1

平穩隨機過程23.1平穩隨機過程3.2平穩隨機過程的各態歷經性3.3平穩隨機過程的相關函數第三章平穩隨機過程3.4高斯平穩隨機過程33.1平穩隨機過程3.2平穩隨機過程的各態歷經性3.3平穩隨機過程的相關函數第三章平穩隨機過程3.4高斯平穩隨機過程4隨機幅度的正弦信號隨機頻率的正弦信號幅度、相位和頻率都是隨機的隨機相位的正弦信號3.1平穩隨機過程3.1平穩隨機過程Exercise3.1此項為常數此項為零3.1平穩隨機過程Exercise3.17Exercise3.13.1平穩隨機過程8在任何時刻計算嚴平穩過程的統計結果都是相同的嚴平穩過程的n維概率密度不隨時間平移而變化，或者說與時間起點無關。3.1平穩隨機過程Definition3.1(Strict-senseStationaryStochastic

Process)9Definition3.2(JointStrict-senseStationaryStochastic

Process)3.1平穩隨機過程10嚴平穩過程具有以下性質1、嚴平穩過程X(t)的一維概率密度與時間無關嚴平穩過程的數學期望和方差與時間無關3.1平穩隨機過程2、嚴平穩過程X(t)的二維概率密度只與兩個時 刻t1和t2的間隔有關，與時間起點無關。嚴平穩過程X(t)的自相關函數和協方差函數都只是時間間隔的函數。3.1平穩隨機過程嚴平穩過程具有以下性質一維概率密度與時間有關，故不是嚴平穩過程。3.1平穩隨機過程Exercise3.2一個嚴平穩過程只要它的均方值有限，則它必定是廣義平穩的。但是，反之則不一定成立。廣義平穩的高斯過程必定也是嚴平穩的，即對于高斯過程來說，嚴平穩與寬平穩是等價的。Definition3.3(Wide-senseStationaryStochastic

Process)3.1平穩隨機過程隨機幅度的正弦信號隨機頻率的正弦信號幅度、相位和頻率都是隨機的隨機相位的正弦信號3.1平穩隨機過程Exercise3.33.1平穩隨機過程Exercise3.3隨機相位的正弦信號3.1平穩隨機過程Exercise3.3隨機幅度的正弦信號3.1平穩隨機過程Exercise3.3隨機頻率的正弦信號3.1平穩隨機過程Exercise3.3幅度、相位和頻率都是隨機的3.1平穩隨機過程Exercise3.3幅度、相位和頻率都是隨機的3.1平穩隨機過程Exercise3.3幅度、相位和頻率都是隨機的3.1平穩隨機過程Exercise3.43.1平穩隨機過程Exercise3.53.1平穩隨機過程Exercise3.53.1平穩隨機過程Exercise3.5253.1平穩隨機過程Exercise3.63.1平穩隨機過程Exercise3.7273.1平穩隨機過程Exercise3.8283.1平穩隨機過程Exercise3.83.1平穩隨機過程Exercise3.93.1平穩隨機過程Exercise3.93.1平穩隨機過程Exercise3.9323.1平穩隨機過程-聯合平穩Definition3.4(JointWide-senseStationaryStochastic

Process)3.1平穩隨機過程Exercise3.103.1平穩隨機過程Exercise3.10353.1平穩隨機過程3.2平穩隨機過程的各態歷經性3.3平穩隨機過程的相關函數第三章平穩隨機過程3.4高斯平穩隨機過程36兩個平穩過程的典型例子（相同的均值與方差）3.2平穩隨機過程的各態歷經性各態歷經性373.2平穩隨機過程的各態歷經性各態歷經性問題的提出：我們知道，隨機過程的數字特征（均值、相關函數）是對隨機過程的所有樣本函數的統計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數x(t)來決定平穩過程的數字特征呢?回答是肯定的。平穩過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“各態歷經性”（又稱“遍歷性”）。具有各態歷經性的過程，其數字特征（均為統計平均）完全可由隨機過程中的任一實現的時間平均值來代替。如何根據實驗記錄確定平穩過程的均值和自相關函數呢？用統計實驗方法，均值和自相關函數近似地為：按照數學期望和自相關函數的定義，需要時一個平穩過程重復進行大量觀察，獲得一族樣本函數各態歷經性3.2平穩隨機過程的各態歷經性平穩過程的統計特性不隨時間的推移而變化，根據這一特點，能否通過在一個很長時間內觀察得到的一個樣本曲線來估計平穩過程的數字特征呢？本節給出的各態歷經定理證實，只要滿足某些條件，那么均值和自相關函數實際上可以用一個樣本函數在整個時間軸上的平均值來代替。各態歷經性3.2平穩隨機過程的各態歷經性各態歷經過程非各態歷經過程隨機過程的各個樣本函數都同樣地經歷了隨機過程的各種可能狀態，因此從隨機過程的任何一個樣本函數就能得到隨機過程的全部統計信息，任何一個樣本函數的特性都能充分地代表整個隨機過程的特性。各態歷經性3.2平穩隨機過程的各態歷經性Definition3.5(Ergodic

Stochastic

Process)3.2平穩隨機過程的各態歷經性Definition3.5(Ergodic

Stochastic

Process)3.2平穩隨機過程的各態歷經性43Exercise3.113.2平穩隨機過程的各態歷經性Exercise3.113.2平穩隨機過程的各態歷經性45Exercise3.113.2平穩隨機過程的各態歷經性Exercise3.123.2平穩隨機過程的各態歷經性Exercise3.133.2平穩隨機過程的各態歷經性48Exercise3.133.2平穩隨機過程的各態歷經性49Exercise3.143.2平穩隨機過程的各態歷經性Exercise3.143.2平穩隨機過程的各態歷經性51Exercise3.143.2平穩隨機過程的各態歷經性52Exercise3.153.2平穩隨機過程的各態歷經性續Theorem3.1(均值遍歷)3.2平穩隨機過程的各態歷經性Theorem3.1(均值遍歷)3.2平穩隨機過程的各態歷經性證畢！Theorem3.1(均值遍歷)3.2平穩隨機過程的各態歷經性56Corollary3.1(均值遍歷)3.2平穩隨機過程的各態歷經性Theorem3.2(自相關遍歷)3.2平穩隨機過程的各態歷經性各態歷經性3.2平穩隨機過程的各態歷經性各態歷經定理的重要價值在于它從理論上給出了如下保證：一個平穩過程X(t)，若0<t<+∞，只要它滿足各態歷經性條件，便可以根據“以概率1成立”的含義，從一次試驗所得到的樣本函數x(t)來確定該過程的均值和自相關函數。各態歷經性3.2平穩隨機過程的各態歷經性603.1平穩隨機過程3.2平穩隨機過程的各態歷經性3.3平穩隨機過程的相關函數第三章平穩隨機過程3.4高斯平穩隨機過程61

見下頁3.3平穩隨機過程的相關函數Proposition3.1

(Autocorrelation

FunctionofSSP)自相關函數的非負定性是平穩過程最本質的特性，因為任一連續函數，只要具有非負定型，那么該函數必是某平穩過程的自相關函數3.3平穩隨機過程的相關函數Proposition3.1

(Autocorrelation

FunctionofSSP)633.3平穩隨機過程的相關函數Definition3.6(PeroidicStationaryStochastic

Process)Theorem3.3(周期平穩)643.3平穩隨機過程的相關函數653.3平穩隨機過程的相關函數66

應用：3.3平穩隨機過程的相關函數673.3平穩隨機過程的相關函數Exercise3.16683.1平穩隨機過程3.2平穩隨機過程的各態歷經性3.3平穩隨機過程的相關函數第三章平穩隨機過程3.4高斯平穩隨機過程69一維高斯（正態）分布：

3.4高斯平穩隨機過程70高斯分布的統計特性均值：

方差：

高斯分布的特點：全部統計特性由其均值和方差確定。（注意上圖中均值和方差的涵義）

3.4高斯平穩隨機過程71

高斯隨機過程：隨機過程的任意n維概率密度具有如下的正態分布特性的隨機過程稱之。

3.4高斯平穩隨機過程72

高斯隨機過程（續）：參數的涵義：

3.4高斯平穩隨機過程73

高斯隨機過程（續）：高斯隨機過程的特點：其統計特性完全由其一維、二維統計值：完全確定。

3.4高斯平穩隨機過程74

高斯隨機過程的性質：（1）寬平穩與嚴平穩等價。對于寬平穩過程，其一階、二階的統計值滿足：

對高斯過程，其統計特性完全由其一階、二階統計值確定，所以寬平穩的高斯隨機過程與嚴平穩的高斯過程等價。3.4高斯平穩隨機過程75

高斯隨機過程的性質：（2）不相關與獨立等價。若隨機變量兩兩不相關

注：只涉及其二維統計特性。則有：3.4高斯平穩隨機過程76

高斯隨機過程的性質：（2）不相關與獨立等價（續）。則有：3.4高斯平穩隨機過程77

通信系統分析中常用的幾個特殊函數（1）概率積分函數3.4高斯平穩隨機過程78

通信系統分析中常用的幾個特殊函數（續）（2）誤差函數（3）互補誤差函數（4）Q函數

Q函數是一單調降函數3.4高斯平穩隨機過程79

特殊函數函數之間的關系（1）（2）（3）3.4高斯平穩隨機過程80

高斯白噪聲n(t)：幅度取值服從均值為0的高斯分布、功率譜密度滿足：

的一種（理想）的隨機過程。高斯白噪聲的相關函數：高斯白噪聲表達形式簡單、與通信系統中的信號、熱噪聲等許多干擾有相似的性質，故常用作典型信號和噪聲模型。

3.4高斯平穩隨機過程81

高斯白噪聲的重要性質（1）若為確定函數，則是