等比數列知識點總結與典型例題1、等比數列的定義：，稱為公比2、通項公式：，首項：;公比：推廣:3、等比中項：（1)假如成等比數列，那么叫做與的等差中項,即:或注意:同號的兩個數才有等比中項,并且它們的等比中項有兩個(（２)數列是等比數列4、等比數列的前項和公式:(1)當時,(2)當時，（為常數）５、等比數列的鑒定方法:(1)用定義:對任意的，都有為等比數列（2）等比中項：為等比數列（３)通項公式：為等比數列6、等比數列的證明方法：依據定義:若或為等比數列7、等比數列的性質：（２)對任何，在等比數列中，有。（３）若，則。特別的，當時，得注：等差和等比數列比較:等差數列等比數列定義遞推公式;；通項公式（)中項（)()前項和重要性質經典例題透析類型一：等比數列的通項公式 例１．等比數列中，,，求.思緒點撥:由等比數列的通項公式，通過已知條件可列出關于和的二元方程組,解出和，可得;或注意到下標,可以運用性質可求出、,再求.總結升華：①列方程（組）求解是等比數列的基本方法,同時運用性質可以減少計算量;②解題過程中具體求解時，要設法降次消元，經常整體代入以達降次目的,故較多變形要用除法（除式不為零）．舉一反三：【變式１】｛an}為等比數列,ａ1=3,a9=768，求a6。【變式2】｛aｎ}為等比數列,an＞0,且a1a89=１６，求a４４a45a4６的值。【變式3】已知等比數列，若，,求。類型二:等比數列的前n項和公式例２．設等比數列{ａn}的前n項和為Sｎ,若S3+S6=2S9，求數列的公比q.舉一反三：【變式１】求等比數列的前6項和。【變式2】已知:{ａn}為等比數列，a1ａ2ａ3=27，S3=13,求S5．【變式3】在等比數列中，，，,求和。類型三：等比數列的性質例3.等比數列中，若,求.舉一反三：【變式1】正項等比數列中,若ａ1·a１00＝100;則lｇa1+lgａ２+……+lｇa100=____＿______＿_.【變式2】在和之間插入三個數，使這五個數成等比數列,則插入的三個數的乘積為＿__＿____。類型四：等比數列前ｎ項和公式的性質例４．在等比數列中，已知,，求。思緒點撥:等差數列中也有類似的題目，我們仍然采用等差數列的解決辦法,即等比數列中前k項和,第2個k項和，第３個k項和，……,第n個k項和仍然成等比數列。舉一反三:【變式1】等比數列中,公比q=２,S4=1,則Ｓ8=_＿＿_＿_＿____.【變式2】已知等比數列的前n項和為Ｓn,且S10=10,S２0=４0,求:S3０＝？【變式3】等比數列的項都是正數,若Ｓn=80,Ｓ2n=65６0,前n項中最大的一項為54,求ｎ.【變式4】等比數列中,若a１＋a2=32４,a3+a４＝3６,則a5＋ａ6=____＿___＿_＿__.【變式5】等比數列中,若a１+ａ２＋ａ3＝7，a4+a5＋a6=5６,求ａ７+a8+a9的值。類型五:等差等比數列的綜合應用例5.已知三個數成等比數列,若前兩項不變,第三項減去32,則成等差數列.若再將此等差數列的第二項減去４，則又成等比數列.求本來的三個數.思緒點撥:恰本地設元是順利解方程組的前提．考慮到有三個數，應盡量設較少的未知數,并將其設為整式形式.總結升華：選擇適當的設法可使方程簡樸易解。一般地,三數成等差數列，可設此三數為a-ｄ,a,a+d;若三數成等比數列,可設此三數為,x,xy。但還要就問題而言,這里解法二中采用首項a，公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個等比數列有三項，假如把第二項加上4,,那么所得的三項就成為等差數列，假如再把這個等差數列的第三項加上32,那么所得的三項又成為等比數列,求本來的等比數列.【變式2】已知三個數成等比數列,它們的積為27,它們的平方和為９1,求這三個數。【變式３】有四個數,其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列,并且第一個數與第四個數的和是１６,第二個數與第三個數的和為12,求這四個數．類型六：等比數列的判斷與證明例６.已知數列｛ａn｝的前n項和Sｎ滿足:log5（Ｓｎ+１)＝n(n∈N+),求出數列{ａn}的通項公式，并判斷{ａｎ}是何種數列?思緒點撥：由數列{an}的前ｎ項和Ｓn可求數列的通項公式,通過通項公式判斷｛an}類型.舉一反三：【變式1】已知數列｛Ｃｎ},其中Ｃｎ=2n+3n，且數列{Cn+1-pCｎ}為等比數列，求常數p。【答案】p＝２或p＝3；【證明】設數列{an}、{bn}的公比分別為p，ｑ，且ｐ≠q【變式3】判斷正誤：（１）｛an}為等比數列a7=a3a４；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數列；(３){an},{ｂn｝均為等比數列，則｛aｎbｎ}為等比數列；（4){ａn}是公比為ｑ的等比數列,則、仍為等比數列；(５)若a,b,ｃ成等比，則logma,logｍb，logmc成等差.類型七:Ｓn與aｎ的關系例7．已知正項數列｛an｝,其前n項和Sn滿足,且a１,ａ3,ａ１5成等比數列，求數列｛an}的通項an．總結升華:等比數列中通項與求和公式間有很大的聯系，它們是,特別注意首項與其他各項的關系.舉一反三:【變式】命題1:若數列｛aｎ}的前n項和Sn=ａn+b(a≠1)，則數列{ａｎ}是等比數列；命題2:若數列{an｝的前n項和Sn=nａ-n,則數列{ａn}既是等差數列,又是等比數列。上述兩個命題中,真命題為個.經典例題透析類型一:等比數列的通項公式?例1．等比數列中,,,求.思緒點撥：由等比數列的通項公式,通過已知條件可列出關于和的二元方程組，解出和,可得；或注意到下標,可以運用性質可求出、，再求.解析:法一:設此數列公比為,則由(２）得:...．......(３)∴.由(1)得：,∴..．...(４)(3)÷(４）得:,∴,解得或當時，，；當時，,．法二:∵,又，∴、為方程的兩實數根，∴或∵,∴或．總結升華:①列方程（組)求解是等比數列的基本方法，同時運用性質可以減少計算量；②解題過程中具體求解時,要設法降次消元，經常整體代入以達降次目的，故較多變形要用除法(除式不為零）.舉一反三：【變式1】{aｎ｝為等比數列,a１=3,a9=76８,求a6。【答案】±9６法一:設公比為q，則７6８=ａ1q8，q８=２５6，∴ｑ=±２，∴a6=±９6;法二:a52=ａ1a9ａ５=±48q＝±2，∴a６=±96。【變式２】{ａn}為等比數列，an＞0，且a１ａ8９=16，求a44a45a46的值。【答案】６4；∵,又an＞0，∴a45＝4∴。【變式3】已知等比數列，若,，求。【答案】或；法一：∵,∴,∴從而解之得，或，當時，；當時,。故或。法二:由等比數列的定義知,代入已知得將代入(１)得，解得或由（2）得或，以下同方法一。類型二:等比數列的前n項和公式例2．設等比數列{ａn}的前n項和為Ｓn，若S3＋S6=2S9,求數列的公比q.解析:若q=1,則有S3=3a1,S６＝6a１,Ｓ9=9a1.因a１≠0,得Ｓ３＋S6≠２S9,顯然q＝1與題設矛盾，故q≠1.由得，，整理得q3(2q6-q3－1）＝0，由q≠0,得2ｑ6-q３-1=0，從而（2ｑ３＋1)(q3-1)=0，因q３≠１，故，所以。舉一反三:【變式1】求等比數列的前６項和。【答案】；∵，,∴。【變式2】已知：{ａn｝為等比數列,a1a2a3＝2７,S3=1３,求S５．【答案】;∵,,則a1=1或ａ1=９∴.【變式3】在等比數列中,，，，求和。【答案】或2，;∵,∴解方程組,得或①將代入,得,由，解得;②將代入,得,由,解得。∴或2,。類型三：等比數列的性質例3.等比數列中，若,求．解析:∵是等比數列，∴∴舉一反三：【變式1】正項等比數列中,若a１·ａ１00=１00;則lgａ1+ｌgａ2+……＋lｇa１00=__________＿_＿．【答案】100;∵lｇａ1+lｇa2+lga3+……＋lga１00＝ｌg（a１·a２·a3·……·ａ１0０)而ａ1·a１0０=ａ2·a９9=a3·a9８=……=a５0·a51∴原式＝lg(a１·ａ１00)５０＝50lg(a1·a100）=50×lg100＝１00。【變式2】在和之間插入三個數，使這五個數成等比數列,則插入的三個數的乘積為___＿__＿_。【答案】2１6;法一：設這個等比數列為，其公比為,∵，，∴,∴。法二:設這個等比數列為,公比為,則,,加入的三項分別為,,,由題意,,也成等比數列,∴，故,∴。類型四：等比數列前n項和公式的性質例4．在等比數列中，已知,,求。思緒點撥：等差數列中也有類似的題目,我們仍然采用等差數列的解決辦法，即等比數列中前ｋ項和，第２個k項和，第3個k項和，……，第n個k項和仍然成等比數列。解析:法一:令ｂ1＝Sn=4８,b2=S2ｎ－Ｓn=６0-48=１2，b3=S3ｎ-Ｓ2n觀測ｂ1=a１+a2+……＋an，b2＝an+1+ａｎ+2+……＋a2n=ｑn(a1+a2+……＋ａｎ)，ｂ3=a2n+1＋a2ｎ+２+……＋ａ３n＝q2ｎ(a1+a2+……+an）易知b１,b2,ｂ3成等比數列，∴，∴S3n=ｂ３+S2n=3＋6０＝６３.法二：∵,∴,由已知得②÷①得，即③③代入①得,∴。法三:∵為等比數列，∴,,也成等比數列，∴，∴。舉一反三:【變式1】等比數列中,公比q=2,S4＝1,則S８＝_＿＿_____＿__.【答案】1７;Ｓ８=S4＋ａ5＋a６＋ａ７+a8=S4+a1ｑ4+a2q4+a3ｑ4＋ａ４q4=S4＋q4(a1+a2＋ａ３+a４)=S4＋ｑ４Ｓ4=S4(1+ｑ4）＝１×(１+24)=17【變式2】已知等比數列的前ｎ項和為Ｓn,且S１0=10，S20=４0,求：S30=?【答案】130；法一：S1０，Ｓ20－S10，S30-S20構成等比數列,∴(S20－S10)2=Ｓ10·(S30-Ｓ20)即302=10(Ｓ３0-40),∴Ｓ30=１30.法二：∵２S10≠Ｓ2０，∴,∵,,∴∴,∴∴.【變式3】等比數列的項都是正數，若Sn＝80，S2n=６５６０,前n項中最大的一項為54,求ｎ.【答案】∵，∴（否則)∴=80.．．．....(1)=６５６0.........(2),(２)÷(1)得：1+ｑn＝82，∴qn=8１......(3）∵該數列各項為正數,∴由(3）知q＞1∴{an}為遞增數列,∴aｎ為最大項54.∴aｎ=a1ｑｎ-1=5４,∴ａ1ｑn=５4q,∴８１a1=5４q．...．．....（４）∴代入(1）得，∴q=３,∴ｎ=4.【變式4】等比數列中,若ａ1+ａ2=3２４,ａ3+a４＝３6，則ａ5+a6=___＿__＿______.【答案】4；令b1=a1+a2=a１（1+q），ｂ2＝a3+ａ4＝ａ1q2（１＋q),b3=ａ5+a６=a1q４(1+q),易知：b１，b2,b3成等比數列,∴b3===４,即ａ5+ａ6=4.【變式5】等比數列中，若a１+a2+ａ３＝7,a4+a５＋ａ６=5６,求ａ7+a8+a９的值。【答案】44８;∵{an}是等比數列，∴(ａ4+a5+a6)=(a１+ａ２+a3）q3,∴q3=8,∴ａ７+a８+ａ9=(a4＋a5+a6)q3=56×8＝448.類型五:等差等比數列的綜合應用例５．已知三個數成等比數列,若前兩項不變，第三項減去32,則成等差數列.若再將此等差數列的第二項減去4，則又成等比數列.求本來的三個數．思緒點撥:恰本地設元是順利解方程組的前提.考慮到有三個數,應盡量設較少的未知數,并將其設為整式形式.解析:法一：設成等差數列的三數為a-ｄ,ａ,ａ+d.則ａ-d,a,a+d+32成等比數列,a-d,a-4,ａ+d成等比數列.∴由(2)得a=...．.......(3)由(1)得３2a=d2+3２ｄ..．．....．．(4)(3)代(4）消a,解得或d=8．∴當時,；當ｄ=8時,a=１0∴本來三個數為,,或2,１0,5０.法二：設本來三個數為a,aq,aｑ２,則a,aｑ,aq２-32成等差數列,a，aｑ-4,aｑ2-32成等比數列∴由(2）得，代入(1)解得ｑ=5或q=13當q=5時a=2；當q=1３時.∴本來三個數為2，10,5０或,,．總結升華：選擇適當的設法可使方程簡樸易解。一般地,三數成等差數列,可設此三數為a-d，ａ,a+d；若三數成等比數列,可設此三數為，x，xy。但還要就問題而言,這里解法二中采用首項a,公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式１】一個等比數列有三項,假如把第二項加上4，，那么所得的三項就成為等差數列，假如再把這個等差數列的第三項加上３2,那么所得的三項又成為等比數列，求本來的等比數列.【答案】為２,6，１8或;設所求的等比數列為ａ，ａq,aｑ２;則2(aq+4)=a+ａq2，且（ａq＋4)2=a(aq2+３2)；解得ａ＝２，q=3或,ｑ=-5；故所求的等比數列為2,6，18或．【變式2】已知三個數成等比數列，它們的積為27,它們的平方和為９1,求這三個數。【答案】1、3、９或―1、３、―９或９、3、1或―9、3、―1設這三個數分別為，由已知得得，所以或,即或故所求三個數為:1、３、9或―1、3、―９或9、3、1或―９、3、―1。【變式3】有四個數,其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是1６，第二個數與第三個數的和為12,求這四個數.【答案】0,4,8，1６或1５，9,３,1；設四個數分別是x，y,12-ｙ,１6-ｘ∴由（1）得x=３ｙ-１2,代入(２)得１４4-24y+y２=y(1６－3y+12)∴1４4-24y+y２=-3y2+２8y,∴4ｙ2－52y＋144=0,∴y2-1３y+36=0,∴y＝4或9,∴ｘ=0或15，∴四個數為0，4，8,１6或15,9，３,1.類型六:等比數列的判斷與證明例6．已知數列{an}的前n項和Sｎ滿足:ｌog５(Ｓn+1)=n（n∈N+),求出數列｛an}的通項公式,并判斷{an｝是何種數列?思緒點撥：由數列｛aｎ}的前n項和Sn可求數列的通項公式,通過通項公式判斷{an}類型.解析：∵log5（Sn+1)=n,∴Sn＋1=5n,∴Sn=5n-１（n∈N+）,∴a1=Ｓ１=5１－1=4,當ｎ≥2時,an=Sｎ-Sn-1=(5n-1)-(５ｎ－1－１)=５n-5n-１＝5ｎ-1（5-１)＝4×5ｎ-1而n=1時,４×5n－1=４×51-１＝4=a1,∴n∈N+時，ａn=4×５n-1由上述通項公式，可知｛ａｎ}為首項為４,公比為5的等比數列．舉一反三:【變式1】已知數列{Cｎ}，其中Cn＝２n+3n,且數列{Cn+１-pCn｝為等比數列，求常數ｐ。【答案】p=２或p=3；∵{Cn＋1-ｐCn}是等比數列,∴對任意ｎ∈N且n≥2，有（Ｃn+1-pCn)2=（Cｎ+2-ｐCn＋1)(Cn-pCn-1)∵Cn＝2n+3n,∴[(２ｎ+1+3n+1)-p(2ｎ+3ｎ)]2=[(2n+２+3ｎ+2)-p(2n+１+3n+１)]·[(2n+3n）-p(2n-1＋3n-1)]即[(2-p)·２ｎ＋（3-p)·３n]2=［(2-ｐ)·２n+1+(3-ｐ)·３n＋１]·［（2-p)·２n-1+(３-p)·３n-1］整理得：，解得：p=2或ｐ=3，顯然Cｎ＋1-pCn≠0，故ｐ=2或p=3為所求．【變式2】設｛aｎ}、{bｎ}是公比不相等的兩個等比數列，Ｃn=an+bｎ,證明數列{Cn}不是等比數列.【證明】設數列{an}、｛bｎ｝的公比分別為p,q，且p≠q為證｛Cn}不是等比數列，只需證．∵,∴,又∵p≠q,a1≠0,b１≠0,∴即∴數列{Ｃｎ}不是等比數列.【變式３】判斷正誤：(1）{an}為等比數列a7=ａ３a4；(2)若b2=ac，則a，b,c為等比數列;(３){an},{bn｝均為等比數列，則｛aｎbn}為等比數列；(４){an}是公比為q的等比數列，則、仍為等比