一.數字濾波器的概念 １.濾波器：指對輸入信號起濾波作用的裝置。

,對其進行傅氏變換得:

2、當輸入、輸出是離散信號，濾波器的沖激響應是單位抽樣響應h（n）時，這樣的濾波器稱作數字濾波器。πωcω00ωcπω0ωcπωH(ejω)為矩形窗時的情形二、數字濾波器的系統(tǒng)函數與差分方程H(z)X(z)Y(z)1、系統(tǒng)函數2、差分方程對上式進行Z反變換，即得3、濾波器的功能與實現(xiàn)濾波就是對輸入序列進行一定的運算操作從而得到輸出序列實現(xiàn)濾波從運算上看,只需三種運算：加法、單位延遲、乘常數。因此實現(xiàn)的方法有兩種：（1）利用通用計算機編程，即軟件實現(xiàn);（2）數字信號處理器（DSP）即專用硬件實現(xiàn)。00低通0高通帶通00帶阻全通一個理想的選頻濾波器，可以讓信號中的某些頻率分量完全通過，同時完全抑制另外那些無用的頻率分量，它的期望特性(設計指標)一般都是以幅頻響應和相頻響應的形式給出的。例如，一個理想的低通濾波器，其頻率響應為：即在濾波器的通頻帶內，其幅頻響應為一常數，相頻響應為數字角頻率的線性函數。它的單位沖激響應為可見該系統(tǒng)是非因果的，因此是物理不可實現(xiàn)的。這個結論可以擴展到更一般的情況，就是說任何具有平坦的通帶和阻帶或者具有陡峭截止特性的濾波器，無論它是LP、HP、BP或BS都是非因果的，物理不可實現(xiàn)。

因此在工程上，我們總是用一物理可實現(xiàn)的線性時不變系統(tǒng)去逼近理想情況，例如在上例中，一般在沖激響應h(n)引入較大的延時n0，使它逼近于因果系統(tǒng)這樣，h’(n)的傅里葉變換H’(ejw)就不再具有理想的頻率特性。好在工程上的濾波器設計只要滿足一定的容差條件就可以了，容差條件可以用容線圖來描述1、DF的性能要求0通帶截止頻率阻帶截止頻率δ2：阻帶容限δ1:通帶的容限通帶阻帶過渡帶平滑過渡低通濾波器的性能指標高通濾波器的性能指標fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶下限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶上限截止頻率。阻帶衰減：As帶通濾波器的性能指標fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws2帶阻濾波器的性能指標fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws22、通常具體技術指標3、DF頻響的三個參量

（1）幅度平方響應

（2）相位響應（3）群延遲它是表示每個頻率分量的延遲情況；當其為常數時，就是表示每個頻率分量的延遲相同。4、DF設計內容（1）按任務要求確定Filter的性能指標；（2）用IIR或FIR系統(tǒng)函數去逼近這一性能要求；（3）選擇適當的運算結構實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數；（4）用軟件還是用硬件實現(xiàn)。第7章IIR濾波器的設計7.1引言一、IIR數字filter的設計方法

（1）借助模擬filter的設計方法a.將DF的技術指標轉換成AF的技術指標；b.按轉換后技術指標、設計模擬低通filter的；c.將d.如果不是低通，則必須先將其轉換成低通AF的技術指標。

（2）計算機輔助設計法（最優(yōu)化設計法）先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，最大誤差最小準則等，然后在此準則下，確定系統(tǒng)函數的系數。以上兩種設計方法中，著重講第一種，因為數字濾波器在很多場合所要完成的任務與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網絡等，這時數字濾波也可看作是“模仿”模擬濾波器。在IIR濾波器設計中，采用這種設計方法目前最普遍。由于計算機技術的發(fā)展，最優(yōu)化設計方法的使用也逐漸增多。

二、將DF的技術指標轉換為ALF的技術指標1、意義AF的設計有一套相當成熟的方法：設計公式；設計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃什，切比雪夫等。2、一般轉換方法（1）（2）（3）（4）3、轉換舉例例如，一低通DF的指標：在的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在的阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；試將這一指標轉換成ALF的技術指標。解：按照衰減的定義和給定指標，則有假定處幅度頻響的歸一化值為1，即這樣，上面兩式變?yōu)橛捎冢援敍]有混疊時，根據關系式模擬filter的指標為三、ALF的設計ALF的設計就是求出filter的系統(tǒng)函數Ha(S)，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的類型）有巴特沃什型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據是幅度平方函數，即由幅度平方函數確定系統(tǒng)函數。1、由幅度平方函數確定系統(tǒng)函數

（1）幅度平方函數由于所以其中，是AF的系統(tǒng)函數，是AF的頻響，是AF的幅頻特性。（2）Ha（S）Ha（-S）的零極點分布特點

a.如果S1是Ha（S）的極點，那麼-S1就是Ha（-S）的極點；同樣，如果S0是Ha（S）的零點，那麼-S0就是Ha（-S）的零點。所以Ha（S）Ha（-S）的零極點是呈象限對稱的,例如：b.虛軸上的零點一定是二階的，這是因為ha（t）是實數時的Ha（S）的零極點以共軛對存在；c.虛軸上沒有極點（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無極點）；d.由于filter是穩(wěn)定的，所以Ha（S）的極點一定在左半平面；最小相位延時，應取左半平面的零點，如無此要求，可取任一半對稱零點為Ha（S）的零點。(3)由確定的方法a.求b.分解得到各零極點，將左半面的極點歸于，對稱的零點任一半歸。若要求最小相位延時，左半面的零點歸（全部零極點位于單位圓內）。c.按頻率特性確定增益常數。[例]

由確定系統(tǒng)函數。解：所以，極點為零點為均為二階的。我們選極點-6，-7，一對虛軸零點為的零極點，這樣由，可確定出，所以。因此因7.2常用模擬濾波器設計一、巴特沃什低通濾波器

1、巴特沃什模擬低通濾波器的響應及其特點其中，N為filter的階數；為通帶截止頻率。a、特點：具有通帶內最大平坦的振幅特性，且隨f↗幅頻特性A(Q2)單調↘。注：巴特沃什模擬低通濾波器的帶寬恒為3dB帶寬，與階數無關(b). 巴特沃什濾波器在通帶內和阻帶內均為單調變化，單調下降函數。(d). 隨階次的增大而越來越接近于理想低通濾波器。(c). 當并且由于幅度平方函數的前2N-1階導數在Q=0處為零，故又稱為最大平坦響應濾波器。幅頻特性1.00N=2N=4N=8

通帶：使信號通過的頻帶阻帶：抑制噪聲通過的頻帶過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍Ωc：通帶邊界頻率。理想濾波器過渡帶為零阻帶|H(jΩ)|=0通帶內幅度|H(jΩ)|=const.H(jΩ)的相位線性2、巴特沃什filter的系統(tǒng)函數由所以其零點全部在處；即所謂全極點型，假設Qc=1，則它的極點為也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布在巴特沃什圓上（半徑為），共有2N點。例如，N=2時，N=3時，4考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取左半平面的極點為的極點，這樣極點僅有N個，即其中，常數由的低頻特性決定。則注：極點不可能出現(xiàn)在虛軸上，而是等間隔的分布在以Qc為半徑的圓周上，間隔為[例]導出三階巴特沃什LF的系統(tǒng)函數，設解：所以其極點為因此有取前三個極點，則有3、歸一化的系統(tǒng)函數如果將系統(tǒng)函數的S,用濾波器的截止頻率去除，這樣對應的截止頻率變?yōu)?，即所謂歸一化，相應的系統(tǒng)函數稱作歸一化的系統(tǒng)函數記作例如，對于巴特沃什filter如果將低通filter歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。4、歸一化原型filter的設計數據

不論哪種形式（巴特沃什，切比雪夫）的filter，都有自己的歸一化原型filter，而且它們都有現(xiàn)成的數據表可查和設計公式例如，歸一化巴特沃什原型filter的系統(tǒng)函數（這里的S即）為當,增益為1，則有，N=1--10階的各個系數，如表所示。如果，則E（S）的根。即的極點所示。*由歸一化系統(tǒng)函數得，只需將S代入即可。5、設計舉例（巴特沃什filter）

a.技術指標

b.計算所需的階數及3dB截止頻率將技術指標，代入上式，可得解上述兩式得：因此，取N=6，則c.的求得查表，可得N=6時的歸一化原型模擬巴特沃什LF的系統(tǒng)函數為將S用代入，可得二、切比雪夫（chebyshev）濾波器

特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。

巴特沃什濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多，或者說，為了使通常內的衰減足夠小，需要的階次（N）很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的。切比雪夫濾波器的在通帶范圍內是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數較巴特沃什濾波器要小。可根據需要對通帶內允許的衰減量（波動范圍）提出要求，如要求波動范圍小于1db。

1、TN（x）—N階切比雪夫多項式，定義為coshx返回x的雙曲余弦值，定義為(exp(x)+exp(-x))/2利用遞推公式：及可以得任意階數的切比雪夫多項式的展開式：一般而言，有(a).N階切比雪夫多項式 為x的N階多項式(b).N為奇數時，為奇函數；N為偶數時，為偶函數(c).(d).當振幅平方函數為—有效通帶截止頻率—與通帶波紋有關的參量，大，波紋大。

2、頻率響應及其特點如圖,通帶內變化范圍1~

Ω＞Ωc，隨Ω/Ωc↗，→0(迅速趨于零)平方幅頻特性在過渡區(qū)和阻帶內單調下降,當其幅度減小到1/A2處時的頻率稱為阻帶截止頻率．當Ω

=0時，

N為偶數，，min，N為奇數，，max，

給定通帶波紋值分貝數后，可求。3、有關參數的確定:a、通帶截止頻率Ωc，預先給定b、通帶波紋為c、階數N—由阻帶的邊界條件確定。（、A事先給定）

（3）濾波器的傳遞函數的確定:例：試設計一切比雪夫LF，使其滿足下述指標：1、要求在通帶內的波紋起伏不大于2dB2、截止頻率為40rad/s3、阻帶52rad/s處的衰減大于20dB解（1）歸一化處理a.歸一化截止頻率Qc為1rad/s.b.歸一化阻帶Qs=52/40=1.3rad/s（2）參數求取（3）函數確定4、橢圓濾波器（考爾濾波器）特點：幅值響應在通帶和阻帶內都是等波紋的，對于給定的階數和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。

其振幅平方函數為

RN（Ω，L）—雅可比橢圓函數 L—表示波紋性質的參量N=5，的特性曲線

可見，在歸一化通帶內（-1≤Ω≤1），在（0，1）間振蕩，而超過ΩL后，在間振蕩。

這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。

橢圓濾波器的振幅平方函數

圖中ε和A的定義同切比雪夫濾波器ΩrΩr當Ωc、Ωr、ε和A確定后，階次N的確定方法為：式中為第一類完全橢圓積分上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設計方法，設計時按照指標要求，合理選用。一般，相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃什最高，參數的靈敏度則恰恰相反。

巴特沃什濾波器 頻響在通帶和阻帶內均單調變化 帶寬恒為3dB帶寬，與階數無關切比雪夫濾波器 切比雪夫I型頻響在通帶內等波紋變化，在阻帶內單調，切比雪夫II型頻響在通帶內單調，在阻帶內等波紋變化帶寬一般不是3dB帶寬，橢圓濾波器 頻響在通帶和阻帶內均等波紋變化 帶寬一般不是3dB帶寬，7.3通過模擬濾波器設計IIR數字濾波器在前一節(jié)我們介紹了模擬濾波器的設計方法，可見，現(xiàn)在的模擬濾波器設計技術非常成熟，許多常用的模擬濾波器都有現(xiàn)成的設計公式，只要將設計指標代入設計公式，就可以很容易的計算出濾波器系統(tǒng)參數，實現(xiàn)起來相當簡單。而且，在很多場合下，用離散時間系統(tǒng)模擬一個連續(xù)時間系統(tǒng)是有意義的。思路：(a).先設計一個滿足性能指標的模擬濾波器(b).采用映射變換的方式從得到需要的數字濾波器H(Z)通常有兩種方法：（1）沖激響應不變法；（2）雙線性變換法。映射變換的基本要求1、因果性不變2、穩(wěn)定性不變3、頻率響應形狀不變，保留模擬頻響的基本特性s平面左半平面z平面單位圓內(保證物理可實現(xiàn)性不變)s平面虛軸z平面單位圓上

一、沖激響應不變法1、變換原理

利用模擬濾波器理論設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。沖激響應不變法是從濾波器的沖激響應出發(fā)，使數字濾波器的沖激響應序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應ha(t)的采樣值，即h(n)=ha(nT),T為采樣周期

如以Ha(s)及H（z）分別表示ha(t)的拉氏變換及h(n)的Z變換，即Ha(s)=L[ha(t)],H(z)=Z[h(n)]2、映射變換

假如已設計出滿足性能指標的模擬濾波器，其單位沖激響應為,記為的采樣，即：則由拉普拉斯變換（定義、性質）比較上面兩式得，即s平面與z平面之間的映射變換為以上表明，采用沖激響應不變法將模擬濾波器變換為數字濾波器時，它所完成的S平面到Z平面的變換，正是拉氏變換到Z變換的標準變換關系，即首先對Ha(s)作周期延拓，然后再經過的映射關系映射到Z平面上。穩(wěn)定性：如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點Si都在S左半平面，即Re[si]＜0,那么變換后H(Z)的極點也都在單位圓以內，因此數字濾波器保持穩(wěn)定。映射關系：

S平面上每一條寬為的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個平面上:每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內，每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外，軸映射到單位圓上，軸上每一段都對應于繞單位圓一周。可以保證穩(wěn)定性和因果性。又因為可以將s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，所以基本保持頻率響應的形狀不變S平面Z平面3、頻響關系上面我們討論的是s平面與z平面之間的映射關系，通過將模擬濾波器ha(t)的系統(tǒng)函數Ha(s)與數字濾波器h(n)的系統(tǒng)函數H(Z)聯(lián)系、對照，得出的映射關系實質上也是系統(tǒng)函數之間的關系。下面將討論模擬濾波器ha(t)和數字濾波器h(n)頻率響應之間的關系，即考察ha(t)的傅里葉變換Ha(jQ)和h(n)的變換H(ejw)之間的關系，從而推導出模擬角頻率Q和數字角頻率W之間的關系。因為所以根據取樣定理，只有當AF的頻響帶限于折疊頻率以內時，即才能使DF在折疊頻率內重現(xiàn)AF的頻響，而不產生混疊失真。但是，任何一個實際AF的頻響卻不是嚴格帶限的，就會產生混迭失真，如下圖0沖激響應不變法中的頻響混淆模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用沖激響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。4、AF的數字化方法

（1）一般方法例：已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數H(s)=A/(s-a),試用沖激響應不變法求相應的數字濾波器的系統(tǒng)函數H(Z)解:對H(S)進行拉氏反變換,求得模擬系統(tǒng)單位響應:先做，再對抽樣，使，最后一般來說過程比較復雜。上述方法適用于一般的模擬系統(tǒng)函數可以用部分分式展開成為上述那樣單極點和的形式.

（2）方法的簡化設只有單階極點，而且分母的階次大于分子的階次，可展成如下的部分公式例:模擬系統(tǒng)函數如下:試用沖激響應不變法求出相應的數字濾波器的系統(tǒng)函數.解:將上式分解為部分分式之和:可見該模擬系統(tǒng)有一對共軛極點:相應的數字濾波器也有一對極點:數字濾波器的系統(tǒng)函數為:（3）、修正例將一個具有如下系統(tǒng)函數的模擬濾波器數字化。

解：

模擬濾波器的頻率響應為:示于圖a數字濾波器的頻率響應為:示于圖b

顯然數字濾波器的頻率響應與采樣間隔T有關,T越小,衰減越大,混疊越小,當fs=24Hz,混疊可忽略不計,為什么混迭呢?小結1)沖激響應不變法的一個重要特點是頻率坐標的變換是線性的，ω＝ΩΤ，ω與Ω是線性關系。因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內的話，通過變換后數字濾波器的頻響可不失真地反映原響應與頻率的關系。

例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過沖激響應不變法得到的仍是線性相位的低通數字濾波器。2)在某些場合，要求數字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實現(xiàn)時域沖激響應的模仿，一般使用沖激響應不變法。

3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。4)沖激響應不變法的最大缺點：有頻譜周期延拓效應，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通和帶阻濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中，此時可增加一保護濾波器，濾掉高于的頻帶，再用沖激響應不變法轉換為數字濾波器，這會增加設計的復雜性和濾波器階數，只有在一定要滿足頻率線性關系或保持網絡瞬態(tài)響應時才采用。

二、雙線性變換法沖激響應不變法的主要缺點是頻譜交疊產生的混淆，這是從S平面到Z平面的標準變換z＝esT的多值對應關系導致的,為了克服這一缺點，設想變換分為兩步：第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；第二步：通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去。

由此建立S平面與Z平面一一對應的單值關系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。s平面s1平面z平面雙線性變換法的映射關系時，Q將由經過0變到由上圖可知，將S平面進行壓縮，實際上，就是將其軸壓縮到平面的軸上的到的范圍內。這可通過正切變換實現(xiàn)：其中C為任意常數。由上式可知，當由經過0變到通過歐拉公式，可得：上式表示兩個線性函數之比，稱作線性分式變換，若用S表示Z，可得：將上式關系延拓到整個S和平面，則有：借助于平面和Z平面的映射關系：，可以得到：可見，也是線性分式變換（函數），這樣()間的變換是雙向的，故稱作雙線性變換。雙線性換法的主要優(yōu)點是S平面與Z平面一一單值對應，S平面的虛軸(整個jΩ)對應于Z平面單位圓的一周，S平面的Ω=0處對應于Z平面的ω=0處，對應的數字濾波器的頻率響應終止于折疊頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應。2、S平面與Z平面的映射關系由于可得：（1）當時，；這就是說，S平面的軸映射Z平面的單位圓上。（2）當時，上式的分母大于分子，則有；這表明S左半平面映射到Z平面的單位圓內。兩者均是穩(wěn)定的。（3）當時，上式的分子大于分母，則有；這表明S右半平面映射到Z平面的單位圓外。即s左半平面映射在單位圓內，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數字濾波器也是穩(wěn)定的。如圖。s平面s1平面z平面雙線性變換法的映射關系(1)如果使AF和DF在低頻處有較確切的對應關系，則選擇這時有，即(2)如果使DF的某一穩(wěn)定頻率（如）與AF的一特定頻嚴格相對應，則有率即3、變換常數C的選擇由于，所以只有當很小（一般），和之間才存在線性關系，即：4、雙線性變換的特點(1)S平面的虛軸（）映射到Z平面的單位圓上。這是因為時，不管常數C為何值，均為1(2)穩(wěn)定的AF，經雙線性變換后所得DF也一定是穩(wěn)定的，這是因為穩(wěn)定的AF，其極點必全部位于S的左半平面上，經雙線性變換后，這些極點全部落在單位圓內。(3)其突出的優(yōu)點是避免了頻響的混疊失真。說明如下：將代入雙線性變換公式，且則即亦即從時，則從；這就是說，S平面的正虛軸被映射到Z平面的單位圓的上半部從時，則從；這就是說，S平面的負虛軸被映射到Z平面的單位圓的下半部也就是說，從S平面到Z平面，頻率軸是單位變換關系，而且當時，為折疊頻率，所以不會有高于折疊頻率的分量，因此不會產生混疊失真。(4)雙線性變換缺點：Ω與ω成非線性關系，導致：a.數字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變，(使數字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關系上發(fā)生畸變)。

例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關系但通過雙線性變換后，就不可能得到數字微分器b.線性相位模擬濾波器經雙線性變換后，得到的數字濾波器為非線性相位。c.要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段恒定的，故雙線性變換能用于設計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設計工具。這是因為大多數濾波