高考三角函數１.特殊角的三角函數值:ｓｉn=0cos=1taｎ＝0ｓiｎ3=cos3＝taｎ3=sin＝cｏs=tan=1ｓｉn６＝cos6=tan6=sin9=1cos9=0taｎ9無意義2．角度制與弧度制的互化:36９18273603.弧長及扇形面積公式弧長公式:扇形面積公式:Ｓ=-－--是圓心角且為弧度制。r----－是扇形半徑4.任意角的三角函數設是一個任意角,它的終邊上一點ｐ（ｘ,y），r＝（1）正弦sin＝余弦coｓ＝正切tａｎ=(2)各象限的符號：—++—++—-xy++O——+xyO—+—+yOsiｎｃostaｎ5.同角三角函數的基本關系:（１）平方關系：sin2+cｏs２=1。(2)商數關系:=tan()誘導公式:，，.,,．,，．,,．口訣:函數名稱不變,符號看象限．，．，．口訣:正弦與余弦互換,符號看象限.7正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質倍角公式sin2=2sin倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2兩角和與差的三角函數關系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sin降冪公式:升冪公式:1+cos＝cos21－ｃos=?sｉｎ2９.正弦定理

： .余弦定理:；;.三角形面積定理.．1．直角三角形中各元素間的關系:如圖，在△ABC中，C＝90°,AB＝c,ＡC＝b,ＢC=a。（1)三邊之間的關系:a2＋b２＝ｃ2。（勾股定理)（2）銳角之間的關系:A＋Ｂ=90°;(3）邊角之間的關系：（銳角三角函數定義)siｎA＝ｃosB＝,cｏsＡ=ｓinB=，tanＡ＝。2.斜三角形中各元素間的關系：在△AＢＣ中，A、Ｂ、Ｃ為其內角,a、ｂ、c分別表達Ａ、B、Ｃ的對邊。(1)三角形內角和：A＋Ｂ+C＝π。（2)正弦定理:在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。（Ｒ為外接圓半徑)（3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2-2bcｃosＡ；ｂ2＝c2+a2－２ｃａcｏsB；c2＝ａ2＋ｂ2－２ａbcosC。3．三角形的面積公式:(1)△=ａha＝ｂhｂ＝chc(ha、hb、hc分別表達a、b、ｃ上的高);(2)△=aｂsiｎC=bｃｓinA=ａcsiｎＢ;４.解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形.廣義地，這里所說的元素還可以涉及三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等.解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形;若給出的三角形是斜三角形,則稱為解斜三角形解斜三角形的重要依據是：設△ABC的三邊為a、b、c，相應的三個角為Ａ、Ｂ、C。(１）角與角關系:Ａ+B+C=π;（2)邊與邊關系：a＋ｂ>c，b+c>a,c+a>b,a-b<c,b－c<ａ，c－a>b；（3）邊與角關系：正弦定理(R為外接圓半徑);余弦定理c2=ａ2+ｂ2－2bcｃosＣ，ｂ2=ａ2+ｃ2-２accoｓB,a2=ｂ2＋c2-２bｃcosＡ;它們的變形形式有:a＝2RsinA，，。5．三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。(1)角的變換由于在△ＡBC中，A＋B+Ｃ＝π,所以sin（A+B)=sinＣ;coｓ(A+Ｂ）=-ｃosC；taｎ(Ａ+B）=－tanC。;四．【典例解析】題型１：正、余弦定理(2023岳陽一中第四次月考).已知△中,，，,,,則 ? ? （）Ａ.．B.C.D.或答案C例１．(1)在中，已知,，cm，解三角形；(2）在中，已知cm,cm,,解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm）。解析：（1)根據三角形內角和定理,；根據正弦定理，;根據正弦定理,（2)根據正弦定理, 由于＜<，所以,或①當時，,②當時，,點評：應用正弦定理時(１）應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，也許有兩解的情形;(２)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器例2．(1)在ABＣ中，已知，,，求b及Ａ；(2）在ABC中,已知,，，解三角形解析：(1)∵＝cｏs==∴求可以運用余弦定理,也可以運用正弦定理:解法一：∵cos ∴解法二:∵ｓiｎ又∵＞＜∴＜,即<<∴(2)由余弦定理的推論得:ｃｏs;cos?；點評:應用余弦定理時解法二應注意擬定A的取值范圍。題型2:三角形面積例3.在中,,，，求的值和的面積。解法一:先解三角方程,求出角Ａ的值。又,,。解法二:由計算它的對偶關系式的值。=1\＊GB3①，=2\*ＧB３②＝1\＊ＧB3①+=2\＊ＧＢ3②得。=1\＊ＧB3①-＝２\＊GＢ3②得。從而。以下解法略去。點評:本小題重要考察三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識,著重數學考察運算能力，是一道三角的基礎試題。兩種解法比較起來,你認為哪一種解法比較簡樸呢?例4．（２02３湖南卷文）在銳角中,則的值等于，的取值范圍為.答案

2解析設由正弦定理得由銳角得，又，故，例5．（２023浙江理）(本題滿分1４分）在中,角所對的邊分別為，且滿足，．(I)求的面積；（II)若，求的值．解(1)由于，,又由得，(2)對于,又，或,由余弦定理得,例6．（2023全國卷Ⅰ理）在中，內角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且求b分析::此題事實上比較簡樸,但考生反映不知從何入手.對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的，學生總感覺用余弦定理不好解決,而對已知條件(2)過多的關注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分.解法一:在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：．又由已知.解得．解法二:由余弦定理得:.又,.所以 ?????? ? ①又，,即由正弦定理得,故? ? ②由①，②解得.評析:從2023高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考察．在備考中應注意總結、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.此外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強化訓練題型4：三角形中求值問題例7．的三個內角為,求當A為什么值時,取得最大值，并求出這個最大值。解析：由Ａ+B＋Ｃ=π,得eq\f（B+C,2)=eq＼ｆ（π,2)－eq\f（A，2),所以有ｃｏseｑ\f(B+C,2）=sineq\ｆ(A，２)。cosA+2coｓeq\f(B+C,2)=cosA＋2sｉnｅｑ\f(A,２)=1－2ｓin２eq＼ｆ(A,2）+２sineq\f(A,2)=－2(siｎeq\f（A,2)－eｑ\f(1,2))2＋eq＼f（3，２）;當sｉneｑ\ｆ(A,2）=eq\f(１,2)，即A＝eｑ＼f(π,３）時,ｃｏsA+2coseq\ｆ(B+C,2）取得最大值為ｅq\f(３,2）。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數的形式，通過三角函數的性質求得結果。例8.(202３浙江文)（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為,且滿足,．(Ｉ)求的面積;(II)若，求的值．解（Ⅰ）又,，而,所以，所以的面積為：(Ⅱ）由(Ⅰ）知,而，所以所以點評：本小題重要考察三角函數概念、同角三角函數的關系、兩角和與差的三角函數的公式以及倍角公式,考察應用、分析和計算能力題型5:三角形中的三角恒等變換問題例９．在△AＢＣ中，ａ、b、c分別是∠A、∠Ｂ、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數列,且a2-c2＝aｃ－bc，求∠A的大小及的值。分析：因給出的是ａ、b、c之間的等量關系,規定∠Ａ,需找∠A與三邊的關系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=ａ，再用正弦定理可求的值。解法一：∵a、b、ｃ成等比數列，∴b２＝ac。又ａ2-ｃ2＝aｃ－bc，∴b2+c２-a２=ｂc。在△ABC中,由余弦定理得：ｃｏｓＡ＝==,∴∠Ａ=60°。在△ABC中,由正弦定理得sinＢ=，∵b2=ac,∠Ａ=60°,∴=siｎ６0°=。解法二:在△ABC中，由面積公式得bcsinA＝acsｉnB。∵b2=ac，∠A＝６0°，∴bcｓinA=b２sinB。∴=ｓinA=。評述:解三角形時,找三邊一角之間的關系常用余弦定理,找兩邊兩角之間的關系常用正弦定理。例１０.在△ABＣ中,已知A、B、C成等差數列，求的值。解析：由于Ａ、B、Ｃ成等差數列,又Ａ＋Ｂ＋C=１8０°,所以A＋C＝120°,從而=60°，故tan．由兩角和的正切公式,得。所以。點評：在三角函數求值問題中的解題思緒,一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解,同時結合三角變換公式的逆用。題型6:正、余弦定理判斷三角形形狀例１1．在△ABC中，若2cosBsinＡ＝sinC,則△ABC的形狀一定是（)A．等腰直角三角形 ? Ｂ．直角三角形C．等腰三角形??? ? D.等邊三角形答案:C解析:2sinAcosB=siｎ（A＋B）＋sｉn（A－B)又∵2sinＡcosＢ＝ｓｉnC,∴ｓｉn(Ａ－B）=0,∴Ａ=B點評：本題考察了三角形的基本性質，規定通過觀測、分析、判斷明確解題思緒和變形方向，通暢解題途徑例12.（２0２３四川卷文)在中，為銳角,角所對的邊分別為,且（I）求的值;（II)若,求的值。解(I)∵為銳角,∴∵∴（II）由(Ｉ)知,∴由得,即又∵∴∴∴21.(２0２３四川卷文)在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（Ｉ）求的值;（ＩI)若,求的值。解（I）∵為銳角,∴∵∴（ＩI)由（I）知，∴由得,即又∵∴∴∴點評：三角函數有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角的符號語言,再通過局部的換元,又將問題轉化為我們熟知的函數,這些解題思維的拐點,你能否不久的想到呢?五．【思維總結】1．解斜三角形的常規思維方法是：（１）已知兩角和一邊（如Ａ、B、C)，由A＋B＋C＝π求C,由正弦定理求a、b;(２)已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊;再應用正弦定理先求較短