..圓錐曲線離心率專題訓練1．已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點P,使得PF1⊥PF2,則橢圓離心率的取值范圍是〔A．[,1B．[,1C．〔0,]D．〔0,]2．二次曲線時,該曲線離心率e的范圍是〔A．B．C．D．3．橢圓焦點在x軸上,A為該橢圓右頂點,P在橢圓上一點,∠OPA=90°,則該橢圓的離心率e的范圍是〔A．[,1B．〔,1C．[,D．〔0,4．雙曲線的離心率e∈〔1,2,則k的取值范圍是〔A．〔﹣∞,0B．〔﹣3,0C．〔﹣12,0D．〔﹣60,﹣125．設F1,F2為橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點P滿足∠F1PF2=120°,則橢圓的離心率的取值范圍是〔A．B．C．D．6．已知橢圓的內接三角形有一個頂點在短軸的頂點處,其重心是橢圓的一個焦點,求該橢圓離心率e的取值范圍〔A．B．C．D．7．已知橢圓x2+my2=1的離心率,則實數m的取值范圍是〔A．B．C．D．8．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點,焦點在x軸上,左、右焦點分別為F1,F2且它們在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1A．〔0,B．〔,C．〔,D．〔,19．橢圓的內接矩形的最大面積的取值范圍是[3b2,4b2],則該橢圓的離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．10．如圖,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x〔x∈〔0,1．以A,B為焦點,且過點D的雙曲線的離心率為e1；以C,D為焦點,且過點A的橢圓的離心率為e2,則e1+e2的取值范圍為〔A．[2,+∞B．〔,+∞C．[,+∞D．〔,+∞11．已知雙曲線的焦距為2c,離心率為e,若點〔﹣1,0與點〔1,0到直線的距離之和為S,且S,則離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．12．已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,若存在點P為橢圓上一點,使得∠F1PF2=60°,則橢圓離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0〔a,b,c∈R的三個實根可分別作為一橢圓,一雙曲線、一拋物線的離心率,則的取值范圍是〔A．B．C．D．14．已知橢圓上到點A〔0,b距離最遠的點是B〔0,﹣b,則橢圓的離心率的取值范圍為〔A．B．C．D．15．已知雙曲線的中心在原點,焦點x軸上,它的一條漸近線與x軸的夾角為α,且,則雙曲線的離心率的取值范圍是〔A．B．C．〔1,2D．16．已知雙曲線﹣=1的兩焦點為F1、F2,點P在雙曲線上,∠F1PF2的平分線分線段F1F2A．〔1,]B．〔1,C．〔2,]D．〔,2]17．橢圓+=1〔a＞b＞0上一點A關于原點的對稱點為B,F為其右焦點,若AF⊥BF,設∠ABF=a,且a∈[,],則該橢圓離心率的取值范圍為〔A．[,1]B．[,]C．[,1D．[,]18．已知橢圓的左、右焦點分別為F1〔﹣c,0,F2〔c,0,若橢圓上存在點P使,則該橢圓的離心率的取值范圍為〔A．〔0,B．〔C．〔0,D．〔,119．已知直線l：y=kx+2〔k為常數過橢圓的上頂點B和左焦點F,且被圓x2+y2=4截得的弦長為L,若,則橢圓離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．20．雙曲線的焦距為2c,直線l過點〔a,0和〔0,b,且點〔1,0到直線l的距離與點〔﹣1,0到直線l的距離之和．則雙曲線的離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．21．點A是拋物線C1：y2=2px〔p＞0與雙曲線C2：〔a＞0,b＞0的一條漸近線的交點,若點A到拋物線C1的準線的距離為p,則雙曲線C2的離心率等于〔A．B．C．D．22．在橢圓上有一點M,F1,F2是橢圓的兩個焦點,若,則橢圓離心率的范圍是〔A．B．C．D．23．橢圓+y2=1上存在一點P,使得它對兩個焦點F1,F2的張角∠F1PF2=,則該橢圓的離心率的取值范圍是〔A．〔0,]B．[,1C．〔0,]D．[,124．橢圓〔a＞b＞0上存在點P到原點的距離等于該橢圓的焦距,則橢圓的離心率的取值范圍是〔A．〔0,1B．〔0,C．D．25．橢圓的左右焦點分別為F1,F2,若橢圓C上恰好有6個不同的點P,使得△F1F2A．B．C．D．26．設A1、A2為橢圓的左右頂點,若在橢圓上存在異于A1、A2的點P,使得,其中O為坐標原點,則橢圓的離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．27．已知點F1、F2分別是雙曲線=1的左、右焦點,過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點,若A、B和雙曲線的一個頂點構成的三角形為銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是〔A．〔1,1+B．〔1,C．〔﹣1,1+D．〔1,228．如圖,已知A〔﹣2,0,B〔2,0,等腰梯形ABCD滿足|AB|=﹣2|CD|,E為AC上一點,且．又以A、B為焦點的雙曲線過C、D、E三點．若,則雙曲線離心率e的取值范圍為〔A．B．C．D．29．已知橢圓〔a＞b＞0上一點A關于原點的對稱點為B,F為其右焦點,若AF⊥BF,設∠ABF=α,且,則該橢圓離心率e的取值范圍為〔A．B．C．D．30．已知P為橢圓〔a＞b＞0上一點,F1,F2是橢圓的左、右焦點,若使△PF1F2A．〔0,B．〔,1C．〔1,D．〔,+∞參考答案與試題解析1．已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點P,使得PF1⊥PF2,則橢圓離心率的取值范圍是〔A．[,1B．[,1C．〔0,]D．〔0,]解：如圖所示,下面證明橢圓的短軸的一個端點是到橢圓的中心距離最短的點．設橢圓上任意一點P〔x0,y0,則,可得．∴|OP|2==+=≥b2,當且僅當x0=0時取等號．∴橢圓的短軸的一個端點是到橢圓的中心距離最短的點．若橢圓上存在點P,使得PF1⊥PF2,則c≥b,∴c2≥b2=a2﹣c2,化為,解得．又e＜1,∴．故選B．2．二次曲線時,該曲線離心率e的范圍是〔A．B．C．D．解：∵m∈[﹣2,﹣1],∴該曲線為雙曲線,a=2,b2=﹣m,∴c=離心率e==∵m∈[﹣2,﹣1],∴∈[,],∴e∈故選C3．橢圓焦點在x軸上,A為該橢圓右頂點,P在橢圓上一點,∠OPA=90°,則該橢圓的離心率e的范圍是〔A．[,1B．〔,1C．[,D．〔0,解：可設橢圓的標準方程為：〔a＞b＞0．設P〔x,y,∵∠OPA=90°,∴點P在以OA為直徑的圓上．該圓為：,化為x2﹣ax+y2=0．聯立化為〔b2﹣a2x2+a3x﹣a2b2=0,則,解得,∵0＜x＜a,∴,化為c2＞b2=a2﹣c2,∴,又1＞e＞0．解得．∴該橢圓的離心率e的范圍是．故選：C．4．雙曲線的離心率e∈〔1,2,則k的取值范圍是〔A．〔﹣∞,0B．〔﹣3,0C．〔﹣12,0D．〔﹣60,﹣12解：∵雙曲線的離心率e∈〔1,2,∴雙曲線標準方程為：﹣=1∴k＜0,∴1＜e2＜4,1＜＜4,﹣12＜k＜0,故答案選C5．設F1,F2為橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點P滿足∠F1PF2=120°,則橢圓的離心率的取值范圍是〔A．B．C．D．解：F1〔﹣c,0,F2〔c,0,c＞0,設P〔x1,y1,則|PF1|=a+ex1,|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2解得x12=．∵x12∈〔0,a2],∴0≤＜a2,即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故橢圓離心率的取范圍是e∈．故選A．6．已知橢圓的內接三角形有一個頂點在短軸的頂點處,其重心是橢圓的一個焦點,求該橢圓離心率e的取值范圍〔A．B．C．D．解：不防設橢圓方程：〔a＞b＞0,再不妨設：B〔0,b,三角形重心G〔c,0,延長BG至D,使|GD|=,設D〔x,y,則,,由,得：,解得：,．而D是橢圓的內接三角形一邊AC的中點,所以,D點必在橢圓內部,則．把b2=a2﹣c2代入上式整理得：．即．又因為橢圓離心率e∈〔0,1,所以,該橢圓離心率e的取值范圍是．故選B．7．已知橢圓x2+my2=1的離心率,則實數m的取值范圍是〔A．B．C．D．解：橢圓x2+my2=1化為標準方程為①若1＞,即m＞1,,∴,∴,∴②若,即0＜m＜1,,∴,∴,∴∴實數m的取值范圍是故選C．8．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點,焦點在x軸上,左、右焦點分別為F1,F2且它們在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1A．〔0,B．〔,C．〔,D．〔,1解：設橢圓的方程為+=1〔a＞b＞0,其離心率為e1,雙曲線的方程為﹣=1〔m＞0,n＞0,|F1F2|=2c∵有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1∴在橢圓中,|PF1|+|PF2|=2a,而|PF2|=|F1F2|=2c∴|PF1|=2a﹣2c；①同理,在該雙曲線中,|PF1|=2m+2c；②由①②可得a=m+2c．∵e2=∈〔1,2,∴＜=＜1,又e1==,∴==+2∈〔,3,∴＜e1＜．故選C．9．橢圓的內接矩形的最大面積的取值范圍是[3b2,4b2],則該橢圓的離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．解：在第一象限內取點〔x,y,設x=acosθ,y=bsinθ,〔0＜θ＜則橢圓的內接矩形長為2acosθ,寬為2bsinθ,內接矩形面積為2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab,由已知得：3b2≤2ab≤4b2,∴3b≤2a≤4b,平方得：9b2≤4a2≤16b2,9〔a2﹣c2≤4a2≤16〔a2﹣c2,5a2≤9c2且12a2≥16c2,∴≤≤即e∈故選B．10．如圖,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x〔x∈〔0,1．以A,B為焦點,且過點D的雙曲線的離心率為e1；以C,D為焦點,且過點A的橢圓的離心率為e2,則e1+e2的取值范圍為〔A．[2,+∞B．〔,+∞C．[,+∞D．〔,+∞解：BD==,∴a1=,c1=1,a2=,c2=x,∴e1=,e2=,e1e2=1但e1+e2中不能取"=",∴e1+e2=+=+,令t=﹣1∈〔0,﹣1,則e1+e2=〔t+,t∈〔0,﹣1,∴e1+e2∈〔,+∞∴e1+e2的取值范圍為〔,+∞．故選B．11．已知雙曲線的焦距為2c,離心率為e,若點〔﹣1,0與點〔1,0到直線的距離之和為S,且S,則離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．解：直線l的方程為,即bx﹣ay﹣ab=0．由點到直線的距離公式,且a＞1,得到點〔1,0到直線l的距離d1=,同理得到點〔﹣1,0到直線l的距離．d2=,s=d1+d2==．由S,即得?a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式,得．由于e＞1＞0,所以e的取值范圍是e∈．故選A．12．已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,若存在點P為橢圓上一點,使得∠F1PF2=60°,則橢圓離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．解：如圖,當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時,P對兩個焦點的張角∠F1PF2漸漸增大,當且僅當P點位于短軸端點P0處時,張角∠F1PF2達到最大值．由此可得：∵存在點P為橢圓上一點,使得∠F1PF2=60°,∴△P0F1F2中,∠F1P0F2≥60°,可得Rt△P0OF2所以P0O≤OF2,即bc,其中c=∴a2﹣c2≤3c2,可得a2≤4c2,即≥∵橢圓離心率e=,且a＞c＞0∴故選C13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0〔a,b,c∈R的三個實根可分別作為一橢圓,一雙曲線、一拋物線的離心率,則的取值范圍是〔A．B．C．D．解：設f〔x=x3+2ax2+3bx+c,由拋物線的離心率為1,可知f〔1=1+2a+3b+c=0,故c=﹣1﹣2a﹣3b,所以f〔x=〔x﹣1[x2+〔2a+1x+〔2a+3b+1]的另外兩個根分別是一個橢圓一個雙曲線的離心率,故g〔x=x2+〔2a+1x+〔2a+3b+1,有兩個分別屬于〔0,1,〔1,+∞的零點,故有g〔0＞0,g〔1＜0,即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0,則a,b滿足的可行域如圖所示,由于,則P〔﹣1,而表示〔a,b到〔0,0的距離,且〔0,0到P〔﹣1,的距離為d=可確定的取值范圍是〔,+∞．故答案為：A．14．已知橢圓上到點A〔0,b距離最遠的點是B〔0,﹣b,則橢圓的離心率的取值范圍為〔A．B．C．D．解：設點P〔x,y是橢圓上的任意一點,則,化為．∴|PA|2=x2+〔y﹣b2===f〔y,∵橢圓上的點P到點A〔0,b距離最遠的點是B〔0,﹣b,由二次函數的單調性可知：f〔y在〔﹣b,b單調遞減,∴,化為c2≤b2=a2﹣c2,即2c2≤a2,∴．又e＞0．∴離心率的取值范圍是．故選：C．15．已知雙曲線的中心在原點,焦點x軸上,它的一條漸近線與x軸的夾角為α,且,則雙曲線的離心率的取值范圍是〔A．B．C．〔1,2D．解：∵雙曲線的焦點在x軸上,故其漸近線方程為y=x則tanα=∵,∴1＜tanα＜,即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故選B．16．已知雙曲線﹣=1的兩焦點為F1、F2,點P在雙曲線上,∠F1PF2的平分線分線段F1F2A．〔1,]B．〔1,C．〔2,]D．〔,2]解：根據內角平分線的性質可得=,再由雙曲線的定義可得5PF2﹣PF2=2a,PF2=,由于PF2=≥c﹣a,∴≥c,≤．再由雙曲線的離心率大于1可得,1＜e≤,故選A．17．橢圓+=1〔a＞b＞0上一點A關于原點的對稱點為B,F為其右焦點,若AF⊥BF,設∠ABF=a,且a∈[,],則該橢圓離心率的取值范圍為〔A．[,1]B．[,]C．[,1D．[,]解：∵B和A關于原點對稱∴B也在橢圓上設左焦點為F′根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①O是Rt△ABF的斜邊中點,∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[,],∴≤α+π/4≤∴≤sin〔α+≤1∴≤e≤故選B18．已知橢圓的左、右焦點分別為F1〔﹣c,0,F2〔c,0,若橢圓上存在點P使,則該橢圓的離心率的取值范圍為〔A．〔0,B．〔C．〔0,D．〔,1解：在△PF1F2則由已知得：,即：aPF1=cPF2設點P〔x0,y0由焦點半徑公式,得：PF1=a+ex0,PF2=a﹣ex0則a〔a+ex0=c〔a﹣ex0解得：x0==由橢圓的幾何性質知：x0＞﹣a則＞﹣a,整理得e2+2e﹣1＞0,解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1,又e∈〔0,1,故橢圓的離心率：e∈〔﹣1,1,故選D．19．已知直線l：y=kx+2〔k為常數過橢圓的上頂點B和左焦點F,且被圓x2+y2=4截得的弦長為L,若,則橢圓離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．解：圓x2+y2=4的圓心到直線l：y=kx+2的距離為d=∵直線l：y=kx+2被圓x2+y2=4截得的弦長為L,∴由垂徑定理,得2,即,解之得d2≤∴≤,解之得k2∵直線l經過橢圓的上頂點B和左焦點F,∴b=2且c==﹣,即a2=4+因此,橢圓的離心率e滿足e2===∵k2,∴0＜≤,可得e2∈〔0,]故選：B20．雙曲線的焦距為2c,直線l過點〔a,0和〔0,b,且點〔1,0到直線l的距離與點〔﹣1,0到直線l的距離之和．則雙曲線的離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．解：直線l的方程為+=1,即bx+ay﹣ab=0．由點到直線的距離公式,且a＞1,得到點〔1,0到直線l的距離,同理得到點〔﹣1,0到直線l的距離.,．由,得．．于是得5≥2e2,即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1＞0,所以e的取值范圍是．故選D．21．點A是拋物線C1：y2=2px〔p＞0與雙曲線C2：〔a＞0,b＞0的一條漸近線的交點,若點A到拋物線C1的準線的距離為p,則雙曲線C2的離心率等于〔A．B．C．D．解：取雙曲線的其中一條漸近線：y=x,聯立?；故A〔,．∵點A到拋物線C1的準線的距離為p,∴+=p；∴=．∴雙曲線C2的離心率e===．故選：C．22．在橢圓上有一點M,F1,F2是橢圓的兩個焦點,若,則橢圓離心率的范圍是〔A．B．C．D．解：由橢圓定義可知：|MF1|+|MF2|=2a,所以…①,在△MF1F2中,由余弦定理可知…②又,…③,由①②③可得：4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|?|MF2|cosθ．所以|MF1|?|MF2|cosθ=0．所以c≥b,即c2≥b2=a2﹣c2,2c2≥a2,,所以e∈．故選B．23．橢圓+y2=1上存在一點P對兩個焦點F1,F2的張角∠F1PF2=,則該橢圓的離心率的取值范圍是〔A．〔0,]B．[,1C．〔0,]D．[,1解：∵橢圓方程為：+y2=0,∴b2=1,可得c2=a2﹣1,c=∴橢圓的離心率為e=又∵橢圓上一點P,使得角∠F1PF2=,∴設點P的坐標為〔x0,y0,結合F1〔﹣c,0,F2〔c,0,可得=〔﹣c﹣x0,﹣y0,=〔c﹣x0,﹣y0,∴=+=0…①∵P〔x0,y0在橢圓+y2=1上,∴=1﹣,代入①可得+1﹣=0將c2=a2﹣1代入,得﹣a2﹣+2=0,所以=,∵﹣a≤x0≤a∴,即,解之得1＜a2≤2∴橢圓的離心率e==∈[,1．24．如果橢圓〔a＞b＞0上存在點P,使P到原點的距離等于該橢圓的焦距,則橢圓的離心率的取值范圍是〔A．〔0,1B．〔0,C．D．解：設P〔x,y,∵P到原點的距離等于該橢圓的焦距,∴x2+y2=4c2①∵P在橢圓上,∴②聯立①②得,∵0≤x2≤a2∴∴∴∴e∈故選C25．橢圓的左右焦點分別為F1,F2,若橢圓C上恰好有6個不同的點P,使得△F1F2A．B．C．D．解：①當點P與短軸的頂點重合時,△F1F2P構成以F1F此種情況有2個滿足條件的等腰△F1F2②當△F1F2P構成以F1F以F2P作為等腰三角形的底邊為例,∵F1F2=F1∴點P在以F1為圓心,半徑為焦距2c的圓上因此,當以F1為圓心,半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時,存在2個滿足條件的等腰△F1F2此時a﹣c＜2c,解得a＜3c,所以離心率e當e=時,△F1F2同理,當F1P為等腰三角形的底邊時,在e且e≠時也存在2個滿足條件的等腰△F1F2這樣,總共有6個不同的點P使得△F1F2綜上所述,離心率的取值范圍是：e∈〔,∪〔,126．設A1、A2為橢圓的左右頂點,若在橢圓上存在異于A1、A2的點P,使得,其中O為坐標原點,則橢圓的離心率e的取值范圍是〔A．B．C．D．解：A1〔﹣a,0,A2〔a,0,設P〔x,y,則=〔﹣x,﹣y,=〔a﹣x,﹣y,∵,∴〔a﹣x〔﹣x+〔﹣y〔﹣y=0,y2=ax﹣x2＞0,∴0＜x＜a．代入=1,整理得〔b2﹣a2x2+a3x﹣a2b2=0在〔0,a上有解,令f〔x=〔b2﹣a2x2+a3x﹣a2b2=0,∵f〔0=﹣a2b2＜0,f〔a=0,如圖：△=〔a32﹣4×〔b2﹣a2×〔﹣a2b2=a2〔a4﹣4a2b2+4b4=a2〔a2﹣2c22≥0,∴對稱軸滿足0＜﹣＜a,即0＜＜a,∴＜1,＞,又0＜＜1,∴＜＜1,故選D．27．已知點F1、F2分別是雙曲線=1的左、右焦點,過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點,若A、B和雙曲線的一個頂點構成的三角形為銳角三角形