學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE10學必求其心得，業必貴于專精PAGE學業分層測評(十)余弦函數的圖象與性質（建議用時：45分鐘）[學業達標]一、選擇題1。(2016·廣州高一檢測)已知函數f（x)＝－cosx，下面結論錯誤的是(）A.函數f(x）的最小正周期為2πB。函數在區間eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)））上是增函數C.函數f(x）的圖象關于直線x＝0對稱D。函數f（x）是奇函數【解析】∵f（x)＝－cosx的圖象即為函數f(x)＝cosx的圖象繞x軸翻轉而成的,∴A、B、C均正確，函數f(x)應是偶函數，故選D。【答案】D2.（2016·南昌高一檢測）函數y＝|cosx|－1的最小正周期是()A。2kπ(k∈Z) B。3πC。π D.2π【解析】因為函數y＝｜cosx｜－1的周期同函數y＝｜cosx｜的周期一致，由函數y＝|cosx|的圖象知其最小正周期為π，所以y＝|cosx|－1的最小正周期也為π,故選C.【答案】C3.函數y＝1－2coseq\f（π,2）x的最小值，最大值分別是（）A。－1,3 B。－1，1C。0，3 D.0,1【解析】∵coseq\f（π,2）x∈[－1，1],∴－2coseq\f（π，2）x∈［－2，2］，∴y＝1－2coseq\f（π，2)x∈［－1,3]的最小值為－1,最大值為3.【答案】A4。下列關系式中正確的是(）A.sin11°<cos10°〈sin168°B.sin168°<sin11°〈cos10°C。sin11°〈sin168°〈cos10°D.sin168°〈cos10°<sin11°【解析】∵sin168°＝sin(180°－12°）＝sin12°＝cos78°，sin11°＝cos79°.由余弦函數的單調性得cos79°〈cos78°〈cos10°，即sin11°〈sin168°〈cos10°.【答案】C5.在（0,2π)內使sinx>|cosx|的x的取值范圍是（）A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4），\f（3π，4）)) B.eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,4),\f(π,2))）∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（5π,4），\f（3π,2))）C。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）,\f（π，2）)） D。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π，4），\f（7π，4)））【解析】∵sinx〉|cosx|，∴sinx〉0,∴x∈(0，π),在同一坐標系中畫出y＝sinx，x∈(0，π）與y＝｜cosx|，x∈（0，π）的圖象,觀察圖象易得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，4),\f(3π,4)））.【答案】A二、填空題6.函數y＝2coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，3)－ωx)）的最小正周期為4π，則ω＝________。【解析】∵4π＝eq\f(2π,|－ω|）,∴ω＝±eq\f(1，2）。【答案】±eq\f（1，2)7.利用余弦曲線,寫出滿足cosx>0,x∈［0，2π]的x的區間是__________.【解析】畫出y＝cosx，x∈［0，2π］上的圖象如圖所示.cosx>0的區間為eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）))∪eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（3π,2),2π）)。【答案】eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2))）∪eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（3π,2)，2π)）8.（2016·徐州高一檢測）函數y＝lg（eq\r(3）－2cosx）的定義域為________。【解析】由題意知eq\r(3）－2cosx＞0，即cosx＜eq\f（\r(3）,2），所以eq\f(π,6)＋2kπ＜x＜eq\f(11π,6）＋2kπ（k∈Z)，即函數的定義域為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，6)＋2kπ，\f(11π，6）＋2kπ)）（k∈Z)。【答案】eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,6)＋2kπ,\f（11π,6)＋2kπ）)（k∈Z)三、解答題9。判斷下列函數的奇偶性，并求它們的周期.(1)y＝3cos2x，x∈R;（2)y＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，4)x＋\f（3π，2）))，x∈R。【導學號：72010029】【解】(1)把2x看成一個新的變量u，那么cosu的最小正周期為2π,這就是說，當u增加到u＋2π且必須至少增加到u＋2π時,函數cosu的值重復出現。而u＋2π＝2x＋2π＝2（x＋π），所以當自變量x增加到x＋π且必須至少增加到x＋π時,函數值重復出現，因此，y＝3cos2x的周期為π。∵y＝f（x）＝3cos2x，f（－x）＝3cos(－2x)＝3cos2x，∴y＝3cos2x為偶函數.（2)函數y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,4）x＋\f(3π,2)）)的周期T＝eq\f(2π，\f(3，4))＝eq\f(8π，3）。∵x∈R，且f（x)＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，4)x＋\f(3π，2）））＝sineq\f(3,4）x，∴f(－x)＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3,4）x））＝－sineq\f（3，4)x＝－f（x），∴y＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,4）x＋\f(3π，2）)）為奇函數.10.求函數y＝sin2x＋acosx－eq\f(1,2)a－eq\f(3，2）的最大值為1時a的值。【解】y＝1－cos2x＋acosx－eq\f（1,2)a－eq\f（3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cosx－\f(a，2)））2＋eq\f（a2,4）－eq\f(1，2)a－eq\f（1，2).因為cosx∈[－1,1］，要使y最大，則必須滿足eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cosx－\f(a，2))）2最小。①當eq\f(a,2)〈－1，即a〈－2時，若cosx＝－1,則ymax＝－eq\f(3,2)a－eq\f（3,2）.由題設，令－eq\f（3,2)a－eq\f（3,2）＝1，得a＝－eq\f（5，3）>－2（舍去）；②當－1≤eq\f（a，2)≤1，即－2≤a≤2時，若cosx＝eq\f(a,2）,則ymax＝eq\f(a2,4)－eq\f(a，2)－eq\f(1,2)。由題設，令eq\f（a2，4)－eq\f（a，2)－eq\f（1，2）＝1，得a＝1±eq\r(7）（舍去正值)；③當eq\f(a,2)>1，即a>2時，若cosx＝1,則ymax＝eq\f(a，2）－eq\f(3,2），由題設,令eq\f（a，2)－eq\f(3,2)＝1，得a＝5.綜上所述a＝5或a＝1－eq\r(7).[能力提升]1。(2016·濰坊高一檢測)函數y＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（3π，2）))的(）A.最小正周期為2πB。圖象關于y軸對稱C。圖象關于原點對稱D。圖象關于x軸對稱【解析】函數y＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（3π，2））)的周期為:eq\f（2π，2）＝π。所以A不正確；函數y＝coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(3π,2)）)＝sin2x，當x＝0時，函數取得0，函數關于原點對稱，故B不正確,D不正確。【答案】C2。(2014·江蘇高考）已知函數y＝cosx與y＝sin(2x＋φ）（0≤φ＜π），它們的圖象有一個橫坐標為eq\f（π，3)的交點，則φ的值是________.【解析】由題意，得sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋φ）)＝coseq\f（π，3），因為0≤φ≤π，所以φ＝eq\f（π,6)。【答案】eq\f(π，6)3。已知函數f(x)＝2cosωx（ω＞0)，且函數y＝f(x)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為eq\f(π，2)。(1)求feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，8）)）的值；（2）將函數y＝f（x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x）的單調遞減區間.【解】(1）∵f（x)的周期T＝π，故eq\f（2π,ω）＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝2cos2x，∴feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,8）)）＝2coseq\f（π，4）＝eq\r(2).(2)將y＝f(x)的圖象向右平移eq\f（π，6)個單位后,得到y＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6）））的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變,得到y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x,4)－\f(π，6））)的圖象，所以g(x）＝feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(x,4）－\f（π,6）））＝2coseq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（2\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x，4）－\f(π,6)））））＝2coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x,2)－\f(π，3)))。當2kπ≤eq\f(x，2)－