課程信息教材：《概率論與數理統計》浙江大學教師：林軍課程要求：(1)課前預習

(2)認真聽講

(3)課后復習,認真完成作業概率論與數理統計第一部分概率論第二部分數理統計第一部分概率論第一章概率論的基本概念第二章隨機變量及其分布第三章多維隨機變量及其分布第四章隨機變量的數字特征第五章大數定律和中心極限定理第二部分數理統計第六章數理統計的基本概念第七章參數估計第八章假設檢驗引言

概率論是一門研究隨機現象規律的數學分支

其起源于十七世紀中葉，當時在誤差、人口統計、人壽保險等范籌中，需要整理和研究大量的隨機數據資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機現象的規律性的數學

但當時刺激數學家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博問題

首先要提到的有三位數學家費馬（1601-1655）法國律師和業余數學家）帕斯卡（1623－1662）法國數學家、物理學家、哲學家、散文家惠更斯(1629—1695)荷蘭物理學家、天文學家、數學家，費馬向帕斯卡提出下列的問題：

現有甲，乙兩個賭徒各出30萬元共60萬元作為賭注，每局甲，乙取勝機會相等，約定誰先贏3局就算贏了.當賭徒甲贏2局，而賭徒乙贏1局時，賭博因故中止，那賭本應怎樣分才合理呢？

假設我們讓賭徒繼續賭完，最多兩局就可以分出勝負可能結果為：

前3種結果甲贏最后1種結果乙贏，

故合理分配為甲45萬元，乙15萬元甲甲，乙甲，甲乙,乙乙

這些問題后來被來到巴黎的荷蘭科學家惠更斯獲悉，回荷蘭后，他獨立地進行研究。

經過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數學問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的論著。

因此可以說早期概率論的真正創立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。

這一時期被稱為組合概率時期，計算各種古典概率

瑞士數學家族——貝努利家族（共出現了11位數學家）的幾位成員對概率論這一學科做出了重要貢獻，特別是雅可布·貝努利

雅可布繼續分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并花了20年時間完善并證明了“大數定律”。雅各布·伯努利一生最有創造力的著作就是1713年出版的《猜度術》,雅可布·貝努利（1654-1705）瑞士數學家

在概率論中引入了更有力的數學分析工具。他證明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”，還建立了觀測誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理論》，這是一部繼往開來的作品。

拉普拉斯將古典概率論向近代概率論進行推進，拉普拉斯(1749－1827)是法國分析學家、概率論學家和物理學家，拿破侖的老師

概率論在20世紀再度迅速地發展起來，中心極限定理終于被嚴格的證明了，以后數學家正利用這一定理第一次科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從以正態分布。

到了20世紀的30年代，人們開始研究隨機過程，其中著名的是1931年的馬爾可夫過程的理論馬爾可夫（1856-1922）俄羅斯數學家

柯爾莫哥洛夫在概率論發展史上亦作出了重大貢獻，1933完成了概率的公理論化體系，在三條簡潔的公理下，發展出概率論整座宏偉建筑，有如歐幾里德公理體系（五條）下發展的整部幾何柯爾莫哥洛夫（1903－1987）,20世紀蘇聯最杰出的數學家，也是20世紀世界上為數極少的幾個最有影響的數學家之一。他的研究幾乎遍及數學的所有領域，做出許多開創性的貢獻,馬爾可夫的學生

隨機分析理論在經濟學中有廣泛的應用：

最成功的應用應該是在連續金融領域

1972年布萊克（F.Black1938-1995)和肖爾斯(M.S.Scholes1941~)用Ito公式得到的關于期權定價的布萊克和肖爾斯公式,它成為有史以來使用最頻繁的數學公式

肖爾斯和默頓(R.C.Merton,1944~)榮獲得1997年諾貝爾經濟學獎.一必然現象與隨機現象

在一定條件下可以準確預言結果的現象稱為確定性現象.也稱為必然現象.

“在一個標準大氣壓下1000C的水必定沸騰”

1.確定性現象“沒有外力作用下，作勻速直線運動的物體仍然作勻速直線運動”“沒有外力作用下，向上拋一顆石子必然下落”

實例自然界所觀察到的現象:確定性現象,隨機現象.第一講隨機事件及其運算P1（牛頓：慣性定律）

在條件相同的情況下，某種結果可能發生也可能不發生的現象稱為隨機現象.2.隨機現象

實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現的情況”.結果有可能出現正面也可能出現反面.實例2

“在相同條件下生產同一種零件，觀察它們的尺寸”.結果:“它們的尺寸總會有一點差異

”.2°隨機現象從表面上看，似乎雜亂無章,沒有規律.但實踐證明,如果同類的隨機現象大量重復出現,它的總體就呈現出一定的規律性.注1°隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性聯系,其數量關系無法用函數加以描述.

這種規律性隨著我們觀察的次數的增多而愈加明顯.這種由大量同類隨機現象所呈現出來的集體規律性叫做統計規律性.概率論和數理統計就是研究這種統計規律性的數學學科.

（1）在相同的條件下可以重復地進行;

（2)試驗前就能確定試驗的所有可能結果,

且結果不止一個；1隨機試驗定義二隨機試驗P2(3)試驗前不能確定會出現哪一種結果具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗實例1

“拋擲一枚骰子,觀察出現的點數”.

實例2“從一批產品中,依次任選三件,記錄出現正品與次品的件數”.實例3記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數.實例4考察某地區10月份的平均氣溫.實例5從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.

1樣本點(基本事件)

2樣本空間S隨機試驗的基本結果稱為樣本點

(基本事件).

三基本事件(樣本點),樣本空間SP2

隨機試驗E的所有基本結果組成的集合稱為E的樣本空間,記為

S

.也有用U或Ω的1)觀將一枚硬幣連拋100次,觀察正面出現的次數.例1寫出下列隨機試驗的樣本空間.2）拋擲二枚骰子,觀察出現的結果.從一批產品中,依次任選三件,記錄出現正品與次品的情況.4)記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數.Z-正品C-次品5)一枚硬幣拋3次觀察正面H,反面T

出現的情況等價定義:1隨機事件的定義P3四、隨機事件的概念隨機試驗可能出現的結果稱為隨機事件以大寫英文字母A,B,C,

…來表示事件.樣本空間S的子集稱為隨機事件例如如果試驗是拋一骰子S

={123456}樣本空間由如下六個樣本點組成：A={出現奇數點

}={1，3，5}B={點數不超過3}={1，2，3}C={點數為8}=φ1一次隨機試驗只可能出現一個基本結果S的子集注意:2隨機事件的發生：隨機事件包含的某個基本結果出現P23小結如：上述試驗中“點數不大于6”

就是必然事件.4必然事件S

:隨機試驗中必然會出現的結果.如:“出現1點”,“出現2點”,…,“出現6點”.2基本事件:

由一個樣本點組成的單點集.3復合事件:

由若干個樣本點組成的點集.如：“點數不大于4”,“點數為偶數”

.五隨機事件的關系及其運算P3(一)包含關系“事件A發生必導致事件B發生”記為AB例拋一骰子,則

A是B的子集S={1,2,3,4,5,6}A={點數不超過3}={1,2,3}B={點數不超過4}={1,2,3,4}BAS

(二)事件的和或者事件的并運算P31AB=A+B={事件A與B至少有一個發生}A發生B不發生(II)A,B同時發生(III)B發生A不發生例:A={甲擊中目標}B={乙擊中目標}則A+B={至少有一人擊中目標}AB例:醫生對n個人進行檢查

Ai={第i個人有病}(i=1,2,3…n)={至少有一人有病}2多個事件的和或者多個事件的并A1+A2+A3+…An表示A1

A2

A3…An

至少有一個發生A1+A2+A3+…An1AB=A∩B={A與B都發生}例:A={甲擊中目標}B={乙擊中目標}(三)

事件的積或者事件的交運算P3A與B的交集AB=A∩B={二人都擊中目標}AB例:n個人進行射擊比賽

Ai={第i個人擊中目標}(i=1,2,3…n)={每個人都擊中目標}2多個事件的積或者多個事件的交A1A2A3…An表示A1A2A3…An

每個都發生A1A2A3…An

(四)互斥關系或互不相容關系P4“事件A與事件B不可能同時發生”BASA∩B=AB=φA與B的交集為φ例拋一骰子,則S={1,2,3,4,5,6}A={2,3}B={5,6}則A與B為互斥事件或互不相容事件A

(五)

事件的差運算P41A-B={事件A發生但B不發生}例拋一骰子,則S={1,2,3,4,5,6}A={1,2,3,4,5}B={3,4,6}A-B={1,2,5}B有用等式!

(六)

事件的補運算P4={非A}={A不發生}={A的對立面發生}稱為A的對立事件或逆事件性質:A注意:對立事件與互斥事件的關系(1)A與B為互斥事件時，A與B不一定為對立事件(2)A與為對立事件，則A與為互斥事件BASASB為的子集(七)運算性質（Demorgan律)P5注意此性質非常有用即例1從一批產品中取3件產品進行檢驗（每次取一件，不放回）Ai

={第i次取合格品}i=1,2,3,用符號表示下列事件（1）三次都取合格品，（2）至少有一次合格品（3）恰有二件合格品（4）至多一次取合格品