第6章多維約束優化方法6.1隨機方向法 976.2復合形法 996.3可行方向法 1046.3.1可行方向的產生方法 1046.3.2尋優策略 1056.3.3算法步驟 1076.4懲罰函數法 1106.4.1內點懲罰函數法 1116.4.2外點懲罰函數法 1146.4.3混合懲罰函數法 1166.5網格法 1186.6線性逼近法 1196.7廣義簡約梯度法 1226.8二次規劃法 1256.9結構設計的優化準則法 126§6.0引言機械優化設計中的問題，大多數屬于約束優化設計問題，其數學模型為根據求解方式的不同，可分為:直接解法，間接解法。

直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，思路是在m個不等式約束條件所確定的可行域內，選擇一個初始點，然后決定可行搜索方向S，且以適當的步長，沿d方向進行尋優，得到一個使目標函數值下降的可行的新點，即完成一次迭代。再以新點為起點，重復上述尋優過程，直至滿足收斂條件?？尚行裕哼m用性：步長可行搜索方向

可行搜索方向：當設計點沿該方向作微量移動時，目標函數值將下降，且不會越出可行域。隨機方向法、復合形法、可行方向法等

間接解法的基本思路是將約束優化問題通過一定形式的變換，轉化為一個或一系列的無約束優化問題。再對新的目標函數進行無約束優化計算，從而間接地搜索到原約束問題的最優點。罰函數法。等式約束優化問題的拉格朗日乘子法

極值點處：其中為待定系數，稱為拉格朗日乘子。等同于以下無約束優化問題

例：增加一個斜坡，把碗底移動了多維有約束優化方法在求解約束優化問題時，雖然可以利用第三章的無約束優化方法，再加上約束的邏輯判斷，使搜索點保持在可行域內逐步逼近約束極值點，但這樣處理太復雜，缺乏嚴格的科學性。因此，出現了一些直接求解約束優化問題的方法，其基本思路也是數值迭代法。目前，約束優化方法雖然不如無約束優化方法那樣多而完善，但對求解工程優化問題已有很多較好的方法。(1).直接解法

直接法包括：網格法、分層降維枚舉法、復合形法、隨機試驗法、隨機方向法、可變容差法和可行方向法。(2).間接解法

間接法包括：罰函數法、內點罰函數法、外點罰函數法、混合罰函數法、精確罰函數法、廣義乘子法、廣義簡約梯度法和約束變尺度法。對比無約束優化方法：

直接尋優：不需要利用目標函數和約束函數的梯度，就可直接利用迭代點和目標函數值的信息來構造搜索方向。間接尋優：須利用目標、約束函數的梯度，其中也包括利用差分來近似梯度的應用。§6-1隨機方向法基本思想：利用計算機產生的隨機數構成隨機方向組，在可行域內沿該方向組中最好的方向進行尋優。屬于直接解法。

一、隨機方向的產生（random,ran）二、方法首先選定可行（在可行域內）初始點，利用隨機函數構成隨方向，按給定初始步長取得試探點，檢查適用性（目標下降）和可行性，均滿足則作為新起點，繼續取試探點，否則重新產生隨機方向，以最終成功點為起點，繼續尋優。如M個試探方向均失敗，則縮短步長繼續。終止條件：步長足夠小。流程圖太復雜,須重畫思路較清晰的尋找隨機方向改進算法的程序流程簡圖尋找極值點的雙向尋優改進算法程序流程簡圖

隨機數的產生隨機方向由列陣表示，其每個元素均應為正負幾率相同隨機數，否則不能保證尋優方向的隨機特性。高級計算機語言均提供了產生隨機數的函數，如VisualBasic語言為random、RND；Fortran語言為SEED(INTEGER(4)iseed)、random、rand；Matlib語言為rand、randn；C語言為randomize(void)、rand(void)、srand(unsigned)、random(int)。由于C語言的適用性、可移植性強，所以本文對TurboC隨機數產生的實現提出相關技巧。TurboC產生隨機數有兩種方法：（１）由randomize(void)、rand(void)產生[0,32767]區間的隨機整數。該方法產生的隨機數與時鐘有關，適合于兩個隨機數相差時間較長的情況，如集中給出隨機數，則在當前計算機的運算速度下會產生相同的隨機數。因此隨機方向法不能采用這種方法產生隨機數。（２）由srand(unsignedseed)、random(intnum)產生[0,num-1]區間的隨機整數（該隨機數與seed的數值有關），可用于隨機方向法。方向列陣的元素不能都是大于零的，因此可由以下程序段產生[-50，50]區間內的隨機數：srand(seed1);seed1+=57;seed1=seed1%10001;dum=random(101)-50;相關技巧為：以累加素數的方法保證每個隨機數對應的seed均不同，為保證seed不超出unsigned數據類型的范圍將其限制在一定范圍之內，以減去中間值的方法保證隨機數為正和為負的機率相同。最壞點：目標函數值最大的點；中心點：除去最壞點的復合形幾何中心；映射點：最壞點相對于中心點的對稱點或其拉近點；復合形的收縮：因映射系數不斷減半，各頂點的距離逐漸縮短§6-2復合形法一、基本思想（摸魚）通過對復合形各頂點的函數值計算與比較，找出壞點，反復進行壞點的映射與復合形的收縮，使之逐步逼近約束極值點。初始復合形：N+1~2N個隨機可行點組成；單形替換法框圖二、初始復合形的構成

隨機產生，逐一調入可行域

三、復合形法的迭代步驟1初始復合形。計算各頂點函數值，確定壞點、次壞點、好點；2計算中心點X0，計算映射點，并檢查是否在可行域內。若為非可行點，將映射系數縮半后改變映射點，直到映射點進入可行域內；3構成新的復合形計算映射點目標函數，并與壞點函數值相比較，若優于壞點，則替換，否則縮半映射系數。M次縮短后仍不優，則改用次壞點映射方向。4判斷終止條件：四、特點（1）復合形法是求解約束非線性優化問題的一種直接方法，僅通過選取各頂點并比較各點處函數值的大小，就可尋找下一步的探索方向。但復合形各頂點的選擇和替換，不僅要滿足目標函數值下降的要求，還應當滿足所有的約束條件。（2）復合形法適用于僅含不等式約束的問題。（3）沿映射方向進行一次有約束的一維尋優得到映射點可能會更好。(可行域為凸集)(單形替換法)五、例5-2

（1）取頂點數為2N=4，產生初始復合形的頂點并檢驗可行性，計算各點的目標函數值，確定好點、次壞點、壞點。

取映射因子α為1.3在可行域之外，取映射因子α為1.0上課之前用M語言畫出該題的圖示在可行域之外，取映射因子α為0.4#include<math.h>/*數學庫*/#include<stdlib.h>/*標準輸入輸出庫*/#include<time.h>/*時間庫*/#defineK6/*復合形的頂點數*/#definee0.001/*以復合形大小判斷收斂精度*/doublefun(doublex1[3]);/*三維優化問題目標函數*/inttj(doublexx[3]);/*檢驗可行點的子程序*/intcomplex();/*復合形法子程序*/voidini_complex();/*產生初始復合形的子程序*/main()/*主函數*/{doublea[3]={-100,-200,-30},b[3]={1,3,5};/*設計變量的上下界{82,82,10},b[3]={220,210,50}*/doublezj[6][3];/*復合形頂點坐標*/doublexc[3],y=0;/*最優點（中心點），最優解*/inti,k,k1;/**/time_tt;srand((unsigned)time(&t));/*顯示時間*/for(i=1;;i++){ini_complex(a,b,zj);/*產生初始復合形*/if(complex(zj,xc,y)){printf("\n最優點坐標：x1=%12.5ex2=%12.5ex3=%12.5e\n最優解為%12.5e\n",xc[0],xc[1],xc[2],y);exit(0);}else{printf("\n第%d次重新產生初始復合形\n",i);}}}/*結束主程序*//*產生初始復合形的子程序*/voidini_complex(a,b,zj)/*上界，下界，各頂點坐標*/doublea[3],b[3],zj[6][3];{doublex[6][3],s[3];/*初始復合形頂點坐標(只保證其一可行);頂點坐標之和*/doublebkx[6][3],xd[3];/*形成的初始復合形中不可行的頂點坐標,其中所有可行點的中心點坐標*/intq=1,m=0,i,k,k1;/*可行點數,不可行點數*/time_tt;srand((unsigned)time(&t));/*顯示時間*/cx:for(i=0;i<3;i++)x[0][i]=a[i]+rand()*(b[i]-a[i])/32767;/*產生隨機點*/if(!tj(x[0]))gotocx;/*如果不在可行域，則重新產生*/for(i=0;i<3;i++)zj[0][i]=x[0][i];/*zj數組用來存放滿足條件的復合形的頂點，后同．*/for(k=1;k<K;k++)/*隨機產生其它頂點*/{for(i=0;i<3;i++)x[k][i]=a[i]+rand()*(b[i]-a[i])/32767;}for(i=0;i<3;i++)s[i]=x[0][i];q=1;m=0;/*可行點數、不可行點數*/for(k=1;k<K;k++){if(tj(x[k]))/*如果第k個頂點在可行域*/{for(i=0;i<3;i++){zj[q][i]=x[k][i];/*頂點*/s[i]=s[i]+x[k][i];/*頂點坐標和*/}q=q+1;/*可行點的數目+1*/}else {bkx[m][i]=x[k][i];m=m+1;}/**/}/*隨機產生的頂點中，有(q)個可行點，其坐標保存于zj[][]；有m個不可行點，其坐標保存于bkx[][]*/for(i=0;i<3;i++)xd[i]=s[i]/(q+0.0);/*初始復合形中所有可行點的中心點坐標*/for(k1=0;k1<K-q;k1++)/*采用與中心點距離減半法，將不可行點拉進可行域*/{cl:for(i=0;i<3;i++)bkx[k1][i]=xd[i]+0.5*(bkx[k1][i]-xd[i]);if(!tj(bkx[k1]))gotocl;/*如果仍不可行，則繼續拉近*/for(i=0;i<3;i++){zj[q][i]=bkx[k1][i];q=q+1;}/*zj[][]保存可行點的坐標*/}return;}/*結束產生初始復合形的子程序*/映射系數法一維尋優法復合形法的改進（1）當沿映射方向：最壞點中心點尋優時，如最優點為最壞點，則最壞點在非凸性約束邊界上，須令該最壞點向最好點靠攏，移動距離為兩點間距離的一半。可反復按以下公式修正，直至最壞點為可行點。（2）當約束邊界為直線時，易造成復合形兩條或兩條以上的棱線重合或接近于重合，這種情況也是復合形降維的原因之一。須在必要時移動新頂點，使復合形保持維數不變。為避免三點共線的情況，可在更新復合形之后逐個比較頂點間連線，適當地移動復合形頂點，使同一頂點處的相鄰棱線保持一定的角度。設三點序號為1、2、3，點1與點2的連線表示為s1、點1與點3的連線表示為s2、點3移動的方向為s3。如果方向s1、s2平行，則滿足式（6.2-2）。

§6-3可行方向法可行方向法是求解大型約束優化問題的主要方法之一。這種方法的基本原理是在可行域內選擇一個初始點，當確定了一個可行方向S和適當的步長后，按式:進行迭代計算，迭代點具有可行性和適用性。在不斷調整可行方向的過程中，使迭代點逐步逼近約束極值點。一、基本尋優過程

第一步迭代都是從可行的初始點出發，沿該點的負梯度方向，第二步尋優至某一個約束面（只有一個起作用的約束時）上,或約束面的交集（有幾個起作用的約束時）上。第三步按以下三個策略尋優。沿非線性約束面的搜索：一般是沿著起作用約束的邊界以割線方式逐步逼近極值點。尋優策略一：當前點在約束面上，則產生一個可行方向尋優，得到新點在可行域內，則命名為當前點。尋優策略二：若得到的新點在可行域外，則取可行方向與約束面的交點為當前點。尋優策略三：沿約束面搜索。非線性約束面須將進入非可行域內的新點設法調整到約束面上，即沿約束函數的梯度方向。假設約束函數線性，則步長估計為二、適用可行方向的數學條件

可行方向是指沿該方向作微小移動后，所得到的新點是可行點，且目標函數值有所下降。

可行方向Ｓ應滿足兩個條件：1）可行性條件2)適用性條件下降可行性條件：沿該方向做微小移動后，所得到的新點為可行點。SS滿足可行和下降條件，即式:在點x(k)

，約束曲面的切線和目標函數等值線的切線所圍成的扇形區，稱為可行下降方向區。三、可行方向的產生方法滿足可行、下降條件的方向位于可行下降扇形區內，在扇形區內尋找一個最有利的方向作為本次尋優的方向。（1）負梯度方向

（2）優選方向法

由條件：求一個以尋優方向S為設計變量的約束優化問題

s.t.將約束３作為探測點的調整依據，則各函數均為設計變量S的線性函數，因此尋優方向的確定成為一個（線性）規劃問題。（３）梯度投影法

當x(k)點目標函數的負梯度方向不滿足可行條件時，可將方向投影到約束面（或約束面的交集）上，得到投影向量

Sk。P——投影算子，為n×n階矩陣

G——起作用約束函數的梯度矩陣，n×J階矩陣；

x(k)S(k)g1(x)=0g2(x)=0g3(x)=0g4(x)=0四、步長的確定(確定尋優點之后)確定的步長應使新的迭代點為可行點，且目標函數具有最大的下降量。——約束一維搜索1）取最優步長從x(k)點出發，沿S(k)

方向進行一維尋優，取得最優步長，計算新點x的值。2）取到約束邊界的最大步長

從x(k)

點出發，沿S(k)

方向進行一維尋優，得到的新點x為不可行點。

改變步長，使新點x返回到約束面上來。使新點x恰好位于約束面上的步長稱為最大步長。調整探測點至可行域之內的改進算法流程簡圖約束一維搜索：與以前所講過的一維搜索相比，約束一維搜索的特點在于：確定初始區間時，對產生的每一個探測點都進行可行性判斷，如違反了某個或某些約束條件，就必須減少步長因子，以使新的探測點落在最近的一個約束曲面上或約束曲面的一個容許的區間內。0x1x2x(k)S(k)xk+1g2(x)=0g1(x)=0a*S

(k)aMS

(k)x如得到的相鄰三個探測點都是可行點，而且函數值呈“大－?。蟆弊兓?，則與前面一維搜索相同，兩端點所決定的區間就是初始區間，接著縮小區間的到一維最小點。如最后得到的探測點落在約束曲面的一個容限之內，而且函數值比前一點的小，則該點就是一維極小點。f(a1)f(a2)f(a1)f(a2)a1

a1

a2a0a0

a2f(a’3)f(a’3)a’3a’3f(a3)f(a3)a3a31）設計點x(k)

及約束允差滿足五、收斂條件2）設計點x(k)

滿足庫恩-塔克條件基于盲人探路尋優思想的可行方向法程序框圖例題5-3：用可行方向法求約束優化問題解:(1)取初始點，則起作用約束集:Jk={1}(2)尋找最優方向，即解一個以可行方向為設計變量的規劃問題：1s1s2用圖解法：最優方向：0--11

(3)沿S

(0)方向進行一維尋優：x(1)在約束邊界g3(x)=0上:g3(x(1))=0(4)第二次迭代，用梯度投影法確定可行方向迭代點x的目標函數負梯度不滿足方向的可行條件，將投影到約束邊界g3(x)=0上。投影算子：由上式可求得：本次尋優方向S(1)為沿約束邊界g3(x)=0的方向，求最佳步長求得：g5(x)=068x1x2g4(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g1(x)=0x(0)S(0)（5）收斂精度判斷：由于Jk={3，5}代入KKT條件：可見滿足KKT條件，是優化問題的極值點。由于目標函數是凸函數，可行域是凸集，該點也是優化問題的全局極值點。§6-4懲罰函數法前述方法為直接法，本節為間接法，將約束優化問題轉化為無約束優化問題來求解。

（1）懲罰函數法的基本思想：在原目標函數中，按照一定規則，添加一些與約束函數相關的項，形成一系列新的目標函數（即懲罰函數）。然后用無約束優化方法依次求新目標函數的最優點。獲得的序列最優點收斂于原約束優化問題的極值點。（2）構成的新目標函數，稱為懲罰函數。前提：一是不能破壞約束問題的約束條件，二是使它歸結到原約束問題的同一最優點上去。一般形式為：按一定的法則構成序列罰因子r1

和r2

的值，得到序列無約束優化問題，依次求得序列無約束問題的最優點，則序列最優點收斂于原約束優化問題的極值點。從而有（3）懲罰項必須具有以下極限性質：

根據懲罰項的不同構成形式，懲罰函數法又可分為外點懲罰函數法、內點懲罰函數法和混合懲罰函數法。6.4.1內點法：將懲罰函數定義于可行域內，序列最優點在可行域內逐步逼近約束邊界上的極值點。內點法只能用來求解具有不等式約束的優化問題。懲罰函數的形式：或：rk是懲罰因子，一個遞減并趨近于0的正數序列，即:迭代過程中“障礙項”的作用是阻止迭代點越出可行域。當迭代點靠近某一約束邊界時，其值趨近于0，而“障礙項”的值陡然增加，并趨近于無窮大，好像在可行域的邊界上壘起了一道“高墻”，使迭代點不能越出可行域。只有當懲罰因子時，才能求得約束邊界上的最優點

流程圖：核心為無約束優化方法(5)例5-3用內點法求的約束極值點。解:用內點法求解該問題時，首先構造內點懲罰函數:用解析法求函數的極小值，運用極值條件：

即：由圖可見,在可行域內,x1隨著r的減小而減小.當x2=0時,目標函數值隨著x1的減小而減小.

當r0時,懲罰函數的最優點趨近于原目標函數的極值點[1,0]x1x2（6）、1）

初始點x0的選取使用內點法時，初始點應選擇一個離約束邊界較遠的可行點。如太靠近某一約束邊界，構造的懲罰函數可能由于障礙項的值很大而變得畸形，使求解無約束優化問題發生困難.2）

懲罰因子初值r(0)的選取懲罰因子的初值應適當，否則會影響迭代計算的正常進行。一般而言，太大，將增加迭代次數；太小，會使懲罰函數的性態變壞，甚至難以收斂到極值點。無一般性的有效方法。對于不同的問題，都要經過多次試算，才能決定一個適當

r(0)

3)懲罰因子的縮減系數c的選取在構造序列懲罰函數時，懲罰因子r是一個逐次遞減到0的數列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關系為:式中的c稱為懲罰因子的縮減系數，c為小于1的正數。一般的看法是，c值的大小在迭代過程中不起決定性作用，通常的取值范圍在0.1~0.7之間。

4)收斂條件(7)算法步驟①選擇可行域內初始點。②選取初始罰因子r、罰因子縮減系數c=0.1-0.5，K＝0。

③求罰函數最優點，。④按終止準則判別，如滿足則輸出最優解。⑤。⑥轉至3防越界可隨r的減小而增大1、懲罰因子初始值以原目標函數和罰函數的數值相等為原則設置，有一定局限性（例題*1000才可以）2、如不采用加高圍墻的防越界方法，則須調整he1e2隨r變小等一些措施，碰巧才能求得約束最優點。3、按給定的低精度，不采用加固圍墻的方法則越界，采用該方法能尋得最優點，但是提高精度則出現計算失敗的現象。如何修補程序的漏洞使之適合于高精度求優？#include<stdio.h>#include<math.h>intK=0;/*調用目標函數次數*/voidmain();/*主程序*/voidsumt();/*內點懲罰函數法子程序*/voidpower();/*鮑威爾法子程序*/voidJT();/*進退法確定極值點所在區間*/intGolden();/*黃金分割法子程序*/doublefunc();/*計算懲罰函數值*/doublefunc0();/*原目標函數值*/intgau();/*約束函數的函數*/voidmain(){intn=2;/*維數*/doublex0[2];/*初始點,返回最優點*/doubley[1],h;/*最優解,初始步長*/doublee1,e2,e3;/*收斂精度值:一維尋優,POWELL法*/doubleg[3];x0[0]=-3;x0[1]=3;/*可行點*/e1=1.0e-5;e2=1.0e-5;e3=1.0e-5;h=0.1;sumt(n,x0,e1,e2,e3,h,y);/*維數，初始點(返回最優點),一維、Powell收斂精度值,進退法初始步長，最優解*/printf(“……);}voidsumt(n,x0,e1,e2,e3,h,y)/*內點懲罰函數法子程序*/intn;/*維數*/doublex0[2];/*初始點,返回最優點*/doubley[1];/*最優解*/doublee1,e2,e3;/*收斂精度值:一維尋優,POWELL法,懲罰函數法*/doubleh;/*進退法初始步長*/{inti,k;doublexl[2];/*存儲初始點*/doubler,c=0.1;/*懲罰因子及其遞減系數*/doubleg[3];/*約束函數的函數值*/doublef,f0,dum;/*尋優解，初始解，臨時變量*/f0=func0(x0[0],x0[1]);/*初始點目標函數值*/y[0]=f0;gau(x0[0],x0[1],g);

r=fabs(f0*(g[0]+g[1]+g[2]));/*初始懲罰因子避免被零除*/if(r<1)r=1;/*避免初始罰因子過小*/for(k=1;;k++){xl[0]=x0[0];xl[1]=x0[1];power(n,x0,e1,e2,h,y,r);/*Powell法，維數，初始點，兩個精度，進退法步長，最優解，懲罰因子*/h=h*c;/*一維尋優的步長也遞減,減小越界的幅度*/f=func0(x0[0],x0[1]);/*尋優點目標函數值*/dum=fabs(f-f0);if(fabs(f0)>1)dum=dum/fabs(f0);

if(k>6&&dum<e3)/*k>100*/{y[0]=f;return;}/*x0[2]返回最優點*y返回最優解*/r=c*r;/*更新懲罰因子*/f0=f;}/*計算循環*/}/*結束內點懲罰函數法子程序*/§6-4.2外點懲罰函數法

外點法是從可行域的外部構造一個點序列去逼近原約束問題的極值點。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優化問題。

外點懲罰函數的形式為：

r是懲罰因子,懲罰項的作用是迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。由懲罰項的形式可知，當迭代點x

不可行時，懲罰項的值大于0。加懲罰項就象在邊界外堆土堆一樣，越堆越高。注意如極值點不在邊界上，離極值點太遠的初始點不合適。（1）如極值點在邊界上，則序列最優點在非可行域一側。（2）初始點無特殊要求。（3）初始罰因子不宜太大，也不宜跟初始點有關，可針對不同約束設置不同的值，設置原則是“首次起作用時，在邊界外某段距離處，懲罰項的值與目標函數的值相當”。（4）懲罰因子的遞增系數可設置在5~10范圍內。

例5-4用外點法求解下列有約束優化問題解：懲罰函數為：

求偏導，得

無約束目標函數極小化問題的極值點系列為：當懲罰因子漸增時，由下表可看出收斂情況。r0.01-0.80975-50.00000-24.9650-49.99770.1-0.45969-5.00000-2.2344-4.947410.23607-0.500000.96310.1295100.83216-0.050002.30682.000110000.99800-0.000502.66242.6582∞108/38/3內點法與外點法的比較懲罰項罰因子初始點尋得邊界最優點內點法域內(邊界內側)壘墻遞減必須域內在域內逼近外點法域外(邊界外側堆土堆)遞增可域內，也可域外在域外逼近內點法適用于只含不等式約束的優化問題，外點法還可含等式約束§6-4.3混合懲罰函數法在可行域外側、內側均設置懲罰項

：例5-5等式約束起到降維的作用。漸近尋優懲罰函數法具有漸進尋優的特點，對于約束邊界與目標函數等值線接近于平行的優化問題，也可以取得較好的尋優效果。該類優化問題的邊界極值點，稱為畸形極值點。改進隨機方向法的計算結果基于盲人探路優化思想的復合形法加固圍墻的內點懲罰函數法和外點懲罰函數法§6-5網格法1基本思想(Meshmethod)網格法是直接在設計變量的可行域內，有規律地取一系列點，如分布網格，取網格上下的結點，求這些點的目標函數值，找出其中較小的點，作為第一次優化點；然后在第一次迭代優化點附近，取一定的范圍，再細分網格，計算網格結點的目標函數值，進行比較，找出第二次迭代的優化點，這樣一直迭代下去，直到滿足精度要求為止［7（如圖7）。］李兵.基于網格法的汽車轉向梯形機構的優化設計(Optimumdesignofautomobilesteeringtrapeziumusingmeshmethod).機械工程師,2005年第8期2迭代步驟（1）在變量的可行域內分布網格，網格的間隔為（2）計算網格的結點（3）逐點檢查網格結點是否符合約束條件，對符合約束條件的點，計算其目標函數值，然后進行比較，找出函數值最小的點，為本次迭代的最優點。（4）迭代終止精度指標；（5）如不滿足精度指標，則在本次迭代最優點附近，取下次迭代的變量的上、下限。然后轉到第一步，分布網格，重新計算?；诰W格法的汽車轉向梯形機構的優化設計《機械工程師》2005年第8期OptimumDesignofAutomobileSteeringTrapeziumUsingMeshMethod關鍵詞：網格法,轉向梯形,優化設計作者：李兵概述：介紹了網格法的基本原理,建立了用于汽車轉向梯形機構優化設計的數學模型,并運用此數學模型對BJ130型汽車的轉向梯形機構進行了優化設計.§6-6線性逼近法在某個近似點處，將約束函數和目標函數進行泰勒展開，只保留一次項，從而轉化為線性規劃問題。求解該線性規劃，并將其極值點作為原問題新的近似點。然后再在該近似點處展開。重復至相鄰兩次極值點足夠接近為止。

§6-7廣義簡約梯度法

用來求解具有非線性等式約束和變量界限約束的優化問題。設法處理約束函數，將原問題轉化成僅具有變量邊界約束的優化問題?！?-8二次規劃法（逼近）

將原問題轉化為一系列二次規劃問題。求子問題得到本次迭代的搜索方向，沿搜索方向尋優，最終逼近問題的極值點。該算法是利用擬牛頓法（變尺度法）來近似構造海賽矩陣，從而建立二次規劃子問題的。補充選講材料5.3序列二次規劃法序列二次規劃法的基本原理是將原問題轉化為一系列二次規劃子問題。

對于相對應的拉格朗日函數為：在xk點作泰勒展開，取二次近似表達式令拉格朗日函數的一階導數為

，H(k)用變尺度矩陣Bk來代替

將等式約束函數在xk作泰勒展開，取線性近似式:構成二次規劃子問題

求解上述二次規劃子問題，得到的d就是搜索方向。沿搜索方向進行一維搜索確定步長，最終得到原問題的最優點。

對具有不等式約束的非線性規劃問題：構成二次規劃子問題為:

求解時，在每次迭代中應對不等式約束進行判斷，保留其中的起作用約束，除掉不起作用的約束，將起作用的約束納入等式約束中。這樣，其中不等式約束的子問題和只具有等式約束的子問題保持了一致。

§6-9結構設計的優化準則法通常是在保證性能約束條件下，滿足結構體積盡量小以減輕重量或節約材料。其性能約束一般是取結構固有頻率禁區約束、振型約束、結構變形或許用應力約束。直接從結構力學出發，以滿應力設計和同步失效準則為原則進行設計，稱為準則法。以極大值原理為基礎，基于結構彈性力學模型和泛函極值的求解方法，為形狀優化及拓撲及布局優化。若桿件截面積為A、軸向受力為S、桿長為l、許用應力為[σ]，則優化問題為：等式約束可唯一確定設計變量總結1、掌握直接解法和間接解法的思想；2、掌握隨機方向法、復合形法、可行方向法、網格法、三種懲罰函數法的尋優思想；3、圍墻土堆法的三種懲罰項構成及尋優步驟；4、編程：外點懲罰函數法。加一個等式約束figure;%B卷試題6[x1,x2]=meshgrid(-5:0.1:12,-6:0.1:6);z=x1.^3+x2.^3-2*x1-4*x2+6;%v=[10