2023/2/51概率論基礎2第二章隨機變量及其分布

內容：

1、隨機變量

2、離散型隨機變量及其分布

3、連續型隨機變量及其分布3§1隨機變量*

常見的兩類試驗結果：示數的——降雨量；候車人數；發生交通事故的次數…示性的——明天天氣（晴，多云…）；化驗結果（陽性，陰性）…esxX=f(e)－－為S上的單值函數，X為實數*

中心問題：將試驗結果數量化*

定義：隨試驗結果而變的量X稱為隨機變量*

常見的兩類隨機變量離散型的連續型的離散型隨機變量：若隨機變量X的所有可能取值可以一一列舉，即所有可能取值為有限個或無限可列個，則稱隨機變量X為離散型隨機變量連續型隨機變量：若隨機變量X的所有可能取值為某一區間，則稱隨機變量X為連續型隨機變量§2離散型隨機變量及其分布1.離散型隨機變量定義：離散型隨機變量X的所有可能取值及其相對應的概率值的全體稱為離散型隨機變量的概率分布，簡稱分布，或者概率函數。離散型隨機變量的概率分布的表示方法：1）解析法：隨機變量X的形如的概率表達式，稱為X的概率分布律。2）列表法：將離散型隨機變量的所有值及相對應的概率值列成一種概率分布表。3）圖示法：借助坐標系，將離散型變量X的概率分布用圖表示。6

離散量的概率分布(分布圖)樣本空間S＝{X=x1，X=x2，…，X=xn，…}由于樣本點兩兩不相容1、寫出可能取值——即寫出了樣本點2、寫出相應的概率——即寫出了每一個樣本點出現的概率…………#

概率分布X123456P1/61/61/61/61/61/6離散型均勻分布：X01P0.950.05X0123P0.10.60.10.210

例：某人騎自行車從學校到火車站，一路上要經 過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨立，且設 各燈為紅燈的概率為p，0<p<1，以X表示首次 停車時所通過的交通燈數，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3

解： 設Ai={第i個燈為紅燈}，則P(Ai)=p，i=1,2,3

且A1,A2,A3相互獨立。11

兩個主要的離散型隨機變量若一個試驗的樣本空間只有兩個可能結果：稱之為貝努利試驗

Xpq01p(p+q=1)定義：1）兩點分布（0—1分布）2）二項分布n次重復獨立的貝努利試驗稱為n重貝努利試驗，或稱為貝努利概型。二項分布：如果在n重貝努利試驗中，事件A恰好發生了k次的概率為：14

例：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數。

(1)求Y的概率分布律；

(2)求恰好遇到2次紅燈的概率。

解：這是三重貝努利試驗

15

例：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p，

0<p<1，設命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：這是n重貝努利試驗同時可知：上式的意義為：若p較小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量試驗中“至少有一次發生”幾乎是必然的。16

例：有一大批產品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從中任取10件，經檢驗無次品接受這批產品，次品數大 于2拒收；否則作第二次檢驗，從中任取5件，僅當5件 中無次品便接受這批產品，設產品的次品率為p． 求這批產品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)

解： 設X為第一次抽得的次品數，Y為第2次抽得的次品數； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}與{Y=j}獨立。A={接受該批}。17

泊松分布(Poisson分布)若隨機變量X的概率分布律為稱X服從參數為λ的泊松分布，記例：設某汽車?？空竞蜍嚾藬?/p>

(1)求至少有兩人候車的概率；

(2)已知至少有兩人候車，求恰有兩人候車的概率。解：1819§3隨機變量的分布函數20

例：

解：pX01qp01q121§4連續型隨機變量及其概率密度定義：對于隨機變量X的分布函數若存在 非負的函數使對于任意實數有：其中稱為X的概率密度函數，簡稱概率密度。

則稱X為連續型隨機變量，

三連續型隨機變量及其分布1.連續型隨機變量及其概率密度函數23連續型隨機變量在某一點取值的概率為0（1）要驗證該函數是某個隨機變量的密度函數，只要驗證滿足密度函數的兩個性質：所以，該函數是某個隨機變量X的密度函數。26

例：設X的概率密度為

(1)求常數c的值；(2)

寫出X的概率分布函數；

(3)要使 求k的值。解：272、幾個重要的連續型隨機變量的分布

1）均勻分布定義：若隨機變量X具有概率密度為

稱X在區間(a,b)上服從均勻分布，記為例在某公交車始發站上，每隔6分鐘發車，使得所有候車乘客都能上車離去，一位乘客候車時間X分鐘是一個連續型隨機變量，它服從區間[0,6]上的均勻分布，求：1）任選1位乘客候車時間超過5分鐘的概率；2）任選4位乘客中恰好有2位乘客候車時間超過5分鐘的概率。292）指數分布定義：如果連續型隨機變量X的概率密度為

其中λ>0為常數，則稱X服從參數為λ的指數分布。記為303）正態分布定義：如果連續型隨機變量X的概率密度為

其中

為常數，稱X服從參數為的正態分布(Gauss分布)，記為可以驗算：31稱μ為位置參數(決定對稱軸位置)

σ為尺度參數(決定曲線分散性)X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。第四章隨機變量的數字特征一、隨機變量的數學期望1、離散型隨機變量的數學期望定義1

若離散型隨機變量X概率分布為X…P…則把和數叫做隨機變量X的數學期望，簡稱期望或均值，記為E(X)，即隨機變量X的數學期望反映了X取值的平均值。例1求兩點分布的數學期望。解兩點分布列為X01Pqp例2

甲乙兩工人，在一天中生產的廢品數是一隨機變量，其分布列如下：0123P0.40.30.20.1012P0.30.50.2假定兩人日產量相等，問誰的技術好？解根據分布列很難判斷兩人誰的技術好，只有看他們的平均廢品數，故得2.連續型隨機變量的數學期望定義2如果連續型隨機變量X的密度函數為，則稱例3設連續型隨機變量X的密度函數是求E(X).例4求指數分布的數學期望。解指數分布密度函數為所以3.數學期望的性質性質1E(C)=C(C為常數)性質2E(kX)=kE(X)(k是常數)性質3性質4性質5例5離散型隨機變量X的概率分布如下表：X234P0.20.50.3求隨機變量Y=2X+3的數學期望。解根據數學期望的性質，有題意知二、隨機變量的方差隨機變量的數學期望只描述取值的平均值，但不能揭示隨機變量取值偏離平均值大小，也就是隨機變量的分散程度。1、離散型隨機變量的方差定義如果離散型隨機變量X的分布列為則把和數稱為隨機變量X的方差，記作，即注：由于E(X)是一個數，所以也是一個隨機變量，由期望的定義可知，隨機變量的取值與其對應概率的乘積之和，就是隨機變量的期望，即也即，隨機變量X的方差D(X)等于隨機變量的均值。定義：隨機變量x的方差的算術根，稱為隨機變量X的標準差（或均方差），記為，即根據均值的性質，可得例甲、乙兩射手在一次射擊中的得分分別為隨機變量X、Y，其分布列為X0123P(X=k)0.60.150.130.12Y0123P(Y=k)0.50.250.20.05試比較他們射擊水平的高低。解先計算均值再來計算方差2.連續型隨機變量的方差定義如果連續型隨機變量X的