2023/2/41最優控制1第4章線性系統二次型性能指標的最優控制問題2第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題一：概述實二次型：1.問題的提法：設線性系統的狀態方程和輸出方程為：其中，x(t)是n維狀態向量，u(t)是p維控制向量，y(t)是q維輸出向量，u(t)不受約束。A(t),B(t),C(t)是分段的時間連續函數3Yr(t)表示預期輸出，e(t)為廣義誤差。尋求最優控制u*(t)，使下面二次型性能指標最小。其中，F是q×q半正定常數矩陣

Q(t)是q×q半正定矩陣

R(t)是p×p正定矩陣。2.性能指標J第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題4第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題53.分類<1>調節器問題.yr(t)=0①狀態調節器以零狀態為平衡狀態②輸出調節器<輸出調節器可轉化為狀態調節器>第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題6<2>伺服系統（隨動系統）以不大的能量是系統輸出跟隨給定的輸出而變化。二.狀態調節器1.已知尋求u*(t),使J最小。<X(tf)自由，tf有限>第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題7求解：①構造哈密頓函數：②協調方程：③橫截條件則第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題8④控制方程：⑤狀態方程第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題9的狀態轉移矩陣都可作為初始時刻<分塊>又由橫截條件：則②=③第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題10可以證明存在因此，呈線性關系，可表示為則<實際中不用上式來求P(t)，過于復雜，采用如下方法;>2.黎卡提矩陣微分方程考察兩邊對t求導第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題11將狀態方程帶去上式，則又協態方程:最后可得黎卡提矩陣微分方程如下：又橫截條件則——黎卡提微分方程邊界條件第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題12說明：<1>黎氏方程的解存在且唯一(常微分方程解的存在性唯一性定理)<2>P(t)是對稱陣<3>P(t)≥0J≥0第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題133.結構——反饋增益矩陣上式確定最優軌線第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題144.說明①求J*考察二次型將狀態方程與黎卡提方程帶入上式，之后兩邊對t作t0→tf積分，移項，配方法則第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題15②本問題最優控制的解是存在的且唯一的a.存在性P唯一存在b.唯一性（微分方程解的存在性和唯一性定理）第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題165.總結狀態調節器控制規律其中P(t)滿足下面的矩陣黎卡提微分方程及邊界條件最優狀態x*(t)則是下列線性微分方程解在最優控制情況下，系統性能指標具有最小值第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題17例：設有一階系統性能指標求最優控制u*(t)解：③帶入黎氏方程得第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題18④狀態方程的解雙曲余切（將定常系統變為了時變系統）此時tf有限6.定常情況下，tf→∞時的狀態調節器①結論：設有定常線性可控系統。二次型性能指標第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題19u(t)不受約束，Q、R都是正定常數矩陣則，最優控制存在。且可唯一的表示為其中是n×n正定常數矩陣，滿足下列的非線性黎卡提矩陣代數方程此時最優軌線x*(t)是下列線性是不變齊次方程的解第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題20采用最優控制規律時，系統的性能指標J取最小值J*說明：<1>系統是可控的<2>系統是定常的（前提條件）②無限時間狀態調節器是大范圍漸進穩定的考察二次型第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題21將狀態方程帶入三.輸出調節器1.問題。設有線性系統第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題22其中x(t)為n維狀態向量，y(t)為q維輸出向量，u(t)為p維控制矩陣，u(t)不受約束。假定系統完全能觀，尋找最優控制u*(t),使性能指標最小，其中F和Q(t)是半是正定對稱矩陣，R(t)正定對稱陣2.分析第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題23將代入則<1>對稱陣<2>半正定陣對所有q維向量y(t)都成立第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題24由對所有q維向量C(t)x(t)都成立由于系統完全能觀對所有x(t)都成立3.輸出調節器控制規律其中P(t)滿足下面的矩陣黎卡提微分方程及邊界條件第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題25最優軌線滿足方程最優性能指標為結構圖第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題26最優控制輸出調節器仍然是狀態反饋，不是輸出反饋，需要所有的狀態變量4.線性定常系統當tf→∞時的輸出調節器設有線性系統系統完全能控完全能觀，性能指標第4章——線性系統二次型性能指標的最優控制問題27其中u(t)不受約束，Q、R都是正定常數矩陣則，最優控制存在。且可唯一的表示為其中是n×n正定常數矩陣，滿足下列的非線性