于最大應力圓上 Gl點的縱坐標，即等于該應力圓半徑：_CT1-CT3max2Gl點在由氣和氣所確定的圓周上，此圓周上各點的縱橫坐標就是與％軸平行的一組斜截面上的應力，所以單元體的最大剪應力所在的平面與 。2軸平行，且與。1和。3主平面交45o。三、廣義胡克定律在研究單向拉伸與壓縮時，已經知道了在線彈性范圍內，應力與應變成線性關系，滿足胡克定律b=E￡ （a）此外，軸向變形還將引起橫向尺寸的變化，橫向線應變根據材料的泊松比可得出：(b)在純剪切的情況下，根據實驗結果，在剪應力不超過剪切比例極限時，剪應力和剪應變之間的關系服從剪切胡克定律，即_Tc=Gy 或丫=g （c）對于復雜受力情況，描述物體一點的應力狀態，通常需要 9個應力分量，如圖10.1所示。根據剪應力互等定律，T二—T，T二—T，T二—T，因而，在這9個應xy yxxz zxyz zy力分量中只有6個是獨立的。這種情況可以看成是三組單向應力（圖10-17）和三組純剪切的組合。對于各向同性材料，在線彈性范圍內，處于小變形時，線應變只與正應力有關，與剪應力無關；而剪應變只與剪應力有關，與正應力無關，并且剪應力只能引起與其相對應的剪應變分量的改變，而不會影響其它方向上的剪應變。因此，求線應變時，可不考慮剪應力的影響，求剪應變時不考慮正應力的影響。于是只要利用（a）、（b）、（c）三式求出與各個應力分量對應的應變分量，然后進行疊加即可。(C)(d)(C)(d)圖10-17應力分解如在正應力。x如在正應力。x單獨作用時（圖10-17（b））,E_b單元體在x方向的線應變口E；在叫在叫單獨作用時（圖10-17（c）），單元體在bx方向的線應變為：邛“E；^_b在&單獨作用時（圖10-17（d）），單元體在x方向的線應變為x廣四衛在ox、oy、oz共同作用下，單元體在x方向的線應變為：￡x=￡xx+S巧+￡x=%__^5^_^^=A「b-g(b+b)EEEExy/同理，可求出單元體在y和Z方向的線應變ey和ez。最后得1氣=E「bx-g（by+氣）］1(10-9)%=E「七"（氣+bx）(10-9)1￡廣E「b廣的x+氣）］對于剪應變與剪應力之間，由于剪應變只與剪應力有關，并且剪應力只能引起與其相對應的剪應變分量的改變， 而不會影響其它方向上的剪應變。 因而仍然是（c）式所表示的關系。這樣，在xy、yz、zx三個面內的剪應變分別是

1 2（1+口）疽GTxy=^T~Txy七v_1 _2（1+g） 奴y廣G氣=^^Ty^ f （10-10）1 2（1+閔 Jzx=Gzx=~E~吃公式（10-9）和（10-10）就是三向應力狀態時的廣義胡克定律。當單元體的六個面是主平面時，使 X、y、z的方向分別與主應力氣、％、氣的方向一致，這時有b=b1Q=Q2b=。3T=0,T=0,T=0,廣義胡克定律化為：蕓1=E卜1_貝。2+b3)] 〉(10-11)￡2=E[氣一P(氣+b1(10-11)%昏**Y=0,Y=0,Y=0e、e、e方向分別與主應力。、。、。的方向一致，稱為一點處的主應變。三1 2 3 1 2 3個主應變按代數值的大小排列，eI法e,法孔，其中，e1和分別是該點處沿各方向1 2 3 1 3線應變的最大值和最小值。變形后的體積為：v1=四、體積應變變形后的體積為：v1=單位體積的改變稱為體積應變（體應變）。圖10-18所示的主單元體，邊長分別是dx、dy和dz。在3個互相垂直的面上有主應力。「七和。3。單元體變形前的體積為：v=dxdydz;(dx+e1dx)(dy+e2dy)(dz+e3dz)

則體積應變為:Avv一v (dx+edx)(dy+edy>)(dz+￡dz)-dxdydzH=——= = 1 2 3vv dxdydz=(1+E)(1+￡)(1+E)—1=￡+￡+8+88+8￡+88+88￡x y z 123122331123略去高階微量，得H=8+8+8123將廣義胡克定律式（10-11）代入上式，得到以應力表示的體積應變1—2口(10-12)(10-13)(10-14)H=81+82+83= ￡(b]+b2(10-12)(10-13)(10-14)H=3(1-21Rm=%(10-15)一E(10-15)E式中：3（1-2口）稱為體積彈性模量，om式中：公式（10-15）表明，體積應變。與平均主應力。m成正比，即體積胡克定律。單位體積的體積改變只與三個主應力之和有關，至于三個主應力之間的比例對體積應變沒有影響。若將圖10-19（a）中所示單元體分解為（b）和（c）兩種情況的疊加，在（c）圖中，由于各面上的主應力為平均主應力，該單元體各邊長按相同比例伸長或縮短，所以單元體只發生體積改變而不發生形狀改變。在圖（b）中，三個主應力之和為零，由式（10-13）可得其體積應變。也為零，表明該單元體只發生形狀改變而不發生體積改變。由此可知，圖（ a）所示的單元體的變形將同時包括體積改變和形狀改變。

圖10-19圖10-19單元體應力的組合五、復雜應力狀態下的彈性變形比能彈性變形比能是指物體在外力作用處于彈性狀態下， 在單位體積內儲存的變形能。在單向應力狀態下，當應力。與應變e滿足線性關系時，根據外力功和應變能在數值上相等的關系，導出變形比能的計算公式為在復雜應力狀態下的單元體的變形比能為u=\。￡+a&+ae)211 22 33將將廣義胡克定律(10.11)式代入上式，經過整理后得出:u=2E{j1[ct1-p(a2+a3)]+b2卜2-g(a1+a3)]+a3卜3-p(a2+a「]}(10-16)2el。1+a2+a2-2p(ap2+a2a3+a3a1)(10-16)式(10-16)就是在復雜應力狀態下桿件的彈性變形比能計算公式。由于單元體的變形包括體積改變和形狀改變，所以變形比能也可以看成由體積改變比能和形狀改變比能這兩部分的組合。u=ue+ud式中：ue為體積改變比能，ud為形狀改變比能。

對于圖（10-19（c））中的單元體，各面上的正應力為：七=腳1-2+°3），將。m代入式（10-16）得體積改變比能:TOC\o"1-5"\h\zu=——Ib2+b2+b2一2四(b2+b2+b2)

0 2Emmm mmm1一蟲(b+b+b)2(10-17)6E(10-17)形狀改變比能:1 1—2u,. 、u=u—u= Ib2+b2+b2—2四(bb+bb+bb)I— (b+b+b)2d 02EL1 2 3 12 23 31，」 6E 1 2 3’1+g—ELb2+b2+b2-b1b2—b2b3—b3b1(10-18)鹽［(b1"b2”+(b2一b3)2+(b3(10-18)例10-7如圖10-20所示鋼梁，在梁的A點處測得線應變氣=400X10-6,e廣-120X瑚6,試求：a點處沿x、y方向的正應力和z方向的線應變。已知彈性模