第四章：

積分形式的基本定律2023/2/51Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws本章主要內容4.1引言4.2三個基本定律4.3系統向控制體的轉換4.4質量守恒4.5能量方程4.6動量方程4.7本章總結2023/2/52Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws本章教學目的推導一個方程，該方程能夠將系統中的三個基本定律轉換為可以應用于控制體的形式將質量守恒方程、能量方程和牛頓第二定律應用于工程實際。給出大量的基本定律應用于控制體的算例，以幫助學生能夠正確地求解流體流動問題。2023/2/53Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.1引言工程師所感興趣的物理量經常可以表達成積分形式。例如：體積流速是速度在一個面積上的積分；傳熱量是熱流量在一個面積上的積分；力是應力在一個面積上的積分；質量是密度在一個體積上的積分；動能是V2/2

在一個體積中對每一個質量微元的積分。在本章中，將給出感興趣的積分量，并推導出聯系這些積分量的方程。2023/2/54Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws當然，有許多感興趣的量不是積分量，這些量包括：繞流一個物體的流動的分離點；氣流中某一位置處的污染物濃度；建筑物表面的壓強和速度分布。——對于這些問題的研究，則需要描述流動的微分形式的方程。4.1引言2023/2/55Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws系統：

固定的流體質點的集合。4.2三個基本定律

在工程流體力學中，感興趣的主要積分量包含在三個基本定律中：質量守恒、熱力學第一定律和牛頓第二定律。1.以系統的形式表示基本定律2023/2/56Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws一個系統的質量保持恒定。(1)質量守恒

對一個系統的傳熱速率減去該系統對外作功的速率，等于該系統能量變化的速率。(2)熱力學第一定律比能e包括單位質量的動能、勢能和內能。4.2三個基本定律2023/2/57Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

施加在一個系統上的合力，等于該系統的動量變化速率。(3)牛頓第二定律(動量方程)4.2三個基本定律2023/2/58Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)定義2.一般形式的基本定律Nsys:代表廣義量(系統的質量、動量或能量)。:代表強度量，即系統單位質量流體所具有的量。對于質量守恒定律來說：=1對于熱力學第一定律來說：=e對于牛頓第二定律來說：=V4.2三個基本定律2023/2/59Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws質量守恒定律：(2)一般形式的基本定律熱力學第一定律：牛頓第二定律：4.2三個基本定律2023/2/510Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統向控制體的轉換控制體：

流場中的一個空間區域，在該區域內流體可以流進也可以流出。1.控制體說明：

一個控制體不必是固定的，可以變形(例如一個氣球)。而我們一般只研究固定的控制體。2023/2/511Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

既然對控制體的研究比對系統的研究更加便利，因此需要找到一個轉換公式，該公式能夠將系統的導出量用控制體的量進行表示。

這樣的話，基本定律就可以直接應用到控制體中。2.系統向控制體的轉換(1)控制面及通量控制面：

完全封閉控制體的表面。4.3系統向控制體的轉換2023/2/512Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws通量：

通量是指通過一個面積的廣義量的速率。微元面積的法向單位矢量，經常指向控制體外。如果是流入通量話，該表達式為負值；表達式為正值說明通量流出控制體。如果凈通量為正的話，說明流出的通量大于流入的通量。4.3系統向控制體的轉換2023/2/513Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)系統向控制體的轉換4.3系統向控制體的轉換2023/2/514Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統向控制體的轉換2023/2/515Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統向控制體的轉換2023/2/516Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統向控制體的轉換第一項積分代表了控制體中的廣義量的變化速率。第二項積分代表了通過控制面的廣義量的通量。用控制體的量表達系統的導出量。2023/2/517Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統向控制體的轉換(1)定常流動3.系統向控制體轉換的簡化假設只有一個面積A1

，通過該面積流體進入控制體；只有一個面積A2

，通過該面積流體流出控制體；同時假設速度矢量垂直于進出面積，則有：2023/2/518Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws在工程中很多情況下，每一個流通平面上的物理量均勻分布的假設是可以接受的。這樣，方程可以簡化為：如果在控制體中有幾個流體流通面積，則有：對于入口截面，該項為負；對于出口截面，該項為正。4.3系統向控制體的轉換2023/2/519Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)非定常流動

對于一個非定常流動來說，假設流動參數在整個控制體內是均勻的，并且在一個入口和一個出口處流動參數也是均勻的，則系統向控制體轉換的公式可以表達成：4.3系統向控制體的轉換2023/2/520Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4質量守恒1.連續性方程連續性方程：2023/2/521Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)對于定常流動：(2)帶有一個入口和一個出口的定常均勻流：(3)對于密度是常數、流動定常或非定常的均勻流：4.4質量守恒2023/2/522Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(4)對于定常流動，假設速度在入口和出口處的分布是不均勻的，而在進出口截面上密度是均勻的，則有：4.4質量守恒2023/2/523Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.質量流量和體積流速質量流量(質量流動速率)：速度的垂直分量體積流速(體積流動速率):質量流量經常用在可壓縮流動中。體積流動速率一般用在不可壓縮流動中。對于質量流量來說，假設進出口處的流體密度均勻，且流速垂直于進出口面積。4.4質量守恒2023/2/524Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題1

求解：

水以3m/s的均勻速度流入一個噴嘴，該噴嘴將管道直徑從10cm減小到2cm。計算水離開噴嘴的速度及體積流速。

由于假設流體的密度是常數且速度分布均勻，因此可應用簡化的連續性方程：4.4質量守恒2023/2/525Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題2：

求解：

水流進流出一個裝置。計算在這個裝置中水的質量的變化率(dm/dt)。4.4質量守恒2023/2/526Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題3：求解：

一個均勻的流動通過一個圓柱。已知在圖示的圓柱下游位置處，對稱的速度分布可以近似地表示為：

這里

u(y)的單位是m/s，y

的單位為米。確定通過表面AB1米厚度的質量流量。=1.23kg/m3.

選擇控制體。由于對稱，沒有質量流量通過CD。

假設為定常流動：4.4質量守恒2023/2/527Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4質量守恒

令

H=1m：2023/2/528Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題4：

以0.6m3/s的速度向一個氣球充水使其膨脹。計算當R=0.5m時，氣球半徑的增長速率。求解：

氣球半徑的增長速率dR/dt

與氣球內的水在垂直于氣球壁面方向上的擴張速度相等：

選擇半徑為0.5m的球作為固定的控制體，則有：4.4質量守恒2023/2/529Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

假設A1<<A2:4.4質量守恒2023/2/530Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題5：

如果水通過一個0.10m2

截面的管子以0.5m/s的速度流入一個開口的容器，以0.2m3/s的體積流速流出該容器，確定在該容器中水面的上升速率。已知該容器的截面為0.5m直徑的圓面。求解：(1)

選擇一個控制體，該控制體的頂面在水面以上。4.4質量守恒2023/2/531Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4質量守恒2023/2/532Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws求解：(2)

選擇一個控制體，該控制體的頂面在水面以下。

在控制體頂面處的流體速度等于頂面的升高速度：4.4質量守恒2023/2/533Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.5能量方程系統中的能量方程可以表示為：比能：比動能比勢能比內能Q代表由于溫差通過控制面的能量傳遞速率。功率項2023/2/534Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws1.功率項4.5能量方程由于控制面上的壓強所產生的功率。定義為流動功。旋轉的軸所產生的功率，例如泵、渦輪等。2023/2/535Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.一般的能量方程(1)一般的能量方程一般的能量方程4.5能量方程2023/2/536Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)能量損失

在許多流體流動中，有用形式的能量(動能和勢能)和流動功被轉換為無用能(內能)。如果假設控制體的溫度保持不變，則內能不變，因此能量損失就等于通過控制面的熱交換量。能量損失：

不可用形式的能的總和。4.5能量方程2023/2/537Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws一般的能量方程：4.5能量方程2023/2/538Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws說明：能量損失的分析計算是非常困難的，特別是當流動為湍流時更是如此。一般來說，能量損失的預測可以通過經驗公式進行。對于泵或渦輪機械來說，能量損失可以用效率來表示。例如，如果一個泵的效率為80%，能量損失將是給泵輸入能量的20%。能量損失主要歸結于兩個主要作用：流體的粘度會引起內摩擦，從而導致內能的增加(溫升)或熱交換。流場幾何形狀的改變會導致流動的分離，而流動的分離會造成有用能量耗散。4.5能量方程2023/2/539Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws3.定常均勻流考慮一個定常流的情況：有一個入口和一個出口，并假設在入口和出口處，速度分布均勻。則能量方程簡化為：(1)簡化的能量方程下標1和2分別代表入口和出口的量。4.5能量方程2023/2/540Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws質量流量:定義

hL:這種形式的能量方程在許多情況下非常有用。用損失系數K表示的hL4.5能量方程2023/2/541Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)頭速度頭：靜壓頭：壓頭：總壓頭：頭損失：所有這些量都具有長度量綱4.5能量方程2023/2/542Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3)關于能量方程應用的說明如果能量損失可以忽略且沒有軸功，則有：說明：

當2=1

時，能量方程簡化為與伯努利方程相同的形式。但必須明確，伯努利方程是應用在一條流線上的動量方程，而上述方程則是一個應用在流動的兩個截面上的能量方程。4.5能量方程2023/2/543Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws如果在流動系統中有泵和渦輪存在，能量項(Ws/mg)取決于泵和渦輪。對于不可壓縮流動來說，能量方程可以有如下形式：泵頭渦輪頭4.5能量方程2023/2/544Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(4)由渦輪產生的功率及泵所需要的功率

由效率為T的渦輪產生的功率可簡化表示為：

效率為P的泵所需要的功率可簡化表示為：4.5能量方程2023/2/545Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.定常非均勻流

如果速度分布是非均勻的，可以通過引入動能修正系數來計及速度不均勻性的影響。動能修正系數定義為：

引入動能修正系數后，能量方程將簡化為：

對于管內的拋物形速度分布：=2.0

對于大多數內部的湍流流動：1.054.5能量方程2023/2/546Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題6：

求解：

泵將0.2m3/s的水的壓強從200kPa升高到600kPa。如果泵的效率為85%，該泵需要多少電功率？已知出口截面高于入口截面20cm。假設出口面積與入口面積相等。

能量損失可以用效率表示。4.5能量方程2023/2/547Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題7：求解：

水從一個水庫通過一個直徑2.5ft的管路流向一個渦輪發電機組，然后排向一個低于水庫水面100ft的河中。如果體積流速為90ft3/sec，渦輪發電機的效率為88%，計算輸出功率。假設管路的損失系數為

K=2。(1):選擇控制體從水庫水面1到河流水面2。(2):采用表壓計算，因此

p1=p2=0；

坐標原點放置在最低截面處，因此

z2=0；

速度

V1和

V2

足夠小可以忽略；Hp=0.4.5能量方程2023/2/548Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3):4.5能量方程2023/2/549Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題8：求解：

圖示的文丘里管流量計中，管徑從10cm縮小到最小5cm。計算體積流速和質量流量，假設為理想條件。(1):選擇控制體(2):無能量損失，且為均勻流。4.5能量方程2023/2/550Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3):4.5能量方程2023/2/551Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題9：

求解：

一個管內流動的速度分布為V(r)=Vmax(1-r2/r02)，這里r0

為管道的半徑。確定動能修正系數。(1):計算平均速度4.5能量方程2023/2/552Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2):確定動能修正系數管內層流和平行板間層流時速度為拋物形分布，此時Re數必須非常小。4.5能量方程2023/2/553Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程1.一般的動量方程動量方程：

在一個慣性系中，施加在一個系統上的合力等于該系統的動量的變化率：2023/2/554Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws說明：當應用動量方程時，F代表了施加在控制體上的所有的力。這些力包括：外界施加在控制面上的表面力；由于重力場和磁場產生的體積力。動量方程經常用來確定由于流動所產生的力。例如，通過動量方程可以計算在一個管路系統中支持一個彎管所需的力。4.6動量方程在動量方程中，采用表壓比較方便。這樣，作用在管道外部的壓強為零。2023/2/555Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.定常均勻流如果一個裝置具有入口和出口，在入口和出口處速度分布均勻，并且如果流動定常，則有：流動的出口/入口數如果只有一個入口和一個出口，則有：4.6動量方程2023/2/556Chapter4:TheintegralformsofthefundamentallawsScaleequation:4.6動量方程2023/2/557Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例如：噴嘴流動：在一個矩形水道內的自由表面流動：F1

和F2

為壓力4.6動量方程2023/2/558Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題10：求解：

水通過一個水平彎管流入大氣。體積流速為0.3ft3/sec。計算在圖示中的每一個支持該彎管的桿上的力。忽略流體的體積力和粘性作用以及作用在桿上的剪切力。(1):選擇包圍彎管的控制體。(2):忽略截面1和2間的能量損失，由能量方程可得：4.6動量方程2023/2/559Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程2023/2/560Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程(3):應用動量方程：2023/2/561Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題11：求解：

當一個在寬度為w的開口矩形水道中的水流速度較大時，水流有可能在一個較短的距離內從深度y1跳越到深度y2，這種現象稱為水躍。假設流動為水平的均勻流動，試用y1和V1表達

y2。(1):將控制體入口和出口選在水躍上游和下游足夠遠的位置，因此控制體入口和出口處的流線可以認為與水道壁平行，且壓強為水的靜壓強。4.6動量方程2023/2/562Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程(2):應用動量方程：2023/2/563Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題12：

考慮一個空氣繞流圓柱的對稱流。控制體不包括圓柱，如圖所示。圓柱下游的速度分布可近似為拋物線分布。確定施加在圓柱上的每單位長度上的曳力(拖拉力)。流體密度取

=1.23kg/m3。4.6動量方程2023/2/564Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程求解：(1):應用連續性方程：2023/2/565Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程(2):應用動量方程：2023/2/566Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題13：

用V1和面積比給出在一個突然擴張管道中的壓頭損失的表達式。假設在出入口速度均勻分布，并且在管道突然擴張處的壓強為

p1。求解：(1):選擇控制體(2):應用動量方程：4.6動量方程2023/2/567Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程(3):應用能量方程：(4):應用連續性方程：2023/2/568Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws3.應用于導流片的動量方程在許多渦輪機械中，例如渦輪機、泵以及壓縮機等，都涉及到動量方程在導流片中的應用。這類問題可以分為兩種：流體的噴射被固定的導流片偏轉；流體的噴射被運動的導流片偏轉。對于這兩種問題，假設：流體噴射外部的壓強處處恒定，因此當流體流過導流片時，流體中的壓強保持恒定；忽略由于流體與導流片間的相互作用所產生的摩擦阻力；體積力，即控制體的重量很小，予以忽略。4.6動量方程2023/2/569Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)固定的導流片假設壓強恒定4.6動量方程2023/2/570Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)運動導流片(考慮一個單一導流片)在這個運動系中：在固結于固定噴嘴上的參考系中，流動是非定常的。4.6動量方程在固結于導流片上的參考系中，流動是定常的。

當流體相對于導流片流動時，流體的相對速度保持恒定；由于壓強不變，因此流速也不變。2023/2/571Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題14：

一個導流片將水流偏轉30°角。在圖示的位置處需要施加多大的支持力？已知

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