學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE19學必求其心得，業必貴于專精PAGE2空間向量的運算（三）學習目標1.掌握兩個向量的數量積的概念、性質、計算方法及運算規律.2.掌握兩個向量的數量積的主要用途，能運用數量積求向量夾角和判斷向量的共線與垂直.知識點一空間向量數量積的概念思考1如圖所示，在空間四邊形OABC中,OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，類比平面向量有關運算，如何求向量eq\o（OA，\s\up6（→））與eq\o(BC,\s\up6(→）)的數量積?并總結求兩個向量數量積的方法。思考2在等邊△ABC中，eq\o（AB，\s\up6(→))與eq\o(BC，\s\up6（→）)的夾角是多少？梳理（1)定義：已知兩個非零向量a，b，則｜a｜|b｜cos〈a，b〉叫作a,b的數量積，記作a·b.(2）數量積的運算律數乘向量與向量數量積的結合律(λa）·b＝____________交換律a·b＝________分配律a·(b＋c)＝________知識點二空間向量的數量積的性質兩個向量數量積的性質①若a，b是非零向量，則a⊥b?____________②若a與b同向，則a·b＝__________；若反向,則a·b＝__________。特別地，a·a＝__________或|a｜＝eq\r(a·a)③若θ為a,b的夾角，則cosθ＝________________④|a·b｜≤｜a｜·｜b|類型一空間向量數量積的運算命題角度1空間向量數量積的基本運算例1(1)下列命題是否正確？正確的請給出證明,不正確的給予說明。①p2·q2＝（p·q）2；②｜p＋q|·|p－q|＝|p2－q2｜;③若a與(a·b）·c－（a·c）·b均不為0,則它們垂直.（2）設θ＝<a，b>＝120°，|a｜＝3，|b｜＝4，求：①a·b;②（3a－2b）·（a＋2b)。反思與感悟（1）如果已知a，b的模及a與b的夾角，則可直接代入數量積的公式計算。（2）如果欲求的是關于a與b的多項式形式的數量積，可以先利用數量積的運算律將多項式展開，再利用a·a＝｜a｜2及數量積公式進行計算。跟蹤訓練1已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|等于(）A。eq\r（7）B。eq\r(10）C.eq\r(13)D.4命題角度2利用空間向量的數量積解決立體幾何中的運算問題例2已知在長方體ABCD—1C1D1中，AB＝AA1＝2,AD＝4，E為側面AB1的中心，F為A1D1的中點。試計算：（1)eq\o（BC,\s\up6（→)）·eq\o(ED1，\s\up6(→）)；（2)eq\o（BF,\s\up6（→）)·eq\o（AB1，\s\up6(→））；（3）eq\o（EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→))。反思與感悟兩向量的數量積，其運算結果是數量，而不是向量。零向量與任意向量的數量積為0.向量的數量積不滿足結合律。跟蹤訓練2已知正四面體OABC的棱長為1，求：（1）（eq\o(OA，\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6（→）））·(eq\o(CA，\s\up6（→）)＋eq\o(CB,\s\up6（→)））；(2）|eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o（OB，\s\up6(→）)＋eq\o（OC，\s\up6(→）)|.類型二利用數量積求夾角或模命題角度1利用數量積求夾角例3已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的對角線都分別相互垂直且相等,若AB＝a,求異面直線BA1與AC所成的角.反思與感悟利用向量求異面直線夾角的方法跟蹤訓練3已知PO、PA分別是平面α的垂線、斜線，AO是PA在平面α內的投影，lα，且l⊥OA.求證：l⊥PA。命題角度2利用數量積求模(或距離）例4如圖所示，在平行六面體ABCD—B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的長。反思與感悟利用向量的數量積求兩點間的距離，可以轉化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式｜a｜＝eq\r(a·a)求解即可.跟蹤訓練4如圖，已知線段AB⊥平面α，BCα，CD⊥BC,DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D與A在α的同側,若AB＝BC＝CD＝2,求A,D兩點間的距離。類型三利用空間向量的數量積解決垂直問題例5如圖,在空間四邊形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求證:OA⊥BC.反思與感悟(1）證明線線垂直的方法證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數量積是否為0來判斷兩直線是否垂直。（2）證明與空間向量a，b，c有關的向量m,n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數量積是否為0.跟蹤訓練5已知向量a，b滿足：｜a|＝2，|b|＝eq\r（2），且a與2b－a互相垂直，則a與b的夾角為________.1。已知a,b，c是兩兩垂直的單位向量,則｜a－2b＋3c|等于()A.14 B.eq\r(14)C。4 D。22.在長方體ABCD－A1B1C1D1中,下列向量的數量積一定不為0的是()A。eq\o（AD1，\s\up6(→））·eq\o(B1C,\s\up6（→）) B。eq\o（BD1,\s\up6(→）)·eq\o（AC，\s\up6(→))C.eq\o（AB,\s\up6（→))·eq\o（AD1,\s\up6（→）) D.eq\o（BD1,\s\up6（→））·eq\o(BC,\s\up6（→）)3。在正方體ABCD－A1B1C1D1中，有下列命題：①（eq\o(AA1，\s\up6（→))＋eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o(AB，\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→)）2；②eq\o（A1C，\s\up6（→））·(eq\o（A1B1,\s\up6(→））－eq\o（A1A，\s\up6（→)））＝0；③eq\o（AD1，\s\up6（→)）與eq\o（A1B,\s\up6（→））的夾角為60°。其中真命題的個數為(）A.1 B.2C.3 D。04。已知a，b為兩個非零空間向量，若|a｜＝2eq\r(2),|b｜＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝－eq\r（2），則〈a，b〉＝________。5.已知正四面體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD的中點，則EF的長為________.1。空間向量運算的兩種方法（1)利用定義：利用a·b＝|a||b｜cos<a,b〉，并結合運算律進行計算.(2)利用圖形：計算兩個數量的數量積,可先將各向量移到同一頂點,利用圖形尋找夾角，再代入數量積公式進行運算。2.在幾何體中求空間向量數量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式。（2）利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積.(3）代入a·b＝|a｜｜b|cos〈a,b〉求解.提醒:完成作業第二章§2（三)

答案精析§2空間向量的運算(三)問題導學知識點一思考1∵eq\o（BC，\s\up6（→））＝eq\o（AC，\s\up6（→))－eq\o（AB,\s\up6(→）),∴eq\o（OA,\s\up6(→))·eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\o(OA,\s\up6(→）)·eq\o（AC，\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6（→）)·eq\o(AB，\s\up6(→））＝｜eq\o(OA,\s\up6（→))｜|eq\o（AC,\s\up6(→)）｜cos〈eq\o(OA，\s\up6（→）)，eq\o（AC,\s\up6（→)）>－|eq\o（OA，\s\up6（→))｜｜eq\o（AB,\s\up6(→))｜·cos〈eq\o（OA，\s\up6(→）)，eq\o（AB，\s\up6（→)）〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2）。求兩個向量的數量積需先確定這兩個向量的模和夾角,當夾角和長度不確定時，可用已知夾角和長度的向量來表示該向量,再代入計算。思考2120°.梳理（2)λ(a·b)b·aa·b＋a·c知識點二a·b＝0|a|·｜b|－|a｜·｜b｜|a｜2eq\f（a·b，|a||b|)題型探究例1(1)解①此命題不正確?！遬2·q2＝|p｜2·|q｜2,而（p·q）2＝（|p｜·｜q｜·cos〈p,q〉)2＝|p|2·|q｜2·cos2〈p，q〉,∴當且僅當p∥q時，p2·q2＝(p·q)2。②此命題不正確?！撸黳2－q2｜＝|(p＋q）·（p－q）|＝｜p＋q｜·|p－q|·|cos〈p＋q,p－q〉|，∴當且僅當(p＋q)∥(p－q)時，｜p2－q2｜＝｜p＋q｜·|p－q|.③此命題正確?！遖·［(a·b)·c－（a·c）·b］＝a·(a·b）·c－a·(a·c)·b＝(a·b）(a·c)－（a·b）（a·c）＝0，且a與(a·b）·c－（a·c）·b均為非零向量，∴a與(a·b）·c－(a·c)·b垂直。（2）解①∵a·b＝｜a|｜b｜cos〈a,b>,∴a·b＝3×4×cos120°＝－6.②∵（3a－2b）·(a＋2b)＝3|a｜2＋4a·b－4|b|2＝3|a｜2＋4|a|｜b｜cos120°－4｜b｜2，∴（3a－2b）·(a＋2b）＝3×9＋4×3×4×（－eq\f（1，2））－4×16＝27－24－64＝－61。跟蹤訓練1C例2解如圖，設eq\o(AB,\s\up6（→)）＝a,eq\o（AD,\s\up6(→））＝b，eq\o(AA1，\s\up6(→））＝c,則｜a｜＝|c|＝2，｜b|＝4,a·b＝b·c＝c·a＝0.（1)eq\o（BC，\s\up6(→））·eq\o(ED1，\s\up6（→））＝b·[eq\f（1,2)（c－a）＋b]＝|b｜2＝42＝16.（2)eq\o(BF,\s\up6（→)）·eq\o（AB1,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（c－a＋\f(1,2）b))·（a＋c)＝|c|2－|a｜2＝22－22＝0.(3)eq\o（EF，\s\up6（→））·eq\o（FC1，\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）c－a＋\f（1,2）b）)·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）b＋a））＝eq\f（1，2）（－a＋b＋c)·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)b＋a））＝－eq\f（1,2）｜a｜2＋eq\f(1，4)|b|2＝2.跟蹤訓練2解(1)（eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o（OB，\s\up6(→)））·(eq\o(CA，\s\up6（→))＋eq\o(CB,\s\up6(→）)）＝(eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6（→))）·(eq\o（OA，\s\up6(→)）－eq\o（OC，\s\up6(→))＋eq\o（OB,\s\up6(→）)－eq\o（OC,\s\up6(→)））＝(eq\o(OA，\s\up6（→))＋eq\o（OB，\s\up6（→)））·（eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o(OB,\s\up6(→））－2eq\o(OC，\s\up6（→）))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1。(2)|eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o（OB，\s\up6（→))＋eq\o（OC,\s\up6（→））|＝eq\r（\o(OA，\s\up6（→)）＋\o（OB,\s\up6(→））＋\o(OC,\s\up6（→））2\o（\s\up7(），\s\do5（）））＝eq\r（\o(OA，\s\up6(→））2＋\o(OB，\s\up6（→)）2＋\o（OC，\s\up6（→))2＋2\o（OA,\s\up6（→))·\o（OB，\s\up6（→))＋\o(OB,\s\up6(→））·\o（OC,\s\up6（→）)＋\o（OA，\s\up6(→））·\o(OC，\s\up6(→））\o（\s\up7（),\s\do5(））)＝eq\r(12＋12＋12＋21×1×cos60°×3)＝eq\r(6).例3解如圖所示,∵eq\o(BA1，\s\up6(→）)＝eq\o(BA，\s\up6（→))＋eq\o(BB1，\s\up6(→)）,eq\o（AC,\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→)），∴eq\o(BA1,\s\up6(→））·eq\o(AC,\s\up6(→))＝（eq\o（BA，\s\up6(→）)＋eq\o(BB1,\s\up6(→）)）·（eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o（BC,\s\up6（→）））＝eq\o（BA，\s\up6(→)）·eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（BA，\s\up6(→））·eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o(BB1,\s\up6(→））·eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o（BC,\s\up6（→））.∵AB⊥BC,BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up6（→))·eq\o（BC，\s\up6(→））＝0，eq\o(BB1，\s\up6（→)）·eq\o(AB，\s\up6(→))＝0,eq\o(BB1，\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6（→）)＝0且eq\o（BA,\s\up6(→))·eq\o（AB,\s\up6(→））＝－a2.∴eq\o(BA1，\s\up6（→))·eq\o（AC,\s\up6(→))＝－a2。又eq\o(BA1,\s\up6(→））·eq\o（AC,\s\up6(→))＝|eq\o（BA1，\s\up6（→））|·｜eq\o（AC，\s\up6（→）)|cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→）），eq\o（AC，\s\up6（→))>，∴cos〈eq\o（BA1,\s\up6（→))，eq\o(AC,\s\up6（→）)〉＝eq\f(－a2，\r（2）a·\r(2)a)＝－eq\f(1，2）。又∵<eq\o(BA1，\s\up6（→））,eq\o(AC，\s\up6(→）)〉∈[0°，180°］，∴〈eq\o(BA1,\s\up6（→））,eq\o（AC，\s\up6（→))〉＝120°，又∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴異面直線BA1與AC所成的角為60°。跟蹤訓練3證明如圖，取直線l的方向向量a，同時取向量eq\o（PO，\s\up6（→))，eq\o(OA,\s\up6（→））。因為l⊥OA，所以a·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0.因為PO⊥α，且lα,所以l⊥PO，因此a·eq\o(PO,\s\up6(→））＝0。又因為a·eq\o(PA，\s\up6（→))＝a·（eq\o（PO,\s\up6(→））＋eq\o(OA，\s\up6（→）))＝a·eq\o（PO，\s\up6(→))＋a·eq\o（OA，\s\up6(→）)＝0，所以l⊥PA.例4解因為eq\o（AC1,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\o(AA1,\s\up6(→)),所以eq\o(AC1，\s\up6(→)）2＝(eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o(AD,\s\up6（→))＋eq\o（AA1，\s\up6（→))）2＝eq\o（AB,\s\up6(→）)2＋eq\o（AD,\s\up6(→)）2＋eq\o(AA1，\s\up6(→))2＋2（eq\o（AB，\s\up6(→））·eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→)）＋eq\o（AD,\s\up6(→)）·eq\o(AA1,\s\up6（→）)).因為∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→）），eq\o(AD，\s\up6（→）)>＝90°，〈eq\o（AB,\s\up6（→）)，eq\o（AA1,\s\up6（→））〉＝〈eq\o(AD,\s\up6（→))，eq\o（AA1，\s\up6（→)）〉＝60°,所以eq\o(AC1，\s\up6（→）)2＝1＋4＋9＋2（1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因為eq\o(AC1,\s\up6（→）)2＝｜eq\o（AC1,\s\up6（→））｜2，所以｜eq\o（AC1，\s\up6(→）)｜2＝23，｜eq\o(AC1，\s\up6（→)）｜＝eq\r(23），即AC1＝eq\r(23).跟蹤訓練4解∵eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→））,∴｜eq\o(AD,\s\up6(→)）|2＝(eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(BC