一、多維隨機變量及其聯合分布

二、邊際分布與隨機變量的獨立性三、多維隨機變量函數的分布四、多維隨機變量的特征數第三章多維隨機變量及其分布五、條件分布與條件期望二、數學期望與方差的性質三、協方差一、多維隨機變量函數的數學期望四、相關系數§3.4多維隨機變量的特征數五、隨機向量的數學期望向量與協方差矩陣定理2.2.1

設Y=g(X)是隨機變量X的函數，若E(g(X))存在，則一、多維隨機變量函數的數學期望（1）若二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布列為則Z=g(X,Y)的數學期望為（2）如果Z=g(X,Y)是二維連續型隨機變量，聯合概率密度為f(x,y),則Z=g(X,Y)的數學期望為特別地，若取g(X,Y)=X,可以得到X的期望為——離散——連續例3.4.1在長度為a

的線段上任取兩個點X和Y,求這兩點間的平均長度。解：因為X、Y獨立，且都服從U(0,a).所以（X,Y）的聯合密度函數為積分計算須分區域.注意：直接代公式較麻煩，可以先求Y的分布.二、數學期望與方差的性質線性分析：直接寫出X的分布非常困難，因為每一只球可能多次被摸到.考慮每一種顏色的球是否被摸到.引入隨機變量如下：例3.4.4設一袋中裝有m只顏色各不相同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同顏色的數目，求E(X)。例3.4.4設一袋中裝有m只顏色各不相同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同顏色的數目，求E(X)。該方法稱為分解隨機變量法,求期望不需要獨立性三、協方差協方差也稱為相關中心矩。聯合分布中各分量間的關系注意：詳見協方差的性質協方差的主要性質:注：以上性質可用定義及期望的性質來證明.反之不能成立！補充說明：四、相關系數在表示隨機變量的關系時，為了消除量綱的影響，引入了相關系數的概念。引理——施瓦茨不等式證：注：施瓦茨不等式表明相關系數的取值范圍是相關系數的性質：

當ρ=0時，稱X,Y不相關；當ρ=±1時，稱X,Y幾乎處處有線性關系.補充說明相關系數ρ(X,Y)刻畫了隨機變量X、Y間線性相關的程度。ρ=±1時，表示X、Y幾乎處處具有線性關系；ρ=0時，表示X、Y不具有線性關系，但可以具有其他（如曲線）關系。獨立性是指兩個隨機變量不具有任何關系。對二元正態分布來說，獨立性與不相關〔ρ=0〕是等價的。與協方差相比較，相關系數是一個不帶單位的系數，消除了量綱的影響，可以更準確地反映隨機變量間的關系；同時，也方便不同類型隨機變量的比較。00.511y=x注：協方差雖然很小，但相關系數卻比較大。所以協方差反映隨機變量的相關程度不是很準確的。例12【投資風險組合】設有一筆資金,總量為1,如今要投資甲、乙兩種證券。若將資金x1投入甲證券，余下資金x2=1-x1投入乙證券，于是就形成了一個投資組合。記X為投資甲證券的收益率，Y為投資乙證券的收益率，它們都是隨機變量。若已知X、Y的均值和方差分別是μ1，μ2

和σ12，σ22

，X和Y的相關系數為ρ。試求該投資組合的平均收益和風險，并求使風險最小的x1是多少？解：因為該組合的收益為所以平均收益為風險（方差）為按照求函數極值的方法可求出這時，該組合投資的風險最小。五、隨機向量的數學期望與協方差陣對于多維隨機變量，我們以矩陣的形式給出其數學期望和方差。為隨機向量的方差——協方差陣，簡稱協方差陣，協方差陣的重要性質n維隨機向量的協方差陣是一個對稱的非負定矩陣.詳見P180—定理3.4.2例3.3.1概率解等價于概率結論設兩個獨立的隨機變量X與Y的分布律為求隨機變量Z=X+Y的分布律.得因為X與Y相互獨立,所以解例3.3.2可得所以例3.3.3（泊松分布的可加性）證例3.3.4（二項分布的可性）證二、最大值與最小值的分布例3.3.5（最大值分布）解例3.3.6（最小值分布）解三、二維連續型隨機變量函數的分布Z=X+Y的分布由此可得概率密度函數為由于X與Y對稱,當X,Y獨立時,卷積由公式解例3.3.7

（正態分布的可加性）

設兩個獨立的隨機變量X與Y都服從標準正態分布,求Z=X+Y的概率密度.得說明有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然服從正態分布.見教材P168中間.例3.3.8（伽瑪分布的可加性）證由伽瑪分布的兩個特例：得到另外兩個結論：例3.3.9證四、變量變換法仍以介紹二維隨機變量函數的分布，對于n維的情況其方法類似.1.變量變換法注：此方法的證明涉及二重積分換元法，這里不作證明.