§2.與布朗運動有關的隨機過程過程1：d維布朗運動過程2：布朗運動相關函數均值函數布朗運動是一個高斯過程性質帶漂移的布朗運動的民用航空發動機實時性能可靠性預測，航空動力學報2009，Vol.1,No.12.任淑紅布朗運動是一個高斯過程證明對任意自然數不是一般性，取n個不同的時間指標定義增量則過程3：布朗橋則稱

為從0到0的布朗橋均值函數相關函數性質，從0到0的布朗橋是高斯過程例設常數定義從a到b的布朗橋：證明：(2)從a到b的布朗橋是高斯過程,且

布朗橋在研究經驗分布函數中起著非常重要的作用。設X1,X2,…Xn,…獨立同分布，Xn~U(0,1)，對0<s<1,記Nn(s)表示前n個X1,X2,…Xn

中取值不超過s的個數，稱Fn(s)為經驗分布函數。顯然Nn(s)~B(n,s)，由強大數定理有補充：布朗橋在統計中的應用由格利汶科-康泰利定理可以得到更強的結果，即Fn(s)以概率1一致地收斂于s.則所以的極限過程是一正態過程。可以證明的聯合分布趨于二維正態分布。所以當n→∞時，的極限過程即為布朗橋過程。一般的，設X1,X2,…Xn,…獨立同分布，F(x)為分布函數，則隨機變量F(Xi)~U(0,1)。記類似可討論的極限分布。過程:4：幾何布朗運動（指數布朗運動）均值函數相關函數股票價格服從幾何布朗運動的證明謝惠揚過程5：反射布朗運動均值函數過程6：奧恩斯坦-烏倫貝克過程其中均值函數相關函數補充：隨機變量序列或隨機過程均方極限均方連續均方可導均方可積1．均方極限的定義定義設如果則稱{Xn,n=1,2,…}均方收斂于X,或稱X為{Xn,n=1,2,…}的均方極限，記為2

均方連續設{X(t),t∈T}是二階矩過程,t0∈T,若則稱{X(t),t∈T}在t0處均方連續

若對任意的t∈T,{X(t),t∈T}在t處均方連續,則稱

{X(t),t∈T}在T上均方連續.

或稱

{X(t),t∈T}是均方連續的.1.均方連續定義3

均方導數1.均方導數的定義

設是二階矩過程，若均方極限存在,則稱此極限為在t0點的均方導數.或這時稱在t0處均方可導．記為

4

均方積分1.均方積分的定義設{X(t),t∈[a,b]}是二階矩過程，f(t,u)是[a,b]×U上的普通函數，對區間[a,b]

任一劃分作和式如果以下均方極限存在該均方極限值Y(u)稱為在[a,b]上的均方積分.且此極限不依懶于對[a,b]的分法及的取法,則稱在[a,b]上均方可積.記為即結論

設二階矩過程{X(t),t∈T}均方可導.則(1)導數過程的均值函數等于原過程均值函數的導數，即(2)導數過程和原過程的互相關函數等于原過程的相關函數關于s的偏導數，即(3)原過程和導數過程的互相關函數等于原過程的相關函數關于t的偏導數，即的的(4)導數過程相關函數等于原過程相關函數的二階混合偏導數，即是參數為定義設的Wiener過程.如果存在實隨機過程以為其相關函數，則稱該過程為Wiener過程的導數過程．記為從而稱參數為的Wiener過程的導數過程為參數為的白噪聲過程或白噪聲.七.布朗運動的導數過程八.布朗運動的積分過程積分布朗運動是正態過程九：在某點被吸收的布朗運動本章作業1.2.3.6