復習機械優化設計的定義

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機械優化設計就是把機械設計與優化設計理論及方法相結合，借助電子計算機，尋找實現預期目標的最優設計方案和最佳設計參數。

第一章機械優化設計的基本概念和理論一、設計變量第一章機械優化設計的基本概念和理論（續）在優化設計過程中，要選擇的設計參數。設計變量必須是獨立變量，即：在一個優化設計問題中，任意兩個設計變量之間沒有函數關系。在一個優化設計問題中，所有可能的設計方案構成了一個向量集合。這個向量集合是一個向量空間，并且是一個歐氏空間。一個優化設計問題中，設計變量的個數，就是它的設計空間的維數。二、設計空間第一章機械優化設計的基本概念和理論（續）優化設計中要優化的某個或某幾個設計指標，這些指標是設計變量的函數，稱為目標函數。三、目標函數優化設計中設計變量必須滿足的條件，這些條件是設計變量的函數。四、設計約束性能約束

由結構的某種性能或設計要求，推導出來的約束條件。約束條件的分類第一章機械優化設計的基本概念和理論（續）根據約束的性質分邊界約束

直接限定設計變量取值范圍的約束條件，即一個n維的優化設計問題中，等式約束的個數必須少于n。等式約束

根據約束條件的形式分不等式約束第一章機械優化設計的基本概念和理論（續）顯式約束隱式約束第一章機械優化設計的基本概念和理論（續）五、可行域在設計空間中，滿足所有的約束條件所構成的空間。六、優化設計的數學模型1、優化設計的數學模型的

X*、f(X*)。第一章機械優化設計的基本概念和理論（續）2、約束優化設計的最優解約束優化設計的最優解為使：第二章優化設計的數學基礎一、目標函數的基本性質1、函數的等值面（線）具有相同目標函數值的點的集合形成一個曲面或曲線，稱為目標函數的等值面或等值線。它是用來描述研究函數的整體性質的。用Matlab可畫出該函數的等直線。

第二章優化設計的數學基礎一、目標函數的基本性質X1點的最速下降方向為局部性質2、函數的最速下降方向—梯度方向梯度向量與過點X(0)的等值線的切線方向垂直（正交）第二章優化設計的數學基礎（續）二、函數的近似表達式

H(X(k))

為Hessian

矩陣函數的凸性表現為單峰性。oxf(x)abx*三、函數的凸性第二章優化設計的數學基礎（續）凸函數則f（X）為D上的凸函數，否則為凹函數。如果Hessian矩陣正定，為凸函數；（一）、無約束優化問題的極值條件1.F(x)在處取得極值，其必要條件是:

即在極值點處函數的梯度為n維零向量。四、優化問題的極值條件第二章優化設計的數學基礎（續）海森（Hessian）矩陣正定，即各階主子式均大于零，則X*為極小點。海森（Hessian）矩陣負定，則X*為極大點。2.在X*處取得極值充分條件1、約束優化設計的最優點在可行域D內最優點是一個內點，其最優解條件與無約束優化設計的最優解條件相同；二、約束優化問題的極值條件

目標函數等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優解是：，約束方程所圍成的可行域是D。2、約束優化設計的最優點在可行域D的邊界上設X

(k)點有適時約束*庫恩—塔克條件（K-T條件）：

K-T條件是多元函數取得約束極值的必要條件,以用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優化問題。

對于目標函數和約束函數都是凸函數的情況，符合K-T條件的點一定是全局最優點。這種情況K-T條件即為多元函數取得約束極值的充分必要條件。第三章一維搜索的最優化方法一、黃金分割法1、在尋找一個區間[Xa,Xb]，使函數f(X)在該區間的極小點X*∈[Xa,Xb]

2、用黃金分割法在區間[Xa,Xb]中尋找X*。第三章一維搜索的最優化方法（續）f(X1)>f(X2)，消去[Xa，X1]，保留[X1，Xb][Xa，X1，X2，Xb]如何消去子區間？f(X1)<f(X2)，消去[X2，Xb]，保留[Xa，X2]收斂準則：時，終止迭代，于是所求最優點確定最優解所在區間的進退法基本思想：按照一定的規則試算若干個點，比較其函數值的大小，直至找到函數值按“高-低-高”變化的單峰區間。一維搜索的插值類方法（間接法）第三章一維搜索的最優化方法（續）牛頓法拋物線法基本思想:利用目標函數在若干點的信息，構成一個與目標函數值相近似的低次插值多項式p(x)，然后用多項式p(x)的最優解作為函數的近似最優解(即p’(x*p)=0的根)作為目標函數f(x)的近似極值點。牛頓法拋物線法收斂條件：最優解：收斂條件與牛頓法相似迭代過程中，要充分利用函數的解析式，故稱為解析法（又稱間接法）。包括：梯度法、共軛梯度法、牛頓法和變尺度法在迭代過程中只需計算函數值，故稱直接法。包括：坐標輪換法、單純形法和鮑威爾法。第四章無約束最優化方法一.梯度法（最速下降法）1.基本思想：2.搜索方向：梯度方向是函數值變化率最大的方向，沿著梯度方向，函數值上升最快，負梯度方向是函數值下降最快的方向，因此，在求極小值考慮搜索方向時，用負梯度方向作為一維搜索的方向，即:第四章無約束最優化方法一.梯度法（續）3.迭代公式或：是步長，每次迭代保證最優值為：4、梯度法的搜索路線f(X)=

ckf(X)=ck+1ss(k)和s(k+1)正交一、梯度法（續）一、梯度法（續）收斂條件：最優解：二、共軛梯度法（旋轉梯度法）(1).基本思想對梯度法作一個修正，將搜索方向由負梯度方向旋轉一個角度，使相鄰的兩次搜索方向由正交變為共軛，成為二次收斂。β(k)S(k)第四章無約束最優化方法（續）(2).共軛系數二、共軛梯度法（續）二、共軛梯度法（續）收斂條件最優解：三、牛頓法（二階梯度法）1.基本思想將f(x)在x(k)點作泰勒展開，取二次函數式Φ(x)作為近似函數,以Φ(x)的極小值點作為f(x)的近似極小值點。第四章無約束最優化方法（續）三、牛頓法（續）2、迭代公式收斂條件最優解：§4-2牛頓法牛頓法的迭代公式阻尼牛頓法的迭代公式牛頓方向1、變尺度的定義每確定一次搜索方向，調整一次模（尺度）的大小，稱為變尺度。2、基本思想發揚梯度法和牛頓法各自的優點，避免兩者各自的缺點，將兩者結合起來，形成變尺度法。四、變尺度法第四章無約束最優化方法（續）四、變尺度法(續）3、迭代公式：當——梯度法。—阻尼牛頓法4、基本思路：5、構造變尺度矩陣H(k)的遞推公式修正矩陣

四、變尺度法(續）6、收斂條件7、最優解：四、變尺度法(續）1、基本思想它是以共軛方向為基礎的收斂速度較快的直接搜索法。若沿連接相鄰兩輪搜索末端的向量S方向搜索，收斂速度加快。

目的：以共軛方向打破振蕩，加速收斂。二、鮑威爾法（Powell法）第四章無約束優化方法——直接法2、迭代步驟二、鮑威爾法（續）構建共軛方向進行一維搜索二、鮑威爾法（續）3、迭代公式4、收斂條件5、最優解二、鮑威爾法（續）如由約束條件所限定的可行域是凸集，目標函數是凸函數，其約束最優解就是全域最優解。否則，將由于所選擇的初始點的不同，而探索到不同的局部最優解上。約束問題目標函數的最小值是滿足約束條件下的最小值，即是由約束條件所限定的可行域內的最小值。可行域就是約束函數的集合第五章約束優化方法基本概念3、約束問題的數學模型為約束條件分為兩類：等式約束和不等式約束將約束優化問題轉換成無約束優化問題求解。2、基本思想4、約束優化問題分為:直接法、間接法。（1）直接法

直接法包括：可行方向法、線性逼近法、復合形法、隨機試驗法、隨機方向法、梯度投影法、簡約梯度法和

廣義簡約梯度法。適用范圍：僅含不等式約束條件的優化問題。

間接法包括：懲罰函數法、消元法、拉格朗日乘子法。適用范圍：對于不等式約束問題和等式約束問題均有效（2）間接法一、復合形法——直接法復合形法是單純形法在約束問題中的發展。在用于求解約束問題的復合形法中，復合形各頂點的選擇和替換，不僅要滿足目標函數值的下降，還應當滿足所有的約束條件。第五章約束優化方法1、基本原理一、復合形法（續）個頂點所構成所謂復合形是指在n維設計空間內由的多面體（一般2n個頂點）。

復合形法就是在n維設計空間的可行域內進行：比較去掉滿足逐步調向最優點。各頂點的目標函數約束條件最壞點數學模型：產生k個隨機點，將可行點依次排在前面，如有q個頂點X

(1)、X

(2)…X

(q)是可行點，其它k-q個為非可行點，則：（2）將第q+1點朝著點X

(s)的方向移動，新點X

(q+1)為：

X(q+1)=X(s)+0.5(X(q+1)—X(s))（1）計算q個點集的中心X

(s)；一、復合形法（續）2、迭代過程

函數值之差的均方根值小于誤差限：

函數值之差的平方和小于誤差限：

函數值差的絕對值之和小于誤差限：

最后復合形的好點X(l)及其函數值f(X(l))為最優解。3、判斷終止條件一、復合形法（續）可行方向是求解大型不等式約束優化問題的主要方法之一。基本思想：這種方法的基本原理是在可行域內選擇一個初始點，當確定了一個可行方向d和適當的步長后，按式:§7-1可行方向法進行迭代計算,迭代點既不超出可行域,又使目標函數的值有所下降。在不斷調整可行方向的過程中，使迭代點逐步逼近約束最優點。2.產生可行方向的條件可行方向是指沿該方向作微小移動后，所得到的新點是可行點，且目標函數值有所下降。

可行方向應滿足兩個條件:(1)可行;(2)下降。1）可行條件

方向的可行條件是指沿該方向作微小移動后，所得到的新點為可行點。2）下降條件

方向的下降條件是指沿該方向作微小移動后，所得新點的目標函數值是下降的。

最優步長最大步長收斂條件2）設計點xk滿足庫恩-塔克條件1）設計點xk及約束允差滿足1、基本思想通過構造罰函數把約束問題轉化為一系列無約束最優化問題，用無約束最優化方法求解，這類方法稱為序列無約束最小化方法。簡稱為SUMT法。二、懲罰函數法SUMT法的目標函數一般可寫成

罰函數(增廣目標函數）

懲罰項罰因子在迭代過程中使收斂于同一最優解。

和第五章約束優化方法3、罰函數的分類罰函數內點罰函數法（內點法）外點罰函數法（外點法）混合罰函數法（混合法）第五章約束優化方法懲罰函數構造的形式為：或：4、內點法罰函數的構造將新目標函數定義于可行域內，迭代過程均在可行域內進行，逐步逼近最優點。內點法只能用來求解具有不等式約束的優化問題。適用條件：當迭代點接近邊界上時，使迭代過程無法超越邊界，故內點法也叫障礙函數法或稱為圍墻法。當懲罰因子r(k)=0時可得到原問題的最優解。——應用求導數的解析法——適用于直接法初始點應選擇一個離約束邊界較遠的可行點。2）選取適當的罰因子初值r0，降低系數c（