新高考數學二輪復習專題18 單變量不含參不等式證明方法之凹凸反轉 (教師版)_第1頁
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．解析(1)由f(x)＝xlnx，x＞0，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,e)．當x∈(0，eq\f(1,e))時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x∈(eq\f(1,e)，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增．①當0＜t＜eq\f(1,e)＜t＋2，即0＜t＜eq\f(1,e)時，f(x)min＝f(eq\f(1,e))＝－eq\f(1,e)；②當eq\f(1,e)≤t＜t＋2，即t≥eq\f(1,e)時，f(x)在[t，t＋2]上單調遞增，f(x)min＝f(t)＝tlnt．所以f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0＜t＜\f(1,e)，,tlnt，t≥\f(1,e)．))(2)問題等價于證明xlnx＞eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞))．由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－eq\f(1,e)，當且僅當x＝eq\f(1,e)時取到．設m(x)＝eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞))，則m′(x)＝eq\f(1－x,ex)，由m′(x)＜0得x＞1時，m(x)為減函數，由m′(x)＞0得0＜x＜1時，m(x)為增函數，易知m(x)max＝m(1)＝－eq\f(1,e)，當且僅當x＝1時取到．從而對一切x∈(0，＋∞)，xlnx≥－eq\f(1,e)≥eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)，兩個等號不同時取到，即證對一切x∈(0，＋

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