山西省呂梁市新絳中學2023年高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；任意角的三角函數的定義；二倍角的余弦．【分析】本題主要考查三角函數的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷．屬于基礎知識、基本運算的考查．將a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=時，a=+2kπ（k∈Z）卻不一定成立，根據充要條件的定義，即可得到結論．【解答】解：當a=+2kπ（k∈Z）時，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，當cos2a=時，有2a=2kπ+?a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（k∈Z），故選A．【點評】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．2.如圖所示，圖中曲線方程為y=x2﹣1，用定積分表達圍成封閉圖形（陰影部分）的面積是（）A．B．C．D．參考答案：C【考點】定積分．【分析】由微積分基本定理的幾何意義即可得出．【解答】解：由微積分基本定理的幾何意義可得：圖中圍成封閉圖形（陰影部分）的面積S==．故選C．3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a?cosA=bcosB，則△ABC的形狀為(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形參考答案：C【考點】三角形的形狀判斷．【專題】解三角形．【分析】利用正弦定理由a?cosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判斷△ABC的形狀．【解答】解：在△ABC中，∵a?cosA=bcosB，∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形．故選：C．【點評】標題考查三角形的形狀判斷，考查正弦定理與二倍角的正弦的應用，屬于中檔題．4.若拋物線上一點到軸的距離是5，則點到該拋物線焦點的距離是(

)(A)

4

(B)6

(C)

8

(D)12參考答案：B略5.過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交A、B于兩點，若，這樣的直線有（

）A.一條

B.兩條

C.三條

D.四條參考答案：C略6.已知圓：+=1，圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（

）A.+=1

B.+=1C.+=1

D.+=1參考答案：B略7.不等式組表示的平面區域的面積為.,則a= （）A． B．1 C．2 D．3參考答案：C8.函數的定義域為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B9.已知函數的圖象與函數的圖象有三個不同的交點、、，其中．給出下列四個結論：①；②；③；④．其中，正確結論的個數有（

）個A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C由題意，函數的圖象與函數的圖象有三個不同的交點，即方程，由三個不同的實數解，即有三個不同的實數解，即函數與的圖象有三個不同的交點，又由，當或時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，其圖象如圖所示，且當時，，要使得函數與的圖象有三個不同的交點，則，所以①正確的；當時，即，解得或，所以當時，則所以②是正確的；結合圖象可得，所以③是正確的；又由，整理得，又因為，所以，即，結合③可知，所以④是錯誤的，故選C．

10.設函數，則（）A.7 B.9 C.11 D.13參考答案：A【分析】先求，再求，進而得到所求的和.【詳解】函數，所以，，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關分段函數求函數值的問題，在解題的過程中，注意分清自變量的范圍，需要代入哪個式子，屬于簡單題目.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，tanα=2，則cosα=．參考答案：【考點】GI：三角函數的化簡求值．【分析】由題意利用同角三角函數的基本關系、以及三角函數在各個象限中的符號，求得cosα的值．【解答】解：∵已知，∴sinα＞0，cosα＞0，∵tanα=2=，sin2α+cos2α=1，則cosα=，故答案為：．12.與雙曲線有相同焦點，且離心率為0.6的橢圓方程為---________參考答案：;13.設x＞0，y＞0且x+y=1，則的最小值為

．參考答案：9【考點】基本不等式在最值問題中的應用．【專題】不等式的解法及應用．【分析】先把轉化成=（）?（x+y）展開后利用均值不等式進行求解，注意等號成立的條件．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）?（x+y）=1+4++≥5+2=9，當且僅當=，即x=3，y=6時取等號，∴的最小值是9．故答案為：9．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原則．屬于基礎題．14.已知空間兩個單位向量且與的夾角為，則

參考答案：15.一空間幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是

.參考答案：16.已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，點P是橢圓C上的一點， 且，則．參考答案：12

17.命題“對任意的，都有”的否定為

.參考答案：存在使得三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）已知，求的最大值；（2）已知，且，求的最小值．參考答案：（1）-1（2）【分析】（1）利用構造法轉化為符合基本不等式的形式，再求解最值即可；（2）利用“”的代換，轉化表達式，構造出符合基本不等式的形式，進而求解最小值即可．【詳解】（1）

（當且僅當，即時取等號），即最大值為（2）

，（當且僅當，即時取等號），即的最小值為【點睛】本題考查利用基本不等式求解最值的問題，關鍵是能夠通過構造、靈活應用“”的代換，將所求式子轉化為符合基本不等式的形式，屬于基礎題.19.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=a?cosB．（1）求角B的大?。唬?）若b=3，sinC=2sinA，分別求a和c的值．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】解三角形．【分析】（1）由bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化簡整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入計算即可得出．【解答】解：（1）∵bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否則矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化為：a2=3，解得a=，∴．【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、三角形內角和定理與三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.已知函數，曲線的圖象在點處的切線方程為.（1）求a，并證明；（2）若對任意的恒成立，求實數k的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）.【分析】（1）由導數的幾何意義，求得，得到函數的解析式，構造新函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解；（2）把對任意的恒成立等價于對任意的恒成立，令，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．【詳解】（1）根據題意，函數，則，則，由切線方程可得切點坐標為，將其代入，解得，故，則，則，得，，函數單調遞減；，函數單調遞增；所以，所以．（2）由對任意的恒成立等價于對任意的恒成立，令，得，由（1）可知，當時，恒成立，令，得；，得，所以的單調增區間為，單調減區間為，故，所以.所以實數的取值范圍為.【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式關系的證明和恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．21.已知函數.（1）若的最小值為3，求實數a的值；（2）若時，不等式的解集為A，當時，求證：.參考答案：（1）1或－5；（2）證明見解析.【分析】（1）利用絕對值不等式得到，計算得到答案.（2）去絕對值符號，解不等式得到集合，利用平方作減法判斷大小得證.【詳解】（1）因（當且僅當時取“=”）.所以，解得或.（2）當時，.當時，由，得，解得，又，所以不等式無實數解；當時，恒成立，所以；當時，由，得，解得，又，所以；所以的解集為..因為，所以，所以，即，所以.【點睛】本題考查了絕對值不等式，絕對值不等式的證明，討論范圍去絕對值符號是解題的關鍵.22.已知函數g（x）=xe（2﹣a）x（a∈R），e為自然對數的底數．（1）討論g（x）的單調性；（2）若函數f（x）=lng（x）﹣ax2的圖象與直線y=m（m∈R）交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f'（x0）＜0．（f'（x）為函數f（x）的導函數）．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）利用函數零點的性質，結合函數單調性和導數之間的關系，構造函數，利用導數進行轉化即可證明不等式．【解答】解：（1）由題可知，g'（x）=e（2﹣a）x+xe（2﹣a）x（2﹣a）=e（2﹣a）x[（2﹣a）x+1]．①當a＜2時，令g'（x）≥0，則（2﹣a）x+1≥0，∴，令g'（x）＜0，則（2﹣a）x+1＜0，∴．②當a=2時，g'（x）＞0．③當a＞2時，令g'（x）≥0，則（2﹣a）x+1≥0，∴，令g'（x）＜0，則（2﹣a）x+1＜0，∴，綜上，①當a＜2時，y=g（x）在上單調遞減，在上單調遞增；②當a=2時，y=g（x）在R上單調遞增；③當a＞2時，y=g（x）在上單調遞增，在上